北京市海淀区2020届高三年级四月份测试高三数学

高三数学试卷高三数学试卷第页(共25页联立+号=1x=my+1，消去x，得：(3m2+4)y2+6my一9=0,-6m-9有yi+y2=3m帀‘yiy2=3m亓410分-18m-6m+6mx-24m+6mx则k+k=0=0=112(3m2+4)(x-x)(x-x)(3m2+4)(x-x)(x-x)10201020即-4m+mx=0，又m丰0，故x=4.13分00当直线l的斜率为零时，P(4,0)也符合题意.故存在点P(4,0)，使得x轴上任意点到直线PA,PB距离均相等14分20)(本小题15分)解：(I)因为f(x)=ex-ax2(aeR),故f'(x)=ex—2ax1分依题意f'(1)=e-2a=0，即a=—2分2当a=-时，f(1)=e丰0，此时切线不与x轴重合，符合题意，因此a=e3分222(II)由(I)知，f'(x)=ex―2ax,当a<0时，因为xe[0,1],ex>0,-2ax>0，故f'(x)>0，即f(x)单调递增，因此f(x)=f(1)=e-a.max依题意，当a<0时，f(x)=e-a>e>2，所以a<0符合题意.5分max当a>0时，f(x)=ex一2a，令f"(x)=0,有x=ln2a.f"(x),f"(x)变化如下：6分x(-g,ln2a)ln2,a(ln2a,+xf〃(x)——0+f"(x)]极Z)小值故f'(x)=2a-2aln2a=2a(l-ln2a).7分min当1—ln2a>0时，即0<a<—时，f'(x)>0,f(x)单调递增,2因此f(x)=f(1)=e—a.max依题意，令e—a>2，有0<a<e—2.8分当1—ln2a<0时，即a>e时，f'(1)=e—2a<0,f'(0)=1>0，2故存在唯一xg(0,1)使f'(x0)=0.…•…9分0010分x(0,x)010分x(0,x)0x0(x,1)0f'(x)+0——f(x)Z极大值]此时有ex0—2ax=0，即ex0=2ax，f(x),f(x)变化如下：00所以f(x)=f(x)=ex0—ax2=ex0max002xg(0,1)．011分依题意，令g(x)=ex—于，xg(0,1)，则g/(x)=(1-；)ex>0，g(x)在(0,1)单调递增,所以g(x)<g(1)=2<2，所以f(x)max<2，此时不存在符合题意的a.综上所述，当ag(-®e-2］，f(x)在［0,1］上的最大值不小于2，若aG(-®e-2］，则f(x)在［0,1］上的最大值小于2,所以a的取值范围为(-Oe一2］12分解法二：(II)当xG［0,1］时，f(x)最大值不小于2,等价于f(x)=ex—ax2>2在xg［0,1］上有解，显然x=0不是解，即a<■^二2在xg(0,1］上有解，4分x2设g(x)=2xG(0,1］,x2

xex一2ex+4则g(xex一2ex+4则g(x)=-……5分设h(x)=xex—2ex+4,xg(0,1］,则h'(x)=ex(x一1)<0.所以h(x)在(0,1］单调递减，h(x)nh(i)=4一e>0,7分所以g'(x)>0，所以g(x)在(0,1］单调递增，9分所以g(x)=g(1)=e―210分max依题意需a<e一2,所以a的取值范围为(-®e一2］12分解法三:(II)由(I)知，f'(x)=ex―2ax,(1)当a<2时,f'(x)=ex一2ax>ex一ex设h(x)=ex一exxg［0,1］，h'(x)=ex一e<0,所以h(x)在［0,1］单调递减，故h(x)>h(1)=05分所以f'(x)>0，所以f(x)在［0,1］单调递增，因此f(x)=f(1)=e—a7分max依题意，令e一a>2，得a<e一28分e(2)当a>时,2f(x)=ex一ax2<ex一%22e设申(x)=ex一—x2,xg［0,1］,则申'(x)=ex一ex=h(x)>0,所以申(x)在［0,1］单调递增，10分

eeTOC\o"1-5"\h\z故申(x)=申(1)=e~—=—^2，即/(x)<2，不符合题意11分max22综上所述，a的取值范围为(—s，e-2].12分(III)当a<0时，y=f(x)有0个零点；当0<a<竺时，y=f(x)有1个零点4当a=e2时，y=f(x)有2个零点；当a>时，y=f(x)有3个零点.15分44写对一个给1分，写对三个给2分，全对给3分).21)(本小题14分)解：(I)A=(0,0),B=(0,1)；TOC\o"1-5"\h\zA=(0,1),B=(0,0)；1分A=(1,0),B=(1,1)；2分A=(1,1),B=(1,0)3分(II)令A=(a,a,L,a),B=(b,b,L,b),C=(c,c,L,c)，12n12n12n(i)对i=1,2,L,n，当c=0时，有IIa一cI一Ib一c11=1a一bI；4分iiiiiii当c=1时，有IIa一cI-Ib一cII=I1一a-(1-b)I=Ia一bI.5分iiiiiiiiid(d(A一C,B一C)=11a一cI-1b一cII+IIa一cI-1b一cII+L+IIa一cI-1b一c1111222222nnnn=Ia—bI+1a—bI+L+1a—bI=d(A,B)6分1122nn(ii)证法1：设A=(a,a,L,a)，B=(b,b,L,b)，C=(c,c,L,c)eS，12n12n12nnd(A,B)=k，d(A,C)=l，d(B,C)=h.记O=(0,0,L,0)eS，由(I)可知，nd(A,B)=d(A一A,B一A)=d(O,B一A)=k

d(A,C)二d(A-A,C-A)二d(O,C-A)二l,d(B,C)二d(B-A,C-A)二h,所以Ib-al(i=1,2,L,n)中1的个数为k,|c-al(i=1,2,L,n)的1的个数为l.iiii设t是使Ib-a1=1c-aI=1成立的i的个数，则h=l+k—2t.iiii由此可知，k,l,h三个数不可能都是奇数，即d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数.证法2：因为(a—b)+(b—c)+(c—a)=0,TOC\o"1-5"\h\ziiiiii且(a—b)+(b—c)+(c—a)与丨a—bI+Ib—cI+Ic—aI奇偶性相同，iiiiiiiiiiii所以Ia—bI+Ib—cI+Ic—aI为偶数，故d(A,B)+d(B,C)+d(A,C)为偶数•…8分iiiiii所以d(A,B),d(A,C),d(B,C)三个数中至少有一个是偶数.9分(III)记工d(A,B)为P中所有两个元素间距离的总和，A,BeP设P中所有元素的第i个位置的数字中共有t个1，m-t个0，10分ii11分工d(A