多元函数微分学二

多元函数微分学二1第一页，共九十八页，2022年，8月28日一、主要内容第4节多元复合函数的求导法则一、复合函数的求导法则(链导法则)则复合函数偏导数存在,且可用下列公式计算具有连续偏导数,定理:2第二页，共九十八页，2022年，8月28日注意:1.(*)式中两边z的含义不同,左边的z表示已经复合的函数,右边的z表示还没有复合的函数,2.(*)式两边都在点取值.3第三页，共九十八页，2022年，8月28日?项数问:每一项?中间变量函数对中间变量的偏导数该中间变量对其指定自变量的偏导数(或导数).的个数.函数对某自变量的偏导数之结构分量原则4第四页，共九十八页，2022年，8月28日网络图uv5第五页，共九十八页，2022年，8月28日二.介绍”网络图”全导数全导数6第六页，共九十八页，2022年，8月28日7第七页，共九十八页，2022年，8月28日引入记号:设记8第八页，共九十八页，2022年，8月28日三、全微分形式不变性具有连续偏导数,则有全微分则有全微分全微分形式不变性的实质9第九页，共九十八页，2022年，8月28日第5节隐函数求导法一、一个方程的情形在一元函数微分学中,现在利用复合函数的链导法给出隐函数(1)的求导法.并指出:曾介绍过隐函数的求导公式,隐函数存在的一个充分条件.10第十页，共九十八页，2022年，8月28日隐函数存在定理1设二元函数的某一邻域内满足:在点则方程的某一邻域内并有(1)具有连续偏导数;它满足条件在点隐函数的求导公式(2)

(3)

恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数(证明从略)仅推导公式.将恒等式两边关于x求导,由全导数公式,得11第十一页，共九十八页，2022年，8月28日或简写:于是得所以存在的一个邻域,在这个邻域内12第十二页，共九十八页，2022年，8月28日如,方程记(1)的邻域内连续;所以方程在点附近确定一个有连续导数、且隐函数存在定理1的隐函数则(2)(3)13第十三页，共九十八页，2022年，8月28日注意:1.定理只说明了隐函数的存在性,并不一定能解出.2.定理的结论是局部的.3.隐函数的导数仍含有x与y,理解:4.定理的条件只是充分条件.如:5.注意哪个是隐函数,哪个是自变量.求高阶导时,利用复合函数的求导方法.14第十四页，共九十八页，2022年，8月28日则方程内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的并有具有连续偏导数;若三元函数的某邻域内函数它满足条件在点在点2.由三元方程确定二元隐函数隐函数存在定理2的某一邻域(1)(2)(3)满足:15第十五页，共九十八页，2022年，8月28日(证明从略)仅推导公式.将恒等式两边分别关于x和y求导,应用复合函数求导法得是方程所确定的隐设函数,则所以存在的一个邻域,在这个邻域内因为连续,于是得16第十六页，共九十八页，2022年，8月28日二、方程组的情形(隐函数组)下面讨论由联立方程组所确定的隐函数的确定两个二元函数求故由方程组求导方法.17第十七页，共九十八页，2022年，8月28日将恒等式两边关于x求偏导,解这个以为未知量的线性方程组,由链导法则得:求18第十八页，共九十八页，2022年，8月28日解得当系数行列式不为零时,即雅可比行列式Jacobi,C.G.j.(德)1804-185119第十九页，共九十八页，2022年，8月28日同理,两边关于y求偏导,得求20第二十页，共九十八页，2022年，8月28日第6节方向导数与梯度一、方向导数1.方向导数的定义设有二元函数沿任何方向的变化率．考虑函数在某点射线是指有方向的半直线,即21第二十一页，共九十八页，2022年，8月28日定义如果极限存在,则将这个极限值称为函数在点记为即注方向导数是函数沿半直线方向的变化率.22第二十二页，共九十八页，2022年，8月28日2.方向导数的几何意义的几何意义为曲面,当限制自变量沿方向变化时,对应的空间点形成过的铅垂平面与曲面的交线,这条交线在点M有一条记此半切线与方向的夹角为则由方向导数的半切线,定义得23第二十三页，共九十八页，2022年，8月28日ρ一定为正!是函数在某点沿任何方向的变化率.方向导数偏导数分别是函数在某点沿平行于坐标轴的直线Δx、Δy可正可负！的变化率.注结论：24第二十四页，共九十八页，2022年，8月28日证由于函数可微,得到3.关于方向导数的存在及计算公式充分条件定理可微,则函数且则增量可表示为两边同除以25第二十五页，共九十八页，2022年，8月28日故有方向导数26第二十六页，共九十八页，2022年，8月28日注即为(1)(2)计算方向导数只需知道l的方向及函数的偏导数.在定点的方向导数为(3)(4)关系方向导数存在偏导数存在可微27第二十七页，共九十八页，2022年，8月28日可微如，结论28第二十八页，共九十八页，2022年，8月28日连续。结论如29第二十九页，共九十八页，2022年，8月28日推广可得三元函数方向导数的定义对于三元函数它在空间一点的方向导数,可定义为同理,当函数在此点可微时,那末函数在该点沿任意方向l的方向导数都存在,且有是l的方向向量.30第三十页，共九十八页，2022年，8月28日问题?二、梯度概念与计算已知方向导数公式方向：模：

方向一致时,方向导数取最大值f变化率最大的方向f的最大变化率之值函数沿什么方向的方向导数为最大(gradient)一个二元函数在给定的点处沿不同方向的方向导数是不一样的.31第三十一页，共九十八页，2022年，8月28日定义记作读作nable.即为函数称向量梯度(gradient),称为或算子,或向量微分算子.引入算符哈米尔顿算子,设函数可偏导,利用梯度的概念,可将方向导数计算公式写成32第三十二页，共九十八页，2022年，8月28日结论x轴到梯度的转角的正切为函数在某点的梯度是这样一个向量,方向与取得最大方向导数的方向一致,它的而它的模为方向导数的最大值.梯度的模为33第三十三页，共九十八页，2022年，8月28日在几何上曲面被平面所得曲线在xOy面上投影是一条平面曲线等值线梯度为等值线上的法向量表示一个曲面,所截得如图:34第三十四页，共九十八页，2022年，8月28日

法线的斜率为:为等值线上点P处的法向量.所以梯度事实上,由于等值线上任一点等值线35第三十五页，共九十八页，2022年，8月28日类似于二元函数,此梯度也是一个向量,其方向与取得最大方向导数的方向一致,其模为方向导数的最大值.梯度的概念可以推广到三元函数三元函数在空间区域G内则对于每一点都可定义一个向量(梯度)具有一阶连续偏导数,36第三十六页，共九十八页，2022年，8月28日类似地,设曲面为函数此函数在点的梯度的方向与过点P的等量面在这点的法线的一个方向相同,的等量面指向数值较高的等量面,等于函数在这个法线方向的方向导数.且从数值较低而梯度的模37第三十七页，共九十八页，2022年，8月28日设空间曲线的方程(1)式中的三个函数均可导.

1.空间曲线的方程为参数方程一、空间曲线的切线与法平面第7节偏导数的几何应用38第三十八页，共九十八页，2022年，8月28日考察割线趋近于极限位置——上式分母同除以割线的方程为切线的过程39第三十九页，共九十八页，2022年，8月28日曲线在M处的切线方程切向量法平面切线的方向向量称为曲线的切向量.过M点且与切线垂直的平面.40第四十页，共九十八页，2022年，8月28日设曲线直角坐标方程为法平面方程为2.空间曲线的方程为曲线的参数方程是由前面得到的结果,在M(x0,y0,z0)处,令切线方程为x为参数,两个柱面的交线41第四十一页，共九十八页，2022年，8月28日设空间曲线方程为3.空间曲线的方程为确定了隐函数(此曲线方程仍可用方程组

两边分别对表示.)x求全导数:两个曲面的交线42第四十二页，共九十八页，2022年，8月28日利用2.结果,

两边分别对x求全导数43第四十三页，共九十八页，2022年，8月28日法平面方程为切线方程为在点

M(x0,y0,z0)处的44第四十四页，共九十八页，2022年，8月28日今在曲面Σ上任取一条1.设曲面Σ的方程为的情形隐式方程二、曲面的切平面与法线函数的偏导数在该点连续且不同时为零.点M对应于参数不全为零.过点M的曲线Γ,设其参数方程为45第四十五页，共九十八页，2022年，8月28日由于曲线Γ在曲面Σ上,所以在恒等式两端对t求全导数,

并令则得若记向量曲线Γ在点M处切线的方向向量记为则※式可改写成即向量垂直.※46第四十六页，共九十八页，2022年，8月28日因为曲线Γ是曲面Σ上过点M的任意一条曲线,所有这些曲线在点M的切线都与同一向量垂直,因此这些切线必共面,称为曲面Σ在点M的过点M且垂直于切法线,又是法线的方向向量.向量称为曲法向量.切平面,由切线形成的这一平面,平面的直线称为曲面Σ在点M的面Σ在点M的47第四十七页，共九十八页，2022年，8月28日曲面在M(x0,

y0,

z0)处的法向量:切平面方程为法线方程为所以曲面Σ上在点M的48第四十八页，共九十八页，2022年，8月28日2.曲面方程形为的情形曲面在M处的切平面方程为曲面在M处的法线方程为令或显式方程49第四十九页，共九十八页，2022年，8月28日因为曲面在M处的切平面方程:全微分的几何意义表示切平面上的点的竖坐标的增量.切平面上点的竖坐标的增量50第五十页，共九十八页，2022年，8月28日其中法向量表示曲面的法向量的方向角,并假定法向量的方向是向上的,即使得它与z轴的正向所成的角是锐角,则法向量的方向余弦为51第五十一页，共九十八页，2022年，8月28日一、多元函数的极值和最值1.极大值和极小值的定义一元函数的极值的定义:是在一点附近将函数值比大小.定义点P0为函数的极大值点.

类似可定义极小值点和极小值.?设在点P0的某个邻域,为极大值.则称第8节多元函数的极值52第五十二页，共九十八页，2022年，8月28日

注

函数的极大值与极小值统称为函数的函数的极大值点与极小值点统称为函数的多元函数的极值也是局部的,一般来说:极大值未必是函数的最大值.极小值未必是函数的最小值.有时,极值.极值点.内的值比较.是与P0的邻域极小值可能比极大值还大.53第五十三页，共九十八页，2022年，8月28日例例例函数存在极值,在(0,0)点取极小值.在(0,0)点取极大值.(也是最大值).在(0,0)点无极值.?椭圆抛物面下半个圆锥面马鞍面在简单的情形下是容易判断的.函数函数(也是最小值).函数54第五十四页，共九十八页，2022年，8月28日2.极值的必要条件证定理1(必要条件)则它在该点的偏导数必然为零:有极大值,不妨设都有说明一元函数有极大值,必有类似地可证55第五十五页，共九十八页，2022年，8月28日推广如果三元函数具有偏导数,则它在有极值的必要条件为均称为函数的驻点极值点(对于可导函数而言)仿照一元函数,凡能使一阶偏导数同时为零的点,驻点.如何判定一个驻点是否为极值点如,驻点,但不是极值点.?

注56第五十六页，共九十八页，2022年，8月28日3.极值的充分条件定理2(充分条件)的某邻域内连续,有一阶及二阶连续偏导数,处是否取得极值的条件如下:(1)有极值,有极大值,有极小值;(2)没有极值;(3)可能有极值,也可能无极值.57第五十七页，共九十八页，2022年，8月28日求函数极值的一般步骤:第一步解方程组求出实数解,得驻点.第二步对于每一个驻点求出二阶偏导数的值第三步定出的符号,再判定是否是极值.58第五十八页，共九十八页，2022年，8月28日取得.然而,如函数在个别点处的偏导数不存在,这些点当然不是驻点,如:函数不存在,但函数在点(0,0)处都具有极大值.

在研究函数的极值时,除研究函数的驻点外,还应研究偏导数不存在的点.注由极值的必要条件知,极值只可能在驻点处但也可能是极值点.在点(0,0)处的偏导数59第五十九页，共九十八页，2022年，8月28日其中最大者即为最大值,

与一元函数相类似,可利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.4.多元函数的最值求最值的一般方法最小者即为最小值.将函数在D内的所有可能极值点的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较,60第六十页，共九十八页，2022年，8月28日对自变量有附加条件的极值.其他条件.无条件极值对自变量除了限制在定义域内外,并无条件极值二、条件极值拉格朗日乘数法61第六十一页，共九十八页，2022年，8月28日解例5已知长方体长宽高的和为18,问长、宽、高各取什么值时长方体的体积最大？设长方体的长、宽、高分别为由题意长方体的体积为且长方体体积一定有最大值,体体积最大.故当的长、宽、高都为6时长方由于V在D内只有一个驻点,62第六十二页，共九十八页，2022年，8月28日上例的极值问题也可以看成是求三元函数的极值,要受到条件的限制,这便是一个条件极值问题.目标函数约束条件

有时条件极值目标函数中化为无条件极值.可通过将约束条件代入但在一般情形甚至是不可能的.下面要介绍解决条件极值问题的一般方法:下,这样做是有困难的,拉格朗日乘数法63第六十三页，共九十八页，2022年，8月28日拉格朗日乘数法:现要寻求目标函数在约束条件下取得利用隐函数的概念与求导法如函数(1)在由条件(1)(2)极值的必要条件.取得所求的极值,那末首先有(3)确定y是x的隐函数

不必将它真的解出来,则于是函数(1)即,取得所取得极值.求的极值.64第六十四页，共九十八页，2022年，8月28日其中代入(4)得:由一元可导函数取得极值的必要条件知:(4)取得极值.在(3),(5)两式取得极值的必要条件.就是函数(1)在条件(2)下的65第六十五页，共九十八页，2022年，8月28日

设上述必要条件变为:(6)中的前两式的左边正是函数:(6)的两个一阶偏导数在的值.函数称为拉格朗日函数,称为拉格朗日乘子,是一个待定常数.66第六十六页，共九十八页，2022年，8月28日拉格朗日乘数法:极值的必要条件在条件要找函数下的可能极值点,先构造函数为某一常数,其中可由解出其中就是可能的极值点的坐标.67第六十七页，共九十八页，2022年，8月28日如何确定所求得的点实际问题中,

非实际问题我们这里不做进一步的讨论.拉格朗日乘数法可推广:判定.可根据问题本身的性质来的情况.自变量多于两个是否为极值点?68第六十八页，共九十八页，2022年，8月28日推广:求函数在条件下的极值的步骤:(1)作辅助函数(2)解方程组得到可能极值点.69第六十九页，共九十八页，2022年，8月28日二、典型例题例1.设求例2.设求70第七十页，共九十八页，2022年，8月28日例3.已知f(t)可微,证明满足方程提示t,y为中间变量,x,y为自变量.引入中间变量,则71第七十一页，共九十八页，2022年，8月28日引入记号:设记例4.设有连续偏导,求72第七十二页，共九十八页，2022年，8月28日注对复合函数求高阶偏导数时,需注意:导函数仍是复合函数.故对导函数再求偏导数时,仍需用复合函数求导的方法.73第七十三页，共九十八页，2022年，8月28日例5.设具有二阶连续偏导数,试求在新坐标系下的相应表达式.74第七十四页，共九十八页，2022年，8月28日例6.设求通过全微分求所有一阶偏导数,比网络图法则或分量原则求偏导数有时会显得灵活方便.75第七十五页，共九十八页，2022年，8月28日例7.求由确定的隐函数的一阶偏导.例8.设方程确定了隐函数其中f有连续偏导.证明:76第七十六页，共九十八页，2022年，8月28日8.设是由方程组确定的函数,其中f,g均连续可微,且求77第七十七页，共九十八页，2022年，8月28日例9.证明:函数沿任意方向的方向导数都存在,但偏导不存在.78第七十八页，共九十八页，2022年，8月28日例10.设点求函数的方向导数.79第七十九页，共九十八页，2022年，8月28日例11设函数(1)求出沿什么方向具有最大的增长率,方向的变化率.(2)最大增长率为多少?解

(1)

PQ方向的方向向量为80第八十页，共九十八页，2022年，8月28日沿什么方向具有最大的增长率,(2)最大增长率为多少?解

方向具有最大的增长率,最大的增长率为:即为梯度方向.81第八十一页，共九十八页，2022年，8月28日解切线方程法平面方程例12即82第八十二页，共九十八页，2022年，8月28日13.设曲线证

因原点即于是证明此曲线必在以原点为的法平面都过原点,在任一点中心的某球面上.曲线过该点的法平面方程为故有

在法平面上,任取曲线上一点83第八十三页，共九十八页，2022年，8月28日例14.证明曲面上任意一点处的切平面都与直线平行,其中f具有连续偏导数,且为常数.84第八十四页，共九十八页，2022年，8月28日

例15微分法在几何上的应用其中有连续导数.

例16求函数在此点的外法线方向的方向导数.85第八十五页，共九十八页，2022年，8月28日解令练习得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为().旋转面方程为86第八十六页，共九十八页，2022年，8月28日例17证明函数有无穷多个极大值点,但无极小值点.例18.求函数的极值点.提示:87第八十七页，共九十八页，2022年，8月28日例19.求函数在圆域