2022年高考冲刺文科数学(江西卷)

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(江西卷)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013江西，文1)复数z＝i(－2－i)(i为虚数单位)在复平面内所对应的点在()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：D解析：z＝i(－2－i)＝1－2i，在复平面上的对应点为(1，－2)，在第四象限，故选D.2．(2013江西，文2)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝()．A．4B．2C．0D．答案：A解析：当a＝0时，显然不成立；当a≠0时．由Δ＝a2－4a＝0，得a3．(2013江西，文3)若，则cosα＝()．A．B．C．D．答案：C解析：cosα＝.故选C.4．(2013江西，文4)集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是()．A．B．C．D．答案：C解析：从A，B中各任取一个数有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共6种情况，其中两个数之和为4的有(2,2)，(3,1)，故所求概率为.故选C.5．(2013江西，文5)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A．08B．07C．02D．答案：D解析：所取的5个个体依次为08,02,14,07,01.故选D.6．(2013江西，文6)下列选项中，使不等式x＜＜x2成立的x的取值范围是()．A．(－∞，－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1，＋∞)答案：A解析：原不等式等价于①或②①无解，解②得x＜－1.故选A.7．(2013江西，文7)阅读如下程序框图，如果输出i＝4，那么空白的判断框中应填入的条件是()．A．S＜8B．S＜9C．S＜10D．S＜答案：B解析：i＝2，S＝5；i＝3，S＝8；i＝4，S＝9，结束．所以填入的条件是“S＜9”．故选B.8．(2013江西，文8)一几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为()．A．200＋9πB．200＋18πC．140＋9πD．140＋18π答案：A解析：由三视图可知，该几何体是由一个长方体及长方体上方的一个半圆柱组成．所以体积V＝4×10×5＋×π·32·2＝200＋9π.故选A.9．(2013江西，文9)已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|＝()．A．2∶B．1∶2C．1∶D．1∶3答案：C解析：射线FA的方程为x＋2y－2＝0(x≥0)．如图所示，知tanα＝，∴sinα＝.由抛物线的定义知|MF|＝|MG|，∴.故选C.10．(2013江西，文10)如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为1m的圆O在t＝0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y＝cosx，则y与时间t(0≤t≤1，单位：s)的函数y＝f(t)的图像大致为()．答案：B解析：假设经过t秒后，圆心移到O1，则有∠EO1F＝2∠AO1F，且cos∠AO1F而x＝1·∠EO1F，∴y＝cosx＝cos∠EO1F＝cos2∠AO1F＝2cos2∠AO1F－1＝2(1－t)2－1＝2t2－4t＋1＝2(t－1)2第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．(2013江西，文11)若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.答案：2解析：切线斜率k＝＝2，又y′＝αxα－1在点(1,2)处，y′|x＝1＝α，故α＝2.12．(2013江西，文12)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________．答案：6解析：由题意知每天植树的棵数组成一个以2为首项，2为公比的等比数列，所以Sn＝＝2(－1＋2n)≥100，∴2n≥51，∴n≥6.13．(2013江西，文13)设f(x)＝sin3x＋cos3x，若对任意实数x都有|f(x)|≤a，则实数a的取值范围是________．答案：[2，＋∞)解析：∵f(x)＝sin3x＋cos3x＝2sin∈[－2,2]，又∵|f(x)|≤a恒成立，∴a≥2.14．(2013江西，文14)若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是________．答案：解析：圆心在直线x＝2上，所以切点坐标为(2,1)．设圆心坐标为(2，t)，由题意，可得4＋t2＝(1－t)2，∴，半径.所以圆C的方程为.15．(2013江西，文15)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．答案：4解析：作FO⊥平面CED，则EO⊥CD，FO与正方体的侧棱平行，所以平面EOF一定与正方体的左、右侧面平行，而与其他四个面相交．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．(2013江西，文16)(本小题满分12分)正项数列{an}满足：－(2n－1)an－2n＝0.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)令，求数列{bn}的前n项和Tn.答案：（1）an＝2n；（2）Tn解析：(1)由－(2n－1)an－2n＝0，得(an－2n)(an＋1)＝0.由于{an}是正项数列，所以an＝2n.(2)由an＝2n，，则，.17．(2013江西，文17)(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAsinB＋sinBsinC＋cos2B＝1.(1)求证：a，b，c成等差数列；(2)若，求的值．答案：（1）略；（2）解析：(1)由已知得sinAsinB＋sinBsinC＝2sin2B，因为sinB≠0，所以sinA＋sinC＝2sinB.由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列．(2)由，c＝2b－a及余弦定理得(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，即有5ab－3b2＝0，所以.

18．(2013江西，文18)(本小题满分12分)小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋．游戏规则为：以O为起点，再从A1，A2，A3，A4，A5，A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X，若X＞0就去打球，若X＝0就去唱歌，若X＜0就去下棋．(1)写出数量积X的所有可能取值；(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．答案：（1）－2，－1,0,1；（2），解析：(1)X的所有可能取值为－2，－1,0,1.(2)数量积为－2的有·，共1种；数量积为－1的有·，·，·，·，·，·，共6种；数量积为0的有·，·，·，·，共4种；数量积为1的有·，·，·，·，共4种．故所有可能的情况共有15种．所以小波去下棋的概率为；因为去唱歌的概率为，所以小波不去唱歌的概率p＝1－p2＝.19．(2013江西，文19)(本小题满分12分)如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝，AA1＝3，E为CD上一点，DE＝1，EC＝3.(1)证明：BE⊥平面BB1C(2)求点B1到平面EA1C1答案：（1）略；（2）解析：(1)证明：过B作CD的垂线交CD于F，则BF＝AD＝，EF＝AB－DE＝1，FC＝2.在Rt△BFE中，BE＝.在Rt△CFB中，BC＝.在△BEC中，因为BE2＋BC2＝9＝EC2，故BE⊥BC.由BB1⊥平面ABCD得BE⊥BB1，所以BE⊥平面BB1C(2)解：三棱锥EA1B1C1的体积V＝AA1·＝.在Rt△A1D1C1中，A1C1＝同理，EC1＝，A1E＝.故＝.设点B1到平面EA1C1的距离为d，则三棱锥B1A1V＝·d·＝，从而，.

20．(2013江西，文20)(本小题满分13分)椭圆C：(a＞b＞0)的离心率，a＋b＝3.(1)求椭圆C的方程；(2)如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m.证明：2m－k答案：（1）；（2）略解析：(1)因为，所以，.代入a＋b＝3，得，a＝2，b＝1.故椭圆C的方程为.(2)方法一：因为B(2,0)，P不为椭圆顶点，则直线BP的方程为y＝k(x－2)，①①代入，解得P.直线AD的方程为：.②①与②联立解得M.由D(0,1)，P，N(x,0)三点共线知，解得N.所以MN的斜率为m＝，则2m－k＝(定值)．方法二：设P(x0，y0)(x0≠0，±2)，则，直线AD的方程为：，直线BP的方程为：，直线DP的方程为：，令y＝0，由于y0≠1可得N，联立解得M，因此MN的斜率为m＝＝＝＝，所以2m－k＝＝＝＝＝(定值)．

21．(2013江西，文21)(本小题满分14分)设函数f(x)＝a为常数且a∈(0,1)．(1)当时，求；(2)若x0满足f(f(x0))＝x0，但f(x0)≠x0，则称x0为f(x)的二阶周期点．证明函数f(x)有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点x1，x2；(3)对于(2)中的x1，x2，设A(x1，f(f(x1)))，B(x2，f(f(x2)))，C(a2,0)，记△ABC的面积为S(a)，求S(a)在区间上的最大值和最小值．答案：（1）；（2）证明略，，；（3）最小值为，最大值为解析：(1)当时，，.(2)f(f(x))＝当0≤x≤a2时，由解得x＝0，因为f(0)＝0，故x＝0不是f(x)的二阶周期点；当a2＜x≤a时，由解得∈(a2，a)，因，故为f(x)的二阶周期点：当a＜x＜a2－a＋1时，由(x－a)＝x解得∈(a，a2－a＋1)，因