第十三章-复变函数级数与留数定理

1第

章13变函数的级数与留数定理复变函数项级数泰勒级数洛朗级数留数与留数定理复21.复数项级数

2.复变函数项级数

3.幂级数的运算和性质

13.1复变函数项级数313.1.1复数项级数

设为一复数列，其中，为一确定的复数，若对任给

，存在自然数

，当时恒有

则称

为复数列当时的极限，记作

也称复数列收敛于，或称收敛；否则称发散。

定义13.1.113.1复变函数项级数4类似于复函数极限，有如下定理:

设则的充要条件是，

。证明如果,那么对任给的,就能找到自然数,当时恒有

,从而有

,所以,同理可证。定理1.1.15反之，如果，，那么当时，

从而有，，

所以

6

设为一复数列，其中,表达式称为复数项(无穷)级数，简称级数，其前n项之和称为该级数的(前n项)部分和．如果部分和数列收敛，则称级数

收敛，并称极限为该级数的和；如果不收敛，则称发散。定义1.1.27由于

，由定理1可知，当且仅当，

。由此可得以下定理：8

设(n=1,2,…),与为实数,则级数收敛的充要条件是级数和都收敛。

定理2将复数项级数的审敛问题转化为实数项级数的审敛问题,而由实数项级数和收敛的必要条件为，,可得推论(必要条件)

若级数收敛,则。

定理1.1.29

若收敛，则也收敛。证明

设

(n=1,2,…),因，由正项级数比较判别法知

收敛，即绝对收敛．同理也收敛，故收敛。

若级数收敛，则称为绝对收敛，并非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数。定理1.1.3(充分条件)10例1

下列级数是否收敛?若收敛,是绝对收敛还是条件收敛?(1);(2);(3).

解(1)因收敛,故原级数绝对收敛。(2)因为其中实部和虚部都是交错级数均收敛,所以收敛,但发散,故原级数条件收敛。(3)因，且发散,

收敛,由定理2知原级数发散。112.复变函数项级数

设为一复变函数序列，其中各项在区域D内有定义，表达式

(13.1)称为区域D上的复变函数项级数，简称级数。其前n项之和称为该级数的前n项部分和．若，且，则该级数在收敛，而称为它的和。

定义1.1.312

如果级数(13.1)在D内处处收敛，那么它在D内各点的和构成D内的一个函数：

，称为级数的和函数。例如，级数，对区域内的每个z都收敛到,所以是级数在区域内的和函数。

13

若,则级数(13.1)成为

(13.2)称此级数为幂级数，特别地，当时，上式写为

．(13.3)如果，则就是级数(13.3)的形式。为了方便，下面就级数(13.3)来讨论。类似于实变量幂级数的结论，我们有如下定理：定义1.1.414若级数在收敛，则对满足的z，该幂级数必绝对收敛；若在发散，则对满足的z，该幂级数必发散。证明

读者自己完成。Abel定理的几何意义:若级数在收敛，则在以原点为中心，半径为的圆内，级数必绝对收敛；若级数在发散，则在以原点为中心，半径为的圆外，级数也发散。

定理1.1.4(Abel定理)15

若存在圆，级数在圆内绝对收敛，而在圆外发散，则称圆域为级数的收敛圆盘(或收敛圆域)，圆周称为该级数的收敛圆，R称为收敛半径。例如级数，当时绝对收敛，而当时,由于时级数的一般项不趋于零，故级数发散，因此级数的收敛圆为，收敛半径为1。关于幂级数(13.3)收敛半径的求法,我们有:定义1.1.516

如果，那么级数的收敛半径。证

略，读者可仿实变量幂级数的相关结论，自己证明。

如果，那么级数的收敛半径。定理1.1.5(比值法)定理1.1.6(根值法)17例２

求级数、、的收敛半径，并讨论它们在收敛圆周上的敛散性。

解

这三个级数都有，故收敛半径都为，但它们在收敛圆周上的敛散性却不一样。

在上，由于，故处处发散；

在上的处收敛，处发散；

在上处处绝对收敛，因而处处收敛。由此例可见，在收敛圆周上的情况较复杂，只能对具体级数进行具体分析。18例３求下列级数的收敛半径，并考虑收敛情况。(1);(2);(3)．解(1)因所以收敛半径级数在收敛圆域内收敛，在圆周外发散，在圆周上有收敛点，也有发散点。(2)对任意固定的z，存在，当时恒有，从而，由此可知级数对任意的z均收敛，即在复平面上处处收敛，收敛半径为。

19(3)当时，由于时一般项不趋于零，故级数发散，所以级数仅在点收敛，收敛半径。在上例中，对级数(2),相应地收敛半径；对级数(3),相应地收敛半径。由此可见，求收敛半径的相关结论可适当推广。203.幂级数的运算和性质与实变量幂级数类似，复变量幂级数也能进行加、减、乘运算。结论１设；，则

,,

其中.更为重要的是幂级数可进行如下代换(复合)运算。

21

结论2如果当时，,又设在内解析且满足，则当时，

代换运算是函数展为幂级数的常用方法，以下例子说明如何应用。

22例４

把函数表示成形如的幂级数，其中a与b是不相等的复常数。解

把变形为如下形式

视，当时，由等比级数得

，从而得到．23

由等比级数知，当即时级数收敛；当即时级数发散；故上述所求级数的收敛半径．复变量幂级数在收敛圆域内有如下分析运算性质。24设幂级数的收敛半径为R，则（1）其和函数在收敛圆域内解析；（2）在收敛圆域内，其和函数可逐项求导，即；（3）在收敛圆域内，其和函数可逐项求积，即

定理1.1.725例５

将展成z的幂级数。解

因为当时，，逐项求导可得

．

26习题13.11、下列数列是否收敛？若收敛，求其极限。(1)；(2)；(3)；(4).2、下列级数是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件