机械工程测试技术基础(第三版)课后答案全集

机械工程测试技术根底习题解答1-1求周期方波〔见图1-4〕的傅里叶级数〔复指数函数形式|c–ω和φn n–ω1-1xx(t)A…T02T02…T0t0T0-A图1-4 周期方波信号波形图解答：在一个周期的表达式为A (T0

t0)x(t)

2 .TA (0 t 0)2积分区间取〔-T/2，T/2〕T2c 10T2n T 0 2

1x(t)ejn0tdt=T0

Aejn0tdt+01T0 T012

T02Aejn0tdt00=jA(cosn-1) (n=0, 1, 2, 3, )n所以复指数函数形式的傅里叶级数为x(t)n

Acejn0tjn

n

(1cosn)ejn0tn=0, 1, 2, 3,。1n1ccnI

An

(1cosn)

(n=0, 1, 2, 3,)c 0nR

2A2AnAn n1,3,Anc 2c 2c2n

(1cosn)nI0 n 0,2,4,6,φ arctan cnIn cnR

π n1,3,5, 2π n1,3,5,20 n0,2,4,6,没有偶次谐波。其频谱图如以下图所示。n2n2A/π|c|2A/π2A/3π2A/5π2A/3π2A/5π-5ω0-3ω0-ω0ω03ω05ω0ωφnπ/2ω03ω05ω0-5ω0-3ω0-ω0ω-π/2幅频图

周期方波复指数函数形式频谱图

相频图e(aj2f)t(aje(aj2f)t(aj2f)X(f)x(t)ej2ftdt

Aeatej2ftdtA

A

A(aj2f) 0

0 aj2f

a2(2f)2a2(2f)a2(2f)2(f)arctan ImX(f)ReX(f)

arctan 2fa||X(f)|φ(f)A/aπ/20f0f-π/2单边指数衰减信号频谱图求符号函数(见图1-25a1-25b)的频谱。sgn(t)sgn(t)10t-1u(t)10t符号函数 b)阶跃函数符号函数的频谱1x(t)sgn(t)1

t0t0

1-251-4图t=0sgn(0)=0。该信号不满足确定可积条件，不能直接求解，但傅里叶变换存在。x(t)x(t)的频谱。1x(t)eat1

eatsgn(t)eat

t0t0x(t)sgn(t)limxa0 1

(t)0

4f X(f)

(t)ej2ftdt eatej2ftdteatej2ftdtj1 1 0

a2(2f)2X(f)FX(f)

t)lima0 f

1X(f)j1 f f0 2(f)

f0 2||X(f)|φ(f)π/20f0f-π/210t-1x(t)eatsgn(t符号函数1阶跃函数频谱1u(t)0

t0t0t=0u(0)=1/2。阶跃信号不满足确定可积条件，但却存在傅里叶变换。由于不满足确定可积条件，不能直接求其傅里叶变换，可承受如下方法求解。1：利用符号函数u(t)

112

sgn(t)U(f)F

u(t)F

sgn(t)1(f)1j1 1(f)j1 22

2 f 2

f122(f)1122(f)1f2φ(f)π/20-π/2fu(tf=0u(t)含有直流重量，在预料之中。同时，由于φ(f)π/20-π/2f|U(f)|(1/2)0 f单位阶跃信号频谱2：利用冲激函数u(t)t()d1 0

t0时t0时依据傅里叶变换的积分特性U(f)Ft ()d 1 (f)1(0)(f)1(f)j1 j2f 2 2

f求被截断的余弦函数cosωt1-26)的傅里叶变换。0cosωx(t) 00

tTtT

x(t)1x(t)w(tcos(2ft)0w(t)为矩形脉冲信号W(f)2Tsinc(2Tf)

-T 0 T tcos(2f

0

12

ej2ft -1x(t)

1 1w(t)ej2f0t2

0w(t)ej2f0t0依据频移特性和叠加性得：X(f)

1W(ff)2 0

1W(ff)2 0w(t)1-T0TtTsinc[2w(t)1-T0Tt0

)]Tsinc[2T(ff)]0

1-26被截断的余弦函数f0线高度减小一半。也说明，单一频率的简谐信号由于截断导致频谱变得无限宽。XX(f)T-f0f0f被截断的余弦函数频谱x(t)eatsinω

t的频谱0xx(t)指数衰减信号解答：sin(

1ejtejt0 00 2jx(t)eat

1ejtejt0 02jx1

(t)eata0,t0)的频谱密度函数为X(f)x(t)ejtdt

eatejtdt 1

aj1 1 0

aj

a22依据频移特性和叠加性得：X()

1 X(

)X

(

1 aj() 0

aj()0 2j 1 0 1

0

()20

a2(0

)22(20

2)]0 j

2a0[a2(0

)2][a2()2]0

()2][a20

(0

)2]X(ωX(ω)0ωφ(ω)π0ω-π指数衰减信号的频谱图指数衰减信号的频谱图设有一时间函数f(t)及其频谱如图1-27所示。现乘以余弦型振荡cosω

t(ω0

ω )f(t)叫做调制信号，余弦振荡cosωm

t叫做载波。0f(tcosω

tω0

ω 时m将会消灭什么状况？ff(t)F(ω)0t-ω0mωmω1-271-7图x(t)f(t)cos(t)0F()F[f(t)]cos(

1ejtejt0 00 21 1所以x(t) f(t)ej0t f(t)ej0t2 2依据频移特性和叠加性得：1X(f)2

F()10

F()0ω可见调幅信号的频谱等于将调制信号的频谱一分为二，各向左右移动载频 ，同时谱ω0线高度减小一半。XX(f)-ω0ω0f矩形调幅信号频谱假设ω ω0

将发生混叠。2-2 0.35s1s2s5s信号，问稳态响应幅值误差将是多少？解：设一阶系统H(s) 1 ，H() 1 A()H() 1

s11(1()21(2T)2

1j，T是输入的正弦信号的周期稳态响应相对幅值误差 A1100%，将周期代入得8.5%

T1sT2sT5s2-3求周期信号x(t)=0.5cos10t+0.2cos(100t−45H(s)=1/(0.005s+1)的装置后得到的稳态响应。解：H() 11j0.005

，A() 1

，()arctan(0.005 )1(0.0051(0.005)2y(t)=ycos(10t+)+ycos(100t−45+)其中其中y (A110x)，0011 (2001 .00 (10)arctan(0.005 10)2.8611(0.005100)2y 1(0.005100)202 02

0.20.179 ， (100)arctan(0.005 100)26.572y(t)0.499cos(10t2.86)0.179cos(100t71.572-5100Hz5%么时间常数应取多少？假设用该系统测量50Hz正弦信号，问此时的振幅误差和相角差是多少？解：设该一阶系统的频响函数为H() 11j则

，是时间常数稳态响应相对幅值误差

)1

1

1 1(21(2f)2令≤5%，f=100Hz，解得≤523s。f=50Hz，则相 对 11(2f1(2f)2

幅 值 1(25231(25231050)

误 差 ：1 100% 1.3%

6 2()arctan(2f)arctan(252310650)9.332-7cost输入一个传递函数为H(s)=1/(s+1)的一阶装置后，试求其包括瞬y(t)的表达式。s)

s ，所以(s)利用局部分式法可得到Y(s) 1

s2 1 s s1s221 1

21 1 11()2

1s 2(1j)sj

2(1j)sj利用逆拉普拉斯变换得到y(t)L1[Y(s)]

1e1()2

t 12(1j)

ejt

12(1j)

ejt1 t e1()21

ejtj(ejt()2]

ejt)

costsintet/ 1

cos(tarctan)et/)2)22-8求频率响应函数为3155072/(1+0.01)(1577536+1760j-22-8正弦输入x(t)=10sin(62.8t)的稳态响应的均值显示。仍旧为线性定常系统。依据线性定常系统的频率保持性可知，当输入为正弦信号时，其稳态响应仍旧为同频率的正弦信号，而正弦信号的平均值为0，所以稳态响应的均值显示为0。2-9试求传递函数分别为1.5/(3.5s+0.5)和412/(2+1.4s+2n n n串联后组成的系统的总灵敏度〔不考虑负载效应。解： 1.5 H(s)

3 K

K=31 3.5s0.5

7s1 1H

412) n

K2 2 n

K=412

1.4n

s2n

s21.4n

s2 2n由于两者串联无负载效应，所以K=K1

K=341=1232设某力传感器可作为二阶振荡系统处理。传感器的固有频率为800Hz，阻尼比=0.14400Hz(()各为多少？假设该装置的阻尼比改为=0.7，A()和()又将如何变化？2解：设H() n ，则A()

s22n1

s2n

1 1 22n 22n

2 n ，即21 n n1 1 2f22f2f n f n

1 (f)arctan

2 fn f 21 fnf=800Hz，=0.14，f=400Hz，代入上面的式子得到nA(400)1.31，(400)−10.57假设=0.7，A(400)0.975，(400)43.03对一个可视为二阶系统的装置输入一单位阶跃函数后，测得其响应的第一个超调量峰值为1.5,振荡周期为6.28s。设该装置的静态增益为3，求该装置的传递函数和该装置在无阻尼固有频率处的频率响应。12ln(M12ln(M/Kx)01ln(1.5/3)2由于d

=6.28s，所以 =2/d d1d12n

=1rad/s110.2152

1.024rad/sHs)

3s22

2ns2n n

3.15s20.44s1.05H()

32n

3.15

22n

j2n1122n 0.44 2n

1.052

j0.44()arctan

2 n2当=时，n1122n 0.44 2nn

1 n3

6.82()90n用电阻应变片接成全桥，测量某一构件的应变，其变化规律为(t)=Acos10t+Bcos100t假设电桥鼓励电压u=Esin10000t，试求此电桥的输出信号频谱。0解：接成等臂全桥，设应变片的灵敏度为S，依据等臂电桥加减特性得到gu Ruo R

S(t)u S (Acos10tBcos100t)Esin10000tg e gSEA1sin(1010000)tsin(1010000)tg 2SEBg

1sin(100 10000)tsin(100 10000)t2SEA g2

sin10010tsin9990t

SEBg2

sin10100tsin9900t幅频图为

A(f)n

SEBg2

SEAg2SEB2g29900

999010010 10100 fx(t)=(100+30cost+20cos3t)cost，其中f=10kHz，f=500Hz。试a c c 求：1〕x(t)所包含的各重量的频率及幅值；a2〕绘出调制信号与调幅波的频谱。解：1〕x(t)=100cost+15cos(-)t+15cos(+)t+10cos(-3)t+10cos(+3)ta c c c c c各频率重量的频率/幅值分别为：10000Hz/100，9500Hz/15，10500Hz/15，8500Hz/10，11500Hz/10。2〕x(t)=100+30cost+20cos3t，各重量频率/幅值分别为：0Hz/100，500Hz/30，1500Hz/20。A(A(f)n100302001500fA(f)n 10010 15 15 10调制信号频谱

8500

95001000010500调幅波频谱

11500 f假定有一个信号x(t达式为x(t)=Acos(t+)+Acos(t+)1 1 1 2 2 2求该信号的自相关函数。x(t)=Acos(t+)；x(t)=Acos(t+)，则1 1 1 1 2 2 2 2R()lim 1 T[x(t)x(t)][x(t)x

(t)]dtx T2T T 1 2 1 2lim 1 Tx(t)x(t)dtlim 1 T

(t)x

(t)dtT2T

T 1 1

T2T

T 1 2lim 1 T

)x

(t)dtlim 1

x(t)x

(t)dtT

2T T 2 1

T 2 2R (x1

)R xx12

)R xx21

)R ( )x2由于，所以R ()0，R1 2 xx xx

()0。12 21x(tx(t)为周期信号，所以1TR ()1Tx11

2A1T cos(A10 1

t)A1 1

cos[1

(t)1

]dtA2 T1 1

1cost

(t)

cos

t

(t)

dtT 0 1A2 T

1 1

1 1 1 1 110T 10 1 2T 01

1cos2

t21 1 11T11

dt

1cos()dt0

A2tcos() 12T 111 0

A2cos()2 1R

()A2cos()22x 2221

()R ()R

()

A2cos()A2cos()1 12x x 1 12

2 1 2 2求方波和正弦波〔见图5-24〕的相互关函数。x(t)1sin(t)x(t)1sin(t)0Tt-1y(t)10t-1R ()1Tx(t)y(t)dt1Tx(t)y(t)dtxy T 0 T 01 T 3T 4(1)sin(t)dt4T 0 T4

1sin(t)dtT3T4

(1)sin(t)dt2sin()2y(tx(tx(t)不y(tx(t)的相互关函数即可。y(t)4cost1cos3t1cos5t 3 5 R ()1Tx(t)y(t)dt1

Tsin(t)4cos(t)dtxy T 0

T 0 4所以

T1sin(tt)sin(tt)dt02 2 Tsin(2t)dtTsin()dtT0

0 2

0Tsin()

2sin()T 3R

()定义式计算(参看以下图)。R ()1xy T

xyTx(t)y(t)dt01T(1)sin()

3T1

sin()

) 4T0

tdt

4 4T4

tdt

3T

t dt42sin()xx(t)1sin(t)0Tt-1y(t)10-1T43T4Tty(t+)10T43T4Tt-1参考上图可以算出图中方波y(t)的自相关函数1 4 0T1 T 2R()y

43T

TT2

(nT) n0,1,2,RR()yT/20T方波的自相关函数图某一系统的输人信号为)〔见图5-25，假设输出()与输入(R(R()之间的关系为R()=R(