中考考点二次函数知识点汇总全

中考考点二次函数知识点汇总全2、一元二次函数；3、反比例函数★二次函数知识点一、二次函数概念：.二次函数的概念：一般地，形如y=a2+bx+c（a，bcc是常数，a。°）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a。°，而bcc可以为零.二次函数的定义域是全体实数..二次函数y=a*2+bx+c的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.⑵acbcc是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.二、二次函数的基本形式：.二次函数基本形式：二次函数y=ax2+bx+c用配方法可化成：y=aQi'+k的形式，其中,b4 4ac一b2h—— ,k—a 4a..二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y―ax2.②y—ax2+k.③y—a(x-h).④y—a(x-h)+k.⑤y—ax2+bx+c三、二次函数的性质:1、y=ax2的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>°向上(°,°)y轴x>°时，y随x的增大而增大；x<°时，y随x的增大而减小；x—°时，y有最小值°.a<°向下(°,°)y轴x>°时，y随x的增大而减小；x<°时，y随x的增大而增大；x—°时，y有最大值°.2.y=ax2+c的性质：上加下减。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>°向上(°,c)y轴x>°时，y随x的增大而增大；x<°时，y随-1-

中考考点二次函数知识点汇总全x的增大而减小；x―0时，y有最小值c.a<0向下（0，c）y轴x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增大；x―0时，y有最大值c..丁="h>的性质：左加右减。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上(h,0)X=hx>h时，y随x的增大而增大；x<h时，y随x的增大而减小；x―h时，y有最小值0.a<0向下(h,0)X=hx>h时，y随x的增大而减小；x<h时，y随x的增大而增大；x―h时，y有最大值0..y=a(x-h)2+上的性质:a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上(h,k)X=hx>h时，y随x的增大而憎大；x<h时，y随x的增大而减小；x-h时，y有最小值k.a<0向下(h,k)X=hx>h时，y随x的增大而减小；x<h时，y随x的增大而憎大；x-h时，y有最大值k..顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同..求抛物线的顶点、对称轴的方法yy=ax2+bx+c=/%+bf+4^\o"CurrentDocument"⑴公式法： I2aJ 4a\o"CurrentDocument"/b4ac-b2 b(——, ) x———・•・顶点是2 4a ，对称轴是直线 2a⑵配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为y―a<x—h+k的形式，得到顶点为（h,k），对称轴是⑶运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.四、二次函数图象的平移：

中考考点二次函数知识点汇总全.平移步骤：方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式y=41)2+k，确定其顶点坐标",k；⑵保持抛物线y=ax2的形状不变，将其顶点平移到",k处，具体平移方法如下：y=aX2y=ax2+k向上(k>y=aX2y=ax2+k向上(k>0)【或向下(k<0)】平移IkI个单位向上(k>0)【或下(k<0)]平移Ik个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移Iki个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移Iki个单位 >向上(k>0)【或下(k<0)】平移IkI个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移Iki个单位y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k.平移规律：在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”.概括成八个字“左加右减，上加下减”.方法二：⑴y=ax2+bx+°沿y轴平移：向上(下)平移m个单位，y=a2+bx+°变成y=y=ax2+bx+c+m(或y=ax2+bx+c-m⑵y=ax2+bx+°沿轴平移：向左(右)平移m个单位，y=a2+bx+°变成y=a(x+m)2+b(x+m)+°(或y=ay=a(x+m)2+b(x+m)+°五、二次函数y=°Qi)2+k与y=a2+bx+°的比较4a°一b2+ 4a从解析式上看，y=°^x-h^2+k与y=4a°一b2+ 4a7b14a°-b2h— ,k—其中 2a 4a六、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a二次函数y=a*2+bx+°中，a作为二次项系数，显然a00.⑴当a>0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大;⑵当a<0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大.总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，团的大小决定开口的大小..一次项系数b:在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴.⑴在a>0的前提下，当b>0

中考考点二次函数知识点汇总全时,时,b2ab—2a<° ——中考考点二次函数知识点汇总全时,时,b2ab—2a<° ——_°,即抛物线的对称轴在y轴左侧；当b_°时，2a,即抛物线的对称轴就是y轴；当b<°>°，即抛物线对称轴在》轴的右侧.⑵在a<°的前提下,结论刚好与上述相反，即当b>°时,上_°时，2a，即抛物线的对称轴就是y轴；当b<°时,°2a,即抛物线的对称轴在y轴右侧；当b_°b<°，即抛物线对称轴在y轴的左侧.总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置.在>轴的右侧则ab在>轴的右侧则ab<°，概括的说就是（3）ab的符号的判定：对称轴 2a在>轴左边则ab>°“左同右异”.常数项。：⑴当。>°时，抛物线与》轴的交点在％轴上方，即抛物线与》轴交点的纵坐标为正；⑵当c_°时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为°;⑶当。<°时，抛物线与y轴的交点在1轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负.总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置.总之，只要a，b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式的确定：一般来说，有如下几种情况：.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；.已知抛物线与％轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.七、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达.关于％轴对称：y_0*2+bx+c关于％轴对称后，得到的解析式是y_-ax2-b-c；y_a（%-h>+k关于x轴对称后，得到的解析式是y=-。1>-k;.关于y轴对称：y_0*2+bx+c关于y轴对称后，得到的解析式是y_a2-bx+c；y_4-h>+k关于y轴对称后，得到的解析式是y_a（%+h>+k;.关于原点对称：y_a2+bx+c关于原点对称后，得到的解析式是y_-a*2+bx-c；y_Ki>+k关于原点对称后，得到的解析式是y=-a（%+hX-k;.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）：y_a2+bx+c关于顶点对称后，得到的解析式是v=a%x2-br+c-b-2a；^_"X-h》+k关于顶点对称后，得到的解析式是丁=-'%-'》+k.-4-中考考点二次函数知识点汇总全5.关于点（m，〃）对称：产4—h屋k关于点（m，Q对称后，得到的解析式是根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此^永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.八、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与、轴交点情况）：一元二次方程以2+bx+c=0是二次函数y=ax2+bx+c当函数值y=0时的特殊情况.图象与％轴的交点个数：①当'=b2-4ac>0时，图象与％轴交于两点A（xJ0"B（x2，0）（%产x2），其（、 AB=%-x|=^4^中的％i,%2是一元二次方程©2+bX+c=0（a=0）的两根.这两点间的距离 21 ㈤②当A:0时，图象与%轴只有一个交点；③当八<0时，图象与%轴没有交点.11当a>0时，图象落在%轴的上方，无论%为任何实数，都有y>0;1当a<0时，图象落在%轴的下方，无论%为任何实数，都有y<0..抛物线y=ax2+b%+c的图象与y轴一定相交，交点坐标为（0,c）；.二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象与%轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数y=a2+b%+c中a,b,c的符号，或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与%轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式a2+b%+c（a0）本身就是所含字母%的二次函数；下面以a>0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系A>0抛物线与%轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一兀二次方程有两个不相等实根A=0抛物线与%轴只有一个交点二次三项式的值为非负一兀二次方程有两个相等的实数根A<0抛物线与%轴无交占!\\\二次三项式的值恒为正一兀二次方程无实数根.-5-

中考考点二次函数知识点汇总全九、函数的应用'刹车距离＜何时获得最大利润、最大面积是多少★二次函数考查重点与常见题型1、考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以％为自变量的二次函数＞=(m—2"2+m2—m—2的图像经过原点，则m的值是( )。2、综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数丁=kx+b的图像在第一、二、三象限内，那么函3、考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性5x=—的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为 3，求这条抛物线的解析式。4、考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：已知抛物线＞=a，2+bx+°(a十0)与x轴的两个交点的横坐标是一1、3,与y轴交点的纵坐标是一|(1)确定抛物线的解析式；(2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标5.考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。【例题经典】由抛物线的位置确定系数的符号一°_M M(b,-)例1(1)二次函数y=ax2+bx+°的图像如图1,则点a在()A.第一象限B.第二象限C第三象限 D.第四象限(2)已知二次函数y=ax2+bx+c(a十0)的图象如图2所示，□则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是()A.1个B.2个C3个D.4个(1)【点评】弄清抛物线的位置与系数(1)【点评】弄清抛物线的位置与系数a(2),b,c之间的关系，是解决问题的关键.中考考点二次函数知识点汇总全例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2,O)、(xl,0),且1<x1<2,与y轴的正半轴的交点在点(O,2)的下方.下列结论：①a<b<0；②2a+c>O；③4a+c<O；④2a-b+1>O,其中正确结论的个数为()A1个B.2个C.3个D.4个 答案：D会用待定系数法求二次函数解析式例3.已知：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=-2,且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2,则抛物线的顶点坐标为()A(2,-3) B.(2,1) C(2,3)D.(3,2) 答案：C例4.已知:二次函数y=ax2-(b+1)x-3a的图象经过点P(4,10),交x轴于A(\0),B(x2,0)两点(\<x2)交y轴负半轴于C点，且满足3AO=OB.⑴求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点M,使锐角NMCO>NACO?若存在，请你求出M点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由.TOC\o"1-5"\h\z(1)解：如图・.・抛物线交x轴于点A(x1,0),B(x2,O), 产贝ljx1・x2=3<0,又.「x1<x2, 1 j/.x2>O,x1<O,V30A=OB,Ax2=-3x1. \ _「.x1・x2=-3x12=-3.，x12=1. 昼x1<0,「.x1=-1.「..x2=3. )・・・点A(-1,O),P(4,10)代入解析式得解得a=2b=3 斗，・・..二次函数的解析式为y-2x2-4x-6. 1⑵存在点M使NMC0<NACO.(2)解：点A关于y轴的对称点A,(1,O),,直线A,C解析式为y=6x-6直线A'C与抛物线交点为(0,-6),(5,24).・符合题意的x的范围为-1<x<0或O<x<5.当点M的横坐标满足-1<x<O或O<x<5时，NMCO>NACO.例5、某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x(元)口与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表：x(元)152030…y（件）252010…若日销售量y是销售价x的一次函数.(1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式；(2)要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元口此时每日销售利润是多少元115k+b=25,.12k4b20【解析】(1)设此一次函数表达式为y=kx+b.则〔2k十b20解得k=-1,b=40,口即一次函数表达式为y=-x+40.(2)设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元：w=(x-10)(40-x)=-x2+50x-400=-(x-25)2+225.产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元.★二次函数知识点汇总支★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★9.抛物线>=a2+bx+c中，a,b,0的作用中考考点二次函数知识点汇总全（i）a决定开口方向及开口大小，这与>=a2中的a完全一样._b⑵b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线丁=ax2+bx+c的对称轴是直线x二-2a,故：b>0①b—0时，对称轴为丁轴；②a（即。、b同号）时，对称轴在丁轴左侧；<o③a（即a、b异号）时，对称轴在丁轴右侧.（3）c的大小决定抛物线>=a2+bx+c与丁轴交点的位置.当x=0时，>=c，，抛物线>=a2+bx+c与丁轴有且只有一个交点（o,c）：①c=0，抛物线经过原点；②c>0,与丁轴交于正半轴；③c<0，与丁轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在丁轴右侧，则a<°10.几种特殊的二次函数的图像特征如下:函数解析式开口方向对称轴顶点坐标y=ax2当a>0时开口向上当a<0时开口向下x=0(y轴)(0,0)y=ax2+kx=0(y轴)(0,k)y=a(x-h}x=h(h,0)y=axc-h}+kx=h(h,k)y=ax2+bx+cbx--——2ab4ac-b2,(2a 4a )ii.用待定系数法求二次函数的解析式（i）一般式：>=a2+bx+c.已知图像上三点或三对x、丁的值，通常选择一般式.（2）顶点式：丁=aQ—%+k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标xi、x2，通常选用交点式：丁=aQ—xi）x—x2）12.直线与抛物线的交点⑴》轴与抛物线>=a2+bx+c得交点为（0,c）⑵与丁轴平行的直线x=h与抛物线>=ax2+bx+c有且只有一个交点（h,ah2+bh+c）.⑶抛物线与x轴的交点：二次函数>=ax2+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标xi、x2，是对应一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根

中考考点二次函数知识点汇总全的判别式判定：①有两个交点oA>00抛物线与1轴相交；②有一个交点（顶点在1轴上）=△=0=抛物线与1轴相切；③没有交点=△<0=抛物线与1轴相离.⑷平行于1轴的直线与抛物线的交点同⑶一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是a12+b1+°=k的两个实数根.⑸一次函数k1k+n0丰0）的图像/与二次函数尸a2+b1+400）的图像G的交点，由方程组[y=kx+n[y=a2+b1+c的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时01与G有两个交点；②方程组只有一组解时01与G只有一个交点：③方程组无解时01与G没有交点.（6）抛物线与1（6）抛物线与1轴两交点之间的距离：若抛物线y=a12+b1+C与1轴两交点为aQ,0)BQ,0)由于bc1+1=―-,1•1=-11、12是方程a12+b1+c=0的两个根，故 12a12a2 4c \b2—4ac <'A1a.二次函数与一元二次方程的关系:一元二次方程y=a2+b1+C就是二次函数y=a2+b1+C当函数y的值为0时的情况.⑵二次函数y=a2+b1+c的图象与1轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数y=（a2+b1+c的图象与1轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量1的值，即一元二次方程a12+b1+c=0的根.⑶当二次函数y=a12+b1+C的图象与1轴有两个交点时，则一元二次方程y=a2+b1+C有两个不相等的实数根；当二次函数y=a2+b1+C的图象与1轴有一个交点时，则一元二次方程ax2+b1+c=0有两个相等的实数根；当二次函数y=a12+b1+c的图象与1轴没有交点时，则一元二次方程a12+b1+c=0没有实数根.二次函数的应用：⑴二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大（小）值；⑵二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；

中考考点二次函数知识点汇总全运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值.15.解决实际问题时的基本思路：（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等.黄冈中学“没有学不好滴数学”系列之十二二次函数知识点详解（最新原创助记口诀）知识点四，正比例函数和一次函数1、一般地，如果>=kx+b（k,b是常数，k丰0）,那么y叫做x的一次函数。特别地，当一次函数>=kx+b中的b为0时，>=kx（k为常数，k丰0）。这时，y叫做x的正比例函数。2、一次函数的图像：所有一次函数的图像都是一条直线3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数>=kx+b的图像是经过点（0,b）的直线；正比中考考点二次函数知识点汇总全0 x注：当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。4、正比例函数的性质一般地，正比例函数>=kx有下列性质：（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。5、一次函数的性质一般地，一次函数>=kx+b有下列性质：（1）当k>0时，y随x的增大而增大（2）当k<0时，y随x的增大而减小6、正比例函数和一次函数解析式的确定确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式>=kx（k丰0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式>=kx+b（k丰0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法知识点五、反比例函数ky=—1、反比例函数的概念：一般地，函数 x（k是常数，k丰0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成y=kT的形式。自变量x的取值范围是x丰0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。2、反比例函数的图像反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x丰0，函数yW0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。反比例函数的性质反比例函数ky=一（kw0）xk的符号k>0k<0图像y，J卜OxOx»11

中考考点二次函数知识点汇总全性质①x的取值范围是x丰0，y的取值范围是yW0；②当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y随x的增大而减小。①x的取值范围是x丰0，y的取值范围是yW0；②当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内，y随x的增大而增大。ky二4、反比例函数解析式的确定：确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数 ,中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。知识点六、二次函数的概念和图像1、二次函数的概念：一般地，如果特>=a2+bX+°也C是常数,a丰0），特别注意a不为零那么y叫做x的二次函数。y=a2+bx+C（0力'C是常数,0丰0）叫做二次函数的一般式。bX=- 2、二次函数的图像：二次函数的图像是一条关于 2a对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。3、二次函数图像的画法五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线y=a2+bx+C与坐标轴的交点：当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点,画出二次函数的图像。知识点七、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：口诀——一般两根三顶点⑴一般一般式：y⑴一般一般式：y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a丰0）⑵两根当抛物线y=a2+bx+C与x轴有交点时，即对应二次好方程ax2+bx+c=0有实根x1和X2存在时，根据二次三项式的分解因式a2+bx+C=a（x-x1）（x-x2），二次函数y=ax2+bx+C可转化为两根式y=a（x—xi）（x—x2）。如果没有交点，则不能这样表示。a的绝对值越大，抛物线的开口越小。（3）三顶点顶点式：（3）三顶点顶点式：y=a（x一h）2+k（a,h,k是常数，a丰0）知识点八、二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最-12-中考考点二次函数知识点汇总全b 4ac一b2 bx=—— y= vv ——小值)，即当 2a时，最值4a 。如果自变量的取值范围是xi&x&x2，那么，首先要看2@b 4ac一b2—— y二 是否在自变量取值范围x1-x-x2内，若在此范围内，则当X=2a时，最值4a；若不在此范围内，则需要考虑函数在xi-x-x2范围内的增减性，如果在此范围内，y随X的增大而增大，则当x=x2y =ax2+bx+cx=xy=ax2+bx+c时，,最大2 2，当i时，'最小 ii；如果在此范围内，y随x的增大而减小，x=xy=ax2+bx+c x=xy=ax2+bx+c则当i时，,最大ii，当2时，最小2 2 。知识点九、二次函数的性质1、二次函数的性质函数二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a丰0）图像a>0a<0y111b00fx性质(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸；b b(2)对称轴是x=2a，顶点坐标是(2a,4ac-b24a )；b(3)在对称轴的左侧，即当x<2a时，y随xb的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>2a时，y随x的增大而增大，简记左减右增；(1)抛物线开口向下，并向下无限延伸；b b(2)对称轴是x=2a，顶点坐标是(2a,4ac-b24a)；b(3)在对称轴的左侧，即当x<2a时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当bx>2a时，y随x的增大而减小，简记左增右减；-13-

中考考点二次函数知识点汇总全b（4）抛物线有最低点，当x=2a时，y有最小4ac-b2y—值最小值 4ab（4）抛物线有最高点，当x=2a时，y有最4ac-b2y—大值，最大值 4a2、二次函数>=a2+bx+c（a，b,c是常数，。丰0）中，〃、b、c的含义：a表示开口方向：a>0时，b抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下。b与对称轴有关：对称轴为x=2a。c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）3、二次函数与一元二次方程的关系：一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。因此一元二次方程中的△=b2―4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。当△>0时，图像与x轴有两个交点；当△=0时，图像与x轴有一个交点；当△<0时，图像与x轴没有交点。知识点十中考二次函数压轴题常考公式（必记必会，理解记忆）1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）③平移规律：在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”.函数平移图像大致位置规律（中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助,可以大大节省做题的时间）特别记忆一同左上加异右下减（必须理解记忆）-14-中考考点二次函数知识点汇总全说明①函数中ab值同号，图像顶点在y轴左侧同左，ab值异号，图像顶点必在Y轴右侧异右②向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减。T y—yk=tana=t 1直线斜率： X2—"1 b为直线在y轴上的截距4、直线方程：①两点由直线上两点确定的y—y=kx+b=(tana)x+b=y~~yix(x—x)1 x—x 1直线的两点式方程，简称两式： x2xi 此公式有多种变形牢记；②点斜y—yi=kx(x—xi);③斜截直线的斜截式方程，简称斜截式：y=kx+b(k十0)xy1—+=1④截距由直线在x轴和y轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：〃bl 'n."JT-lz-±-4.U/\.□11l-, ly~kx+bIy—kx+b~l7<~I〃I mill-l〃/^^k—krq5、设两条直线分力IJ为，1：/ 1 1 2： 2 2右1 2,则有12 1 2且若11112ok1-k2——1，点P(x0,y0)到直线y=kx+b(即：kx-y+b=0)的距离:d |kx—y+b| |kx—y+bJk2+(—1)2 vk2+1抛物线y―a2+bx+c中，abc,的作用0决定开口方向及开口大小，这与y―"a2中的a完全一样.b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y―a2+bx+c的对称轴是直线x——b ”02a，故：吩=0时，对称轴为y轴；②a (即a、b同号)时，对称轴在y轴左侧;(即a、b异号)时，对称轴在y轴右侧. 口诀---同左异右c的大小决定抛物线y―a2+bx+c与y轴交点的位置.当x―0时，y=c，，抛物线y=ax2+bx+c与y轴有且只有一个交点(0,c)：①c00，抛物线经过原点；②c>0，与y轴交于正半轴；③c<0，与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时,b<0仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则a十一、初中数学助记口诀(函数部分)特殊点坐标特征:坐标平面点(x,y),横在前来纵在后；(+,+),(-,+),(-,-)和(+,-)，四个象限分前后；X轴上y为0,x为0在Y轴。对称点坐标:对称点坐标要记牢,相反数位置莫混淆，X轴对称y相反,Y轴对称,x前面添负号；原点对称最-15-中考考点二次函数知识点汇总全好记，横纵坐标变符号。自变量的取值范围：分式分母不为零，偶次根下负不行；零次幕底数不为零，整式、奇次根全能行。函数图像的移动规律:若把一次函数解析式写成y=k（x+0）+b、二次函数的解析式写成y=a（x+h）2+k的形式，则用下面后的口诀“左右平移在括号上下平移在末稍，同左上加异右下减一次函数图像与性质口诀:一次函数是直线，图像经过仁象限；正比例函数更简单经过原点一直线；两个系数k与b,作用之大莫小看，k是斜率定夹角,b与Y轴来相见,k为正来右上斜,x增减y增减；k为负来左下展,变化规律正相反；k的绝对值越大,线离横轴就越远。二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点，它们确定图象现；开口、大小由a断,c与Y轴来相见,b的符号较特别，符号与a相关联；顶点位置先找见，Y轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要，一般式配方它就现，横标即为对称轴，纵标函数最值见。若求对称轴位置,符号反，一般、顶点、交点式，不同表达能互换。反比例函数图像与性质口诀:反比例函数有特点,双曲线相背离的远;k为正,图在一、三（象）限,k为负，图在二、四（象）限;图在一、三函数减,两个分支分别减。图在二、四正相反,两个分支分别添;线越长越近轴，永远与轴不沾边。正比例函数是直线，图象一定过圆点，k的正负是关键，决定直线的象限，负k经过二四限，x增大y在减，上下平移k不变，由引得到一次线，向上加b向下减，图象经过三个限，两点决定一条线，选定系数是关键。反比例函数双曲线，待定只需一个点，正k落在一三限，x增大y在减，图象上面任意点，矩形面积都不变，对称轴是角分线x、y的顺序可交换。二次函数抛物线，选定需要三个点，a的正负开口判，c的大小y轴看，△的符号最简便，x轴上数交点，a、b同号轴左边抛物线平移a不变，顶点牵着图象转，三种形式可变换，配方法作用最关键。1对称点坐标：对称点坐标要记牢,相反数位置莫混淆，X轴对称y相反，Y轴对称,x前面添负号；原点对称最好记,横纵坐标变符号。关于％轴对称y=a2+bx+c关于％轴对称后，得到的解析式是y=_ax2-bx-c.y=4x-h»+k关于x轴对称后，得到的解析式是y=-a（x-h»-k；关于y轴对称y=a2+bx+c关于y轴对称后，得到的解析式是y=a*2-bx+c；y=虱*-h屋k关于y轴对称后，得到的解析式是y=°（*+h»+k；关于原点对称y=a2+bx+c关于原点对称后，得到的解析式是y=-a2+bx-c；y=。（*-h»+k关于原点对称后，得到的解析式是y=-a（x+h）2-k关于顶点对称一T. b27 y=-ax2-bx+c y=ax2+bx+c关于顶点对称后，得到的解析式是 2a；y=°（x-h»+k关于顶点对称后，得到的解析式是y=-°（x-h»+k.-16-中考考点二次函数知识点汇总全y=a(%-仆+k关于点(m,n)对称后，得到的解析式是丁…(%+h-2m>+2n—k根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因止M永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.口诀 Y反对X,X反对Y,都反对原点2自变量的取值范围：分式分母不为零，偶次根下负不行；零次幕底数不为零，函数图像的移动规律：若把一次函数解析式写成y=k(x+0)+b,二次函数的解析式写成y=a(x+h)2+k的形式，则用下面后的口诀：“左右平移在括号，上下平移在末稍，左正右负须牢记,上正下负错不了”。一次函数图像与性质口诀:一次函数是直线，图像经过仁象限；正比例函数更简单经过原点一直线；两个系数k与b,作用之大莫小看，k是斜率定夹角,b与Y轴来相见,k为正来右上斜,x增减y增减；k为负来左下展,变化规律正相反；k的绝对值越大,线离横轴就越远。二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶点和交点它们确定图象限；开口、大小由a断,c与Y轴来相见,b的符号较特别，符号与a相关联；顶点位置先找见，Y轴作为参考线，左同右异中为0,牢记心中莫混乱；顶点坐标最重要一般式配方它就现，横标即为对称轴,纵标函数最值见。若求对称轴位置，符号反，一般、顶点、交点式，不同表达能互换。反比例函数图像与性质口诀：反比例函数有特点,双曲线相背离的远；k为正,图在一、三(象)限；k为负,图在二、四(象)限；图在一、三函数减,两个分支分别减；图在二、四正相反,两个分支分别添;线越长越近轴,永远与轴不沾边。函数学习口决：正比例函数是直线，图象一定过原点，k的正负是关键，决定直线的象限，负k经过二四限，x增大y在减，上下平移k不变，由引得