2017年高考数学（文）一轮复习讲练测 专题6.2 等差数列及其前n项和（讲）

成等差数列.（6）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列．（7）若数列是等差数列,则仍为等差数列．2．设数列是等差数列，且公差为，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有项，则①；②；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则①(中间项)；②.3.,则,.4.如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．5.若与为等差数列，且前项和分别为与，则.【方法规律技巧】1.等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题．2.等差数列的性质多与其下标有关，解题需多注意观察，发现其联系，加以应用,故应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系．3.应用等差数列的性质要注意结合其通项公式、前n项和公式．4.解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向、形成解题策略.【新题变式探究】【变式一】【2016届河南新乡名校联盟押题四】已知各项都不相等的等差数列，满足，且，则数列项中的最大值为．【答案】6【解析】【变式二】【2016年江西省四校高三一模测试】已知数列是等比数列，数列是等差数列，若,则的值是（）A.1B.C.D.【答案】D【解析】试题分析：数列是等比数列，数列是等差数列，，且,考点3等差数列的前项和公式的综合应用，等差数列最值【3-1】【【2016年江西师大附中鹰潭一中联考】已知等差数列的前项和为，满足，且，则中最大的是（）A． B． C． D．【答案】B【3-2】【2016届河南省重点中学高三下第二次月考】等差数列的前项和为，数列是等比数列，且满足，，，数列的前项和，若对一切正整数都成立，则的最小值为________.【答案】【解析】试题分析：设公差为，公比为，由，有，再由，有，所以，，用错位相减法求：，，两式相减得，故.【3-3】【【2016海南中学考前模拟】一弹性小球从100高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的再落下，设它第次着地时，共经过了，则当时，有（）A．的最小值为100B．的最大值为400C．D．【答案】C综合点评：这几个题都是等差数列最值问题，解这一类题，往往结合数列的性质，以及数列的函数特征，因此审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，利用二次函数，基本不等式，解二次不等式等，从而解决问题.【课本回眸】1.等差数列的前n项和公式若已知首项和末项，则，或等差数列{an}的首项是，公差是，则其前项和公式为.2．等差数列的增减性：时为递增数列，且当时前n项和有最小值．时为递减数列，且当时前n项和有最大值．【方法规律技巧】求等差数列前项和的最值，常用的方法：1.利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当，时，有最大值；，时，有最小值；若已知，则最值时的值（）则当，，满足的项数使得取最大值，(2)当，时，满足的项数使得取最小值.2.利用等差数列的前n项和：(为常数,)为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（,递增；，递减）；3.利用数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设为最大项，则有；求最小项的方法：设为最小项，则有.只需将等差数列的前n项和依次看成数列，利用数列中最大项和最小项的求法即可.4.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用.【新题变式探究】【变式一】设等差数列满足，公差，当且仅当时，数列的前项和取得最大值，求该数列首项的取值范围（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由等差数列的性质，得，【变式二】【2014高考江西卷第13题】在等差数列中，，公差为，前项和为，当且仅当时取最大值，则的取值范围_________.【答案】【解析】由题意得：，所以，即三、易错试题常警惕易错典例：在等差数列中，已知a1＝20，前n项和为，且S10＝S15，求当n取何值时，有最大值，并求出它的最大值．【错解一】设公差为d，∵S10＝S15，∴10×20＋eq\f(10×9,2)d＝15×20＋eq\f(15×14,2)d.得d＝－eq\f(5,3)，an＝20－(n－1)·eq\f(5,3).当an＞0时，20－(n－1)·eq\f(5,3)＞0，∴n＜13.∴n＝12时，Sn最大，S12＝12×20＋eq\f(12×11,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)))＝130.当n＝12时，Sn有最大值S12＝130.【错解二】由a1＝20，S10＝S15，解得公差d＝－eq\f(5,3)，令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20＋（n－1）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)))＞0，①,20＋n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)))≤0，②))由①得n＜13，由②得n≥12，∴n＝12时，Sn有最大值S12＝130.易错分析：错解一中仅解不等式an＞0不能保证Sn最大，也可能an＋1＞0，应有an≥0且an＋1≤0.错解二中仅解an＋1≤0也不能保证Sn最大，也可能an≤0，应保证an≥0才行．正确解析：解法一：∵a1＝20，S10＝S15，∴10×20＋eq\f(10×9,2)d＝15×20＋eq\f(15×14,2)d.∴d＝－eq\f(5,3).∴an＝20＋(n－1)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)))＝－eq\f(5,3)n＋eq\f(65,3).∴a13＝0.即当n≤12时，an＞0，n≥14时，an＜0.∴当n＝12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S12＝S13＝12×20＋eq\f(12×11,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)))＝130.解法二：同解法一，求得d＝－eq\f(5,3)，∴Sn＝20n＋eq\f(n（n－1）,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)))＝－eq\f(5,6)n2＋eq\f(125,6)n＝－eq\f(5,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(25,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3125,24).∵n∈N*，∴当n＝12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.解法三：同解法一，求得d＝－eq\f(5,3)，又由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0，∴5a13＝0，即a13＝0.又a1＞0，∴a1，a2，…，a12均为正数．而a14及以后各项均为负数，∴当n＝12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.温馨提醒：1.解决等差数列前n项和最值问题时一般利用通项不等式组法，即①当a1＞0，d＜0时，Sn最大⇔；②当a1＜0，d＞0时，Sn最小⇔.2.在关于正整数n的二次函数中其取最值的点要根据正整数距离二次函数的对称轴的远近而定．3.等差数列的基本运算中，容易出现的问题主要有两个方面：一是忽视题中的条件限制，如公差与公比的符号、大小等，导致增解；二是不能灵活利用等差(比)数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程组较为复杂，增大运算量．四、学科素养提升之思想方法篇函数思想在数列求最值问题中的应用数列是特殊的函数关系，因此常利用函数的思想解决数列中最值问题1．等差数列的前n项和与函数的关系等差数列的前n项和公式为Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d可变形为Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n，令A＝eq\f(d,2)，B＝a1－eq\f(d,2)，则Sn＝An2＋Bn.当A≠0，即d≠0时，Sn是关于n的二次函数，(n，Sn)在二次函数y＝Ax2＋Bx的图象上，为抛物线y＝Ax2＋Bx上一群孤立的点．利用此性质可解决前n项和Sn的最值问题．2．等差数列前n项和的最值(1)若等差数列的首项a1>0，公差d<0，则等差数列是递减数列，正数项有限，前n项和有最大值，且满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0.))(2)若等差数列的首项a1<0，公差d>0，则等差数列是递增数列，负数项有限，前n项和有最小值，且满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0.))3．求等差数列前n项和的最值的方法(1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n项和的最值，但要注意n∈N*.(2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn取得最值．(3)项的符号法：当a1>0，d<0时，满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))的项数n，使Sn取最大值；当a1<0，d>0时，满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0)