决战2021中考九年级数学考点专题演练-平行四边形

决战2021中考数学考点专题演练——平行四边形1．如图，平行四边形ABCD的对角线交点O，直线l绕点O旋转与一组对边相交于点E，F．试说明：（1）直线l把平行四边形ABCD分成的两部分的面积关系．（2）四边形BEDF是平行四边形吗？为什么？2．已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，延长BA到E，延长DC到F，使BE＝DF，AF交BC于H，CE交AD于G．求证：△AGE≌△CHF．3．（1）如图1，直线DE经过点A，且DE∥BC，求证：∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°；（2）如图2，在已知四边形ABCD，求∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠CDA的度数；（3）如图3，AB⊥BC，点P为∠ABC内一点，点D为BC边上一点，连接PA、PD，且AQ、DQ分别平分∠PAB、∠PDC，判断∠P，∠Q的数量关系，并说明理由．4．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若∠AOB：∠ODC＝4：3，求∠ADO的度数．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△DCE是△ABC绕着点C顺时针方向旋转得到的，此时B、C、E在同一直线上．（1）旋转角的大小；（2）若AB＝10，AC＝8，求BE的长．6．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BE＝DF．（1）求证：AE＝CF；（2）连接AF、CE，判断四边形AECF的形状，并证明．7．直线在同一平面内有平行和相交两种位置关系，线段首尾连接可以变换出很多不同的图形，这些不同的角又有很多不同关系，今天我们就来探究一下这些奇妙的图形吧！【问题探究】（1）如图1，请直接写出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝；（2）将图1变形为图2，∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E的结果如何？请写出证明过程；（3）将图1变形为图3，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的结果如何？请写出证明过程．【变式拓展】（4）将图3变形为图4，已知∠BGF＝160°，那么∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是．8．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点（不与点B，C，D重合），AM，AN分别交BD于点E，F，且∠MAN始终保持45°不变．（1）求证：AF⊥FM；（2）请探索：在∠MAN的旋转过程中，当∠BAM等于多少度时，∠FMN＝∠BAM？写出你的探索结论，并加以证明．9．如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连结DF，EF，BF．（1）求证：四边形BEFD是平行四边形；（2）若∠AFB＝90°，AB＝6，求四边形BEFD的周长．10．在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF．求证：（1）△ABF≌△DAE；（2）DE＝BF+EF．11．如图1，ABCD是平行四边形对角线AC，BD相交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F．（1）求证：AE＝CF．（2）如图2，若ABCD是老张家的一块平行四边形田地．P为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井P相邻．请你帮老张家设计一下．画出图形，并说明理由？12．以△ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，M是BC中点，连接AM和DE．（1）如图1，△ABC中∠BAC＝90°时，AM与ED大小的关系是．AM与ED的位置关系是；（2）如图2，△ABC为一般三角形时线段AM与ED的关系是．试证明你的结论；（3）如图3，若以△ABC的边AB、AC为直角边，向内作等腰直角△ABE和△ACD，其它条件不变，试探究线段AM与DE之间的关系，不要求证明你的结论．13．【概念学习】在平面中，我们把大于180°且小于360°的角称为优角．如果两个角相加等于360°，那么称这两个角互为组角，简称互组．（1）若∠1、∠2互为组角，且∠1＝135°，则∠2＝°【理解应用】习惯上，我们把有一个内角大于180°的四边形俗称为镖形．（2）如图①，在镖形ABCD中，优角∠BCD与钝角∠BCD互为组角，试探索内角∠A、∠B、∠D与钝角∠BCD之间的数量关系，并说明理由．【拓展延伸】（3）如图②，已知四边形ABCD中，延长AD、BC交于点Q，延长AB、DC交于P，∠APD、∠AQB的平分线交于点M，∠A+∠QCP＝180°．①写出图中一对互组的角（两个平角除外）；②直接运用（2）中的结论，试说明：PM⊥QM．14．如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．（1）试说明EO＝FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．15．如图，四边形ABCD是平行四边形，以点A为圆心，AB长为半径画弧交BC于点G，连接AG，点P是射线AD上一动点，PE⊥BA交BA延长线于点E，PF⊥AG于点F．（1）求证：PE＝PF．（2）当点F与点G重合时，若AB＝5，∠ABC＝45°，求四边形AEPF的面积．16．如图，△ABC中，∠B＝15°，∠ACB＝25°，AB＝4cm，△ABC按逆时针方向旋转一定角度后与△ADE重合，且点C恰好成为AD的中点，①指出旋转中心，并求出旋转的度数；②求出∠BAE的度数和AE的长．17．如图，四边形ABCD是正方形，点E在AB上，点F在AD的延长线上，BE＝DF，在此图中是否存在两个全等的三角形？其中一个三角形能够通过旋转另外一个三角形而得到吗？决战2021中考数学考点专题演练——平行四边形参考答案1．如图，平行四边形ABCD的对角线交点O，直线l绕点O旋转与一组对边相交于点E，F．试说明：（1）直线l把平行四边形ABCD分成的两部分的面积关系．（2）四边形BEDF是平行四边形吗？为什么？【答案】解：（1）直线l把平行四边形ABCD分成的两部分的面积相等；理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∠EAO＝∠FCO；在△COF和△AOE中，，∴△COF≌△AOE（ASA），同理可得出：△AOB≌△COD，△DOE≌△BOF，∴S△AOE+S△AOB+S△BOF＝S△COF+S△COD+S△DOE，∴直线l把平行四边形ABCD分成的两部分的面积相等．（2）四边形BEDF是平行四边形，理由：∵△COF≌△AOE，∴AE＝FC，∴DE＝BF，又∵BF∥DE，∴四边形BEDF是平行四边形．2．已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，延长BA到E，延长DC到F，使BE＝DF，AF交BC于H，CE交AD于G．求证：△AGE≌△CHF．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵BE＝DF，∴AE＝CF，∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴∠E＝∠F，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD＝∠BCD，∴∠EAG＝∠FCH，∵在△AGE和△CHF中，，∴△AGE≌△CHF（ASA）．3．（1）如图1，直线DE经过点A，且DE∥BC，求证：∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°；（2）如图2，在已知四边形ABCD，求∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠CDA的度数；（3）如图3，AB⊥BC，点P为∠ABC内一点，点D为BC边上一点，连接PA、PD，且AQ、DQ分别平分∠PAB、∠PDC，判断∠P，∠Q的数量关系，并说明理由．【答案】（1）证明：如图1，∵DE∥BC，∴∠BAD＝∠B，∠CAE＝∠C，又∵∠BAD+∠BAC+∠CAE＝180°，∴∠BAC+∠B+∠C＝180°；（2）解，如图2，连接AC，由（1）知：三角形的内角和为180°，∴∠B+∠BAC+∠ACB＝180°，∠D+∠CAD+∠ACD＝180°，∴∠B+∠D+∠BAC+∠ACB+∠CAD+∠ACD＝360°，即∠BAD+∠B+∠BCD+∠D＝360°；（3）解：2∠Q﹣∠P＝90°，理由是：如图3，设∠QAB＝x，∠PDQ＝y，∵QA、QD分别平分∠PAB、∠PDC，∴∠PAB＝2x，∠PDC＝2y，在四边形PABD中，由（2）得：∠P+∠PAB+∠B+∠PDB＝360°，∵AB⊥BC，∴∠B＝90°，∴∠P+2x+90°+180°﹣2y＝360°，∴x﹣y＝45°﹣∠P，同理得：∠Q+x+90°+180°﹣y＝360°，∴x﹣y＝90°﹣∠Q，∴45°﹣∠P＝90°﹣∠Q，∴2∠Q﹣∠P＝90°．4．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若∠AOB：∠ODC＝4：3，求∠ADO的度数．【答案】（1）证明：∵AO＝OC，BO＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠AOB＝∠DAO+∠ADO＝2∠OAD，∴∠DAO＝∠ADO，∴AO＝DO，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，∵∠AOB：∠ODC＝4：3，∴∠AOB：∠ABO＝4：3，∴∠BAO：∠AOB：∠ABO＝3：4：3，∴∠ABO＝54°，∵∠BAD＝90°，∴∠ADO＝90°﹣54°＝36°．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△DCE是△ABC绕着点C顺时针方向旋转得到的，此时B、C、E在同一直线上．（1）旋转角的大小；（2）若AB＝10，AC＝8，求BE的长．【答案】解：（1）∵△DCE是△ABC绕着点C顺时针方向旋转得到的，此时点B、C、E在同一直线上，∴∠ACE＝90°，即旋转角为90°，（2）在Rt△ABC中，∵AB＝10，AC＝8，∴BC＝＝6，∵△ABC绕着点C旋转得到△DCE，∴CE＝CA＝8，∴BE＝BC+CE＝6+8＝146．如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BE＝DF．（1）求证：AE＝CF；（2）连接AF、CE，判断四边形AECF的形状，并证明．【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥DC，∴∠ABE＝∠CDF，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF；（2）四边形AECF是平行四边形，理由如下：∵△ABE≌△CDF，∴∠AEB＝∠CFD，∴∠AEF＝∠CFE，∴AE∥CF，又∵AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形．7．直线在同一平面内有平行和相交两种位置关系，线段首尾连接可以变换出很多不同的图形，这些不同的角又有很多不同关系，今天我们就来探究一下这些奇妙的图形吧！【问题探究】（1）如图1，请直接写出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝；（2）将图1变形为图2，∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E的结果如何？请写出证明过程；（3）将图1变形为图3，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的结果如何？请写出证明过程．【变式拓展】（4）将图3变形为图4，已知∠BGF＝160°，那么∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是．【答案】（1）解：如图1，∵∠2＝∠C+∠E，∠1＝∠A+∠2，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠1+∠B+∠D＝180°，故答案为：180°；（2）证明：∵∠ABE＝∠C+∠E，∠DBC＝∠A+∠D，∠ABE+∠DBE+∠DBC＝180°，∴∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E＝180°∴将图①变形成图②∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E仍然为180°；（3）证明：∵在△FGD中，∠DFG+∠FGD+∠D＝180°，∠DFG＝∠B+∠E，∠FGD＝∠A+∠C，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，∴将图①变形成图③，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E还为180°；（4）解：∵∠BGF＝∠B+∠2＝160°，∠2＝∠D+∠F，∴∠B+∠D+∠F＝160°，∵∠BGF＝∠1+∠E＝160°，∠1＝∠A+∠C，∴∠A+∠C+∠E＝160°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝320°，故答案为：320°．8．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点（不与点B，C，D重合），AM，AN分别交BD于点E，F，且∠MAN始终保持45°不变．（1）求证：AF⊥FM；（2）请探索：在∠MAN的旋转过程中，当∠BAM等于多少度时，∠FMN＝∠BAM？写出你的探索结论，并加以证明．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，∠ABC＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠MAF＝∠MBE，∴A、B、M、F四点共圆，∴∠ABM+∠AFM＝180°，∴∠AFM＝90°，∴AF⊥FM；（2）解：结论：∠BAM＝22.5时，∠FMN＝∠BAM，理由：∵△AEB∽△FEM，∴∠BAE＝∠EFM，∵∠BAM＝∠FMN，∴∠EFM＝∠FMN，∴MN∥BD，∴，∵CB＝DC，∴CM＝CN，∴MB＝DN，在△ABM和△ADN中，，∴△ABM≌△ADN（SAS），∴∠BAM＝∠DAN，∵∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠DAN＝45°，∴∠BAM＝22.5°．9．如图，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，连结DF，EF，BF．（1）求证：四边形BEFD是平行四边形；（2）若∠AFB＝90°，AB＝6，求四边形BEFD的周长．【答案】（1）证明：∵D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，∴DF∥BC，EF∥AB，∴DF∥BE，EF∥BD，∴四边形BEFD是平行四边形；（2）解：∵∠AFB＝90°，D是AB的中点，AB＝6，∴DF＝DB＝DA＝AB＝3，∵四边形BEFD是平行四边形，∴四边形BEFD是菱形，∵DB＝3，∴四边形BEFD的周长为12．10．在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF．求证：（1）△ABF≌△DAE；（2）DE＝BF+EF．【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AD∥BC，∴∠BPA＝∠DAE，∵∠ABC＝∠AED，∴∠BAF＝∠ADE，∵∠ABF＝∠BPF，∠BPA＝∠DAE，∴∠ABF＝∠DAE，∵AB＝DA，∴△ABF≌△DAE（ASA）；（2）∵△ABF≌△DAE，∴AE＝BF，DE＝AF，∵AF＝AE+EF＝BF+EF，∴DE＝BF+EF．11．如图1，ABCD是平行四边形对角线AC，BD相交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F．（1）求证：AE＝CF．（2）如图2，若ABCD是老张家的一块平行四边形田地．P为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井P相邻．请你帮老张家设计一下．画出图形，并说明理由？【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OA＝OC，∴∠DAC＝∠BCA，在△AOE和△COF中，∠DAC＝∠BCA，OA＝OC，∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE＝CF；（2）解：设计图形如图：理由：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，只要满足两块地面积相等，且都与水井相邻就可以．因为平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，所以找到对角线的交点与水井点P的连线的所在直线即可．12．以△ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，M是BC中点，连接AM和DE．（1）如图1，△ABC中∠BAC＝90°时，AM与ED大小的关系是．AM与ED的位置关系是；（2）如图2，△ABC为一般三角形时线段AM与ED的关系是．试证明你的结论；（3）如图3，若以△ABC的边AB、AC为直角边，向内作等腰直角△ABE和△ACD，其它条件不变，试探究线段AM与DE之间的关系，不要求证明你的结论．【答案】解：（1）如图，延长AM到N，使AM＝MN，连接BN，延长MA交DE于H，易证△BMN≌△CMA，则BN＝AC＝AD，∠ABN＝∠ABC+∠CBN＝∠ABC+∠ACB＝90°，∴△ADE≌△ACB，∴ED＝AN＝2AM，∵∠BAN+∠DAH＝90°，∴∠HDA+∠DAH＝90°．∴AM⊥ED．故答案为：ED＝2AM，AM⊥ED；（2）ED＝2AM，AM⊥ED；证明：延长AM到N，使MN＝AM，连BN，则ABNC是平行四边形．∴AC＝BN，∠ABN+∠BAC＝180°又∵∠DAE+∠BAC＝180°，∴∠ABN＝∠DAE．再证：△DAE≌△ABN∴DE＝2AM，∠BAN＝∠EAD．延长MN交DE于K，∵∠BAN+∠DAK＝90°，∴∠KDA+∠DAK＝90°．∴AM⊥ED．（3）ED＝2AM，AM⊥ED．13．【概念学习】在平面中，我们把大于180°且小于360°的角称为优角．如果两个角相加等于360°，那么称这两个角互为组角，简称互组．（1）若∠1、∠2互为组角，且∠1＝135°，则∠2＝°【理解应用】习惯上，我们把有一个内角大于180°的四边形俗称为镖形．（2）如图①，在镖形ABCD中，优角∠BCD与钝角∠BCD互为组角，试探索内角∠A、∠B、∠D与钝角∠BCD之间的数量关系，并说明理由．【拓展延伸】（3）如图②，已知四边形ABCD中，延长AD、BC交于点Q，延长AB、DC交于P，∠APD、∠AQB的平分线交于点M，∠A+∠QCP＝180°．①写出图中一对互组的角（两个平角除外）；②直接运用（2）中的结论，试说明：PM⊥QM．【答案】解：（1）∵∠1、∠2互为组角，且∠1＝135°，∴∠2＝360°﹣∠1＝225°；（2）钝角∠BCD＝∠A+∠B+∠D．理由如下：如图①，∵在四边形ABCD中，∠A+∠B+优角∠BCD+∠D＝360°，又∵优角∠BCD+钝角∠BCD＝360°´，∴钝角∠BCD＝∠A+∠B+∠D；（3）①优角∠PCQ与钝角∠PCQ；②∵∠APD、∠AQB的平分线交于点M，∴∠AQM＝∠BQM，∠APM＝∠DPM．令∠AQM＝∠BQM＝α，∠APM＝∠DPM＝β．∵在镖形APMQ中，有∠A+α+β＝∠PMQ，在镖形APCQ中，有∠A+2α+2β＝∠QCP，∴∠QCP+∠A＝2∠PMQ，∵∠A+∠QCP＝180°，∴∠PMQ＝90°．∴PM⊥QM．故答案为225；优角∠PCQ与钝角∠PCQ．14．如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．（1）试说明EO＝FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．【答案】解：（1）∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠BCE，∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠ECB，∴∠OEC＝∠OCE，∴OE＝OC，同理OC＝OF，∴OE＝OF．（2）当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形．如图AO＝CO，EO＝FO，∴四边形AECF为平行四边形，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ACB，同理，∠ACF＝∠ACG，∴∠ECF＝∠ACE+∠ACF＝（∠ACB+∠ACG）＝×180°＝90°，∴四边形AECF是矩形．（3）△ABC是直角三角形∵四边形AECF是正方形，∴AC⊥EN，故∠AOM＝90°，∵MN∥BC，∴∠BCA＝∠AOM，∴∠BCA＝90°，∴△ABC是直角三角形．15．如图，四边形ABCD是平行四边形，以点A为圆