中考数学高频考点突破-相似三角形的应用

中考数学高频考点突破——相似三角形的应用如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=12 cm，高AD=8 cm．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25 m，已知李明直立时的身高为1.75 m，求路灯的高CD的长．（结果精确到据《九章算术》记载：“今有山居木西，不知其高，山去五十三里，木高九丈五尺．人立木东三里，望木末适与山峰斜平，人目高七尺．何山高几何？大量如下：如图，今有山AB位于树CD的西面．山高AB为未知数，山与树相距53里，树高9丈5尺，人站在离树3里的F处，观察到树梢C恰好与山峰A处在同一斜线上，人眼离地7尺．问山AB的高约为多少丈？（1丈=10尺，结果精确到个位）现有一块直角三角形木板，它的两条直角边分别为3米和4米，要把它加工成面积最大的正方形桌面，甲，乙二人加工方法分别如图1和图2所示，请运用所学知识说明谁的加工方法符合要求．如图，某校宣传栏BC后面12米处种有一排与宣传栏平行的若干棵树，即BC∥ED，且相邻两棵树的间隔为2米，一人站在距宣传栏前面的A处正好看到两端的树干，其余的树均被宣传栏挡住．已知AF⊥BC，AF=3米，BC=10米，求该宣传栏后大雁塔是现存最早规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，被国务院批准列人第一批全国重点文物保护单位，某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆CD，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，古塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得EC=1.28米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，古塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与古塔底处的点A在同一直线上），这时测得FG=1.92米，GC=20米，请你根据以上数据，计算古塔的高度AB．如图，小明为了测量某古城墙MN的高，在离N点11.2m的A处放了一个平面镜，小明沿NA后退到C点，正好从镜中看到古城墙MN的顶端M处，若AC=1.4m，小明的眼睛离地面的高度BC为1.5m，BC⊥CN，MN⊥CN小红想利用阳光下的影长测量学校旗杆AB的高度．如图，她在地面上竖直立一根2米长的标杆CD，某一时刻测得其影长DE=1.2米，此时旗杆AB在阳光下的投影BF=4.8米，AB⊥BD，CD⊥BD．请你根据相关信息，求旗杆AB的高．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目测点D到地面的距离DG=1.5米，到旗杆的水平距离DC=20米，求旗杆的高度．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40 cm，EF=20 cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5 m，CD=10 如图，小明晚上由路灯A下的点B处走到点C处时，测得自身影子CD的长为1米，他继续往前走3米到达点E处（即CE=3米），测得自己影子EF的长为2米，已知小明的身高是1.5米，求路灯AB的高度．如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小红从距离路灯底部（O点）20米的A点沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？如图，在Rt△ABC中，∠A=90∘，AB=20cm，AC=15cm，在这个直角三角形内有一个内接正方形，正方形的一边FG在BC上，另两个顶点E，H分别在边(1)求BC边上的高．(2)求正方形EFGH的边长．如图，晚上，小亮在广场上乘凉．图中线段AB表示站立在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯．(1)请你在图中画出小亮在照明灯（P）照射下的影子；(2)如果灯杆高PO=12 m，小亮的身高AB=1.6 m，小亮与灯杆的距离如图，路灯SO的高度为9米，把一根长为1.5米的竹竿AB竖立在水平地面上，测得竹竿的影子BC长为1米，然后将竹竿向远离路灯的方向平移4米至AʹBʹ位置（点O，B，C，Bʹ在一条直线上）．(1)画出竹竿平移至ABʹ位置时的影子BʹCʹ；(2)求BʹCʹ的长．一天晚上，哥哥和弟弟拿两根等长的标杆AB，CD直立在一盏亮着的路灯下，然后调整标杆位置，使它们在该路灯下的影子BE，DF恰好在一条直线上（如图所示）．(1)请在图中画出路灯灯泡P的位置．(2)哥哥和弟弟测得如下数据：AB=CD=1.6米，BE=1米，DF=2米，两根标杆的距离AC=BD=3.6米，且AC∥BD．请你根据以上信息计算灯泡如图，王华同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行12 m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部．已知王华同学的身高是1.6 m，两个路灯的高度都是(1)求两个路灯之间的距离；(2)当王华同学走到路灯BD处时，他在路灯AC下的影子长是多少？在一次数学活动课上，李老师带领学生去测教学楼的高度在阳光下，测得身高1.65米的黄丽同学BC的影长BA为1.1米，与此同时，测得教学楼DE的影长DF为12.1米．(1)请你在图中画出此时教学楼DE在阳光下的投影DF．(2)请你根据已测得的数据，求岀教学楼DE的高度（精确到0.1米）．已知：CD为一幢3米高的温室，其南面窗户的底框G距地面1米，CD在地面上留下的最大影长CF为2米，现欲在距C点7米的正南方A点处建一幢12米高的楼房AB（设A，C，F在同一水平线上）．(1)按比例较精确地作出高楼AB及它的最大影长AE；(2)问若大楼AB建成后是否影响温室CD的采光，试说明理由．如图，晚上小亮在广场上乘凉．图中线段AB表示站立在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯．(1)请你在图中画出小亮在照明灯P照射下的影子；(2)如果灯杆高PO=12 m，小亮的身高AB=1.6 m，小亮与灯杆的距离

答案1.【答案】∵EFCG是正方形，∴EF∥∴△AEF∽∴EF又AD⊥BC，EF=EG=KD，设正方形边长为x，则AK=8−x，∴x12=答：这个正方形零件的边长为4.8 cm2.【答案】设CD长为x米，∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA，∴MA∥∴EC=CD=x米，∴△ABN∼△ACD，∴BNCD=解得：x=6.125≈6.1．经检验，x=6.125是原方程的解，∴路灯高CD约为6.1米．3.【答案】由题意得BD=53里，CD=95尺，EF=7尺，DF=3里．如图，过点E作EG⊥AB于点G，交CD于点H．则BG=DH=EF=7尺，GH=BD=53里，HE=DF=3里，∵CD∥∴△ECH∽∴CH∴95−7∴AG≈164.3丈，AB=AG+0.7=165丈．答：由AB得高约为165丈．4.【答案】图1加工的方法合理，设图1加工的桌面长x米，∵FD∥∴Rt△AFD∴AFAC=解得：x=12设图2加工的桌面长y米，过点C作CM⊥AB垂足为M，与GF相交于点N，∵GF∥∴△CGF∽∴CN:CM=GF:AB，∴CM−y∴AB=y⋅CM由面积相等可求得：CM=2.4，很明显x>y，故x2∴图1加工的方法合理．5.【答案】如图由图可知，∵BC∥∴△ABC∽∴AF又BC=10米，AF=3米，FG=12米，∴AG=AF+FG=15米，即315∴DE=50，50÷2=25，25+1=26，答：DE处共有26棵树．6.【答案】根据题意得，△EDC∽∴DCBA=∵DC=HG，∴FG∴1.92∴CA=40（米），∵FG∴2∴AB≈64.5米，故：古塔的高度AB为64.5米．7.【答案】∵BC⊥CN，MN⊥CN，∴∠C=∠N=90∵∠BAC=∠MAN，∴△BCA∽∴BCMN=∴MN=12m答：古城墙MN的高度为12m8.【答案】∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠AFB=∠CED，而∠ABF=∠CDE=90∴△ABF∽∴ABCD=∴AB=8m答：旗杆AB的高为8m9.【答案】由题意可得：△DEF∽则DEDC∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5 m，DC=20 ∴0.5解得：AC=10，故AB=AC+BC=10+1.5=11.5m答：旗杆的高度为11.5 m10.【答案】∵∠DEF=∠BCD=90∘，∴△DEF∽∴BC∵DE=40 cm=0.4 m，EF=20 cm=0.2 ∴BC∴BC=5米，∴AB=AC+BC=1.5+5=6.5米，∴树高为6.5米．11.【答案】∵MC∥∴△DCM∽∴DCDB=∵NE∥∴△FNE∽∴NEAB=联立①②得：∴1解得BC=3，∴1.5解得AB=6，答：路灯A的高度AB为6 m12.【答案】如图，连接PC并延长交直线OA于M，连接PD并延长交直线OA于N，则AM，BN为相应身影．∵∠MAC=∠MOP=90∘，∴△MAC∽∴MA即MA20+MA=1.6同理，由△NBD∽△NOP可求得∵5−1.5=3.5（米），∴小红从A点走到B点，身影的长度变短了，变短了3.5米．13.【答案】(1)作AD⊥BC于D，交EH于O，如图所示：∵在Rt△ABC中，∠A=90∘，AB=20cm∴BC=20∵1∴AD=AB×AC即BC边上的高为12cm(2)设正方形EFGH的边长为xcm∵四边形EFGH是正方形，∴EH∥∴∠AEH=∠B，∠AHE=∠C，∴△AEH∽∴AOAD=解得：x=300即正方形EFGH的边长为3003714.【答案】(1)如图，线段BC就是小亮在照明灯（P）照射下的影子．(2)在△CAB和△CPO中，因为∠C=∠C，∠ABC=∠POC=∠90所以△CAB∽则ABPO即1.612解得BC=2，即小亮影子的长度为2 m15.【答案】(1)如图所示：延长SAʹ交OB于Cʹ，BʹCʹ即为所求．(2)∵AB∥∴△ABC∽∴AB∴CO=6 m，则BO=5 ∵将竹竿向远离路灯的方向平移4米至AʹBʹ位置，∴OBʹ=9 m∵AʹBʹ∥∴△AʹBʹCʹ∽∴BʹCʹ∴BʹCʹ∴BʹCʹ长度为1.8 m16.【答案】(1)如图，点P即为所求．(2)如图，过点P作PQ⊥EF于点Q，交AC于点M，则∠PQF=90∵AC∥∴∠PMC=∠PQF=∠AMQ=90∘，∴PM⊥AC，∵AB⊥EF，∴∠ABQ=∠BQM=∠AMQ=90∴四边形ABQM为矩形，∴AB=MQ=CD=1.6米，∴PM=PQ−1.6，∵∠APC=∠EPF，∴△PAC∽∴PM∵BE=1米，DF=2米，AC=BD=3.6米，∴EF=BE+BD+DF=6.6米，∴PQ−1.6∴PQ=3.52米．答：灯泡P距离地面的高度为3.52米．17.【答案】(1)由对称性可知AP=BQ，设AP=BQ=x m∵MP∥∴△APM∽∴MP∴1.6∴x=3．经检验x=3是原方程的根，并且符合题意．∴AB=2x+12=2×3+12=18m答：两个路灯之间的距离为18米．(2)设王华走到路灯BD处头的顶部为E，连接CE并延长交AB的延长线于点F，则BF即为此时他在路灯AC的影子长．设BF=y m∵BE∥∴△EBF∽∴BEAC=BFFA经检验y=3.6是分式方程的解．答：当王华同学走到路灯BD处时，他在路灯AC下的影子长是3.6米．18.【答案】(1)如图：连接AC，过E点作EF∥AC交AD于F，则(2)