课件-第二章2-1数列极限

2.1数列的极限一、概念的引入二、数列的定义三、数列的极限四、数列极限的性质五、数列的子列及其性质一、概念的引入

极限概念是从常量到变量,从有限到无限,

即从初等数学过渡到高等数学的关键.

极限的思想源远流长.庄子(约公元前355~275年)在《天下篇》“一尺之棰,日取其半,万世不竭”.意思是:一尺长的棍子,第一天取其一半,第二天取其剩下的一半,以后每天都取其剩下的一半,这样永远也取不完.数列的极限

中写道:刘徽(三世纪)的“割圆术”中说:意思是:设给定半径为1尺的圆,从圆内接正6边形开始,每次把边数加倍,屡次用勾股定理.求出正12边形、……等等正多边形的边长,正24边形.边数越多,圆内接正多边形越与圆接近,最后与圆周重合,则正多边形面积与圆面积就没有误差了.

“割之弥细,所失弥少.割之又割,以至不可割,则与圆周合体,而无所失矣.”正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积二、数列的定义例如注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数3.在平面上画出自变量坐标轴和因变量坐标轴,注

不可将这串点连成曲线.onxn····1234则数列的几何意义是平面上一串分离的点.播放数列极限三、数列的极限问题:当

无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.通过上面演示实验的观察:如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：几何解释:其中数列极限的定义未给出求极限的方法.例1证所以,注意：例2证所以,说明:常数列的极限等于同一常数.小结:用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.例3证例4证四、数列极限的性质1.有界性例如,有界无界定理1

收敛的数列必定有界.证由定义,注意有界性是数列收敛的必要条件.即收敛推论

无界数列必定发散.有界2.唯一性定理2

每个收敛的数列只有一个极限.证由定义,故收敛数列极限唯一.例5证由定义,区间长度为1.不可能同时位于长度为1的区间内.3.保号性定理3如果且证由定义,对有

从而推论如果数列从某项起有且那么用反证法加强定理在数列中依次任意抽出无穷多项:所构成的新数列这里是原数列中的第项,在子数列中是第k项,五.数列的子列及其极限子数列.叫做数列数列的极限?*********************证是数列的任一子数列.若则成立.取正整数

K=N,于是当时,有从而有由此证明*********************定理4设数列数列的极限收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.K=N

由此定理可知,但若已知一个子数列发散,或有两个子数列敛于a.收敛于不同的极限值,可断定原数列是发散的.数列的极限一般不能断定原数列的收敛性;还可以证明:数列的奇子数列和偶子数列均收敛于同一常数a时,则数列也收仅从某一个子数列的收敛(证明课下完成)例试证数列不收敛.证因为的奇子数列不收敛.收敛于所以数列

收敛于六.小结数列:研究其变化规律;数列极限:极限思想,精确定义,几何意义;收敛数列的性质:有界性,唯一性.思考题“”恒有是数列收敛于a的().

A.充分但非必要条件B.必要但非充分条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件(1)C(2)D.不确定三、数