2022年高考冲刺数学（理）试题（江苏卷）

2013年高考数学试题（江苏卷）参考公式：样本数据x1,x2,…，xn的方差，其中棱锥的体积公式：，其中S是锥体的底面积，h为高。棱柱的体积公式：V=Sh,其中S是柱体的底面积，h为高。数学I（必做题）一、填空题。本大题共14小题，每小题5分，共计70分。1．函数的最小正周期为．【答案】π【知识点】三角函数的周期性【解析】T＝|eq\f(2π,ω)|＝|eq\f(2π,2)|＝π．2．设（为虚数单位），则复数的模为．【答案】5【知识点】复数的运算；复数的模的运算【解析】z＝3－4i，i2＝－1，|z|＝32+3．双曲线的两条渐近线的方程为．【答案】【知识点】双曲线的几何性质【解析】令：，得．4．集合共有个子集．【答案】8YNYN输出n开始结束（第5题）【解析】23＝8．5．右图是一个算法的流程图，则输出的的值是．【答案】3【知识点】算法的基本概念及流程图的运算法则【解析】n＝1，a＝2，a＝4，n＝2；a＝10，n＝3；a＝28，n＝4．6．抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩（单位：环），结果如下：运动员第一次第二次第三次第四次第五次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为．【答案】2【知识点】统计的基本概念及平均数、方差的计算【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：．方差为：．7．现在某类病毒记作，其中正整数，（，）可以任意选取，则都取到奇数的概率为．【答案】【知识点】古典概型的相关知识【解析】m取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，则都取到奇数的概率为．8．如图，在三棱柱中，分别是的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则．【答案】1：24【知识点】多面体的体积【解析】三棱锥与三棱锥的相似比为1：2，故体积之比为1：8。又因三棱锥与三棱柱的体积之比为1：3．所以，三棱锥与三棱柱的体积之比为1：24．9．抛物线在处的切线与两坐标轴围成三角形区域为(包含三角形内部和边界)．若点是区域内的任意一点，则的取值范围是．【答案】[—2，eq\f(1,2)]【知识点】导数的几何意义；线性规划【解析】抛物线在处的切线易得为y＝2x—1，令z＝，y＝—eq\f(1,2)x＋eq\f(z,2)．画出可行域如下，易得过点(0，—1)时，zmin＝—2，过点(eq\f(1,2)，0)时，zmax＝eq\f(1,2)．yyxOy＝2x—1y＝—eq\f(1,2)x10．设分别是的边上的点，，，若（为实数），则的值为．【答案】eq\f(1,2)【知识点】向量的基本定理；向量的运算【解析】所以，，，eq\f(1,2)．11．已知是定义在上的奇函数。当时，，则不等式的解集用区间表示为．【答案】(﹣5，0)∪(5，﹢∞)【知识点】奇函数的性质及一元二次不等式的解法【解析】做出()的图像，如下图所示。由于是定义在上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出x＜0的图像。不等式，表示函数y＝的图像在y＝x的上方，观察图像易得：解集为(﹣5，0)∪(5，﹢∞)。xxyy＝xy＝x2—4xP(5,5)Q(﹣5,﹣5)12．在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为，右焦点为，右准线为，短轴的一个端点为，设原点到直线的距离为，到的距离为，若，则椭圆的离心率为．yxlyxlBFOcba【知识点】椭圆的基本概念及性质【解析】如图，l：x＝，＝－c＝，由等面积得：＝。若，则＝，整理得：，两边同除以：，得：，解之得：＝，所以，离心率为：．13．在平面直角坐标系中，设定点，是函数（）图象上一动点，若点之间的最短距离为，则满足条件的实数的所有值为．【答案】1，【知识点】二次函数；基本不等式【解析】设P点的坐标为，则|PA|2＝.令，则|PA|2＝t2－2at＋2a2－2＝(t－a)2＋a2－2(t≥2)．结合题意可知：(1)当a≤2，t＝2时，|PA|2取得最小值．此时(2－a)2＋a2－2＝8，解得a＝－1，a＝3(舍去)．(2)当a＞2，t＝a时，|PA|2取得最小值．此时a2－2＝8，解得a＝，a＝(舍去)．故满足条件的实数a的所有值为，－1.14．在正项等比数列中，，，则满足的最大正整数的值为．【答案】12【知识点】等比数列的基本性质【解析】设正项等比数列首项为a1，公比为q，则：，得：a1＝eq\f(1,32)，q＝2，an＝26－n．记，．，则，化简得：，当时，．当n＝12时，，当n＝13时，，故nmax＝12．二、解答题。本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（本小题满分14分）已知，．（1）若，求证：；（2）设，若，求的值．【答案】（1）见解析（2）α＝，β＝【知识点】平面向量的加法、减法、数量积运算；三角函数的基本关系【解析】（1）a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)，|a－b|2＝(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝2－2(cosα·cosβ＋sinα·sinβ)＝2，所以，cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝0，所以，．（2），①2＋②2得：cos(α－β)＝－eq\f(1,2)．所以，α－β＝，α＝＋β，带入②得：sin(＋β)＋sinβ＝cosβ＋eq\f(1,2)sinβ＝sin(＋β)＝1，所以，＋β＝．所以，α＝，β＝．16．（本小题满分14分）如图，在三棱锥中，平面平面，，，过作，垂足为，点分别是棱的中点．求证：（1）平面平面；（2）．【答案】见解析【知识点】直线与直线；直线与平面；平面与平面的位置关系【解析】证明：（1）因为SA＝AB且AF⊥SB，所以F为SB的中点．又E，G分别为SA，SC的中点，所以，EF∥AB，EG∥AC．又AB∩AC＝A，AB面SBC，AC面ABC，所以，平面平面．（2）因为平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝BC，AF平面ASB，AF⊥SB．所以，AF⊥平面SBC．又BC平面SBC，所以，AF⊥BC．又AB⊥BC，AF∩AB＝A，所以，BC⊥平面SAB．又SA平面SAB，所以，．xyAlO17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，点，直线．设圆的半径为，圆心在上．xyAlO（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线的方程；（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围．【答案】或【知识点】直线与圆的方程；两直线交点和直线与直线；直线与圆；圆与圆的位置关系【解析】（1）联立：，得圆心为：C(3，2)．设切线为：，d＝，得：．故所求切线为：或（2）设点M(x，y)，由，知：，化简得：，即：点M的轨迹为以(0，1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D．又因为点在圆上，故圆C圆D的关系为相交或相切．故：1≤|CD|≤3，其中．解之得：0≤a≤eq\f(12,5)．18．（本小题满分16分）如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径。一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到．现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为．在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到．假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为，经测量，，．（1）求索道的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？【答案】（1）1040m(2)eq\f(35,37)(3)[eq\f(1250,43)，eq\f(625,14)]【知识点】正弦、余弦定理；二次函数的最值；两角和的正弦公式；不等式的解法CBADMN【解析】（1）如图作BDCBADMN设BD＝20k，则DC＝25k，AD＝48k，AB＝52k，由AC＝63k＝1260m，知：AB＝52k＝1040m．（2）设乙出发x分钟后到达点M，此时甲到达N点，如图所示．则：AM＝130x，AN＝50(x＋2)，由余弦定理得：MN2＝AM2＋AN2－2AM·ANcosA＝7400x2－14000x＋10000，其中0≤x≤8，当x＝eq\f(35,37)(min)时，MN最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短．（3）由（1）知：BC＝500m，甲到C用时：eq\f(1260,50)＝eq\f(126,5)(min)．若甲等乙3分钟，则乙到C用时：eq\f(126,5)＋3＝eq\f(141,5)(min)，在BC上用时：eq\f(86,5)(min)．此时乙的速度最小，且为：500÷eq\f(86,5)＝eq\f(1250,43)m/min．若乙等甲3分钟，则乙到C用时：eq\f(126,5)－3＝eq\f(111,5)(min)，在BC上用时：eq\f(56,5)(min)．此时乙的速度最大，且为：500÷eq\f(56,5)＝eq\f(625,14)m/min．故乙步行的速度应控制在[eq\f(1250,43)，eq\f(625,14)]范围内．19．（本小题满分16分）设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和．记，，其中为实数．（1）若，且成等比数列，证明：（）；（2）若是等差数列，证明：．【答案】见解析【知识点】等差、等比数列的定义；通项及前n项和【解析】证：（1）若，则，，．当成等比数列，，即：，得：，又，故．由此：，，．故：（）．（2），。(※)若是等差数列，则型．观察(※)式后一项，分子幂低于分母幂，故有：，即，而≠0，故．经检验，当时是等差数列．20．（本小题满分16分）设函数，，其中为实数．（1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；（2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论．【答案】（1）（2）当＝eq\f(1,e)或a≤0时，f(x)有1个零点；当0＜＜eq\f(1,e)时，f(x)有2个零点【知识点】导数的运算；利用导数研究函数的性质【解析】（1）≤0在上恒成立，则≥，．故：≥1．，若1≤≤e，则≥0在上恒成立，此时，在上是单调增函数，无最小值，不合；若＞e，则在上是单调减函数，在上是单调增函数，，满足．故的取值范围为：＞e．综上有（2）≥0在上恒成立，则≤ex，故：≤eq\f(1,e)．．(ⅰ)若0＜≤eq\f(1,e)，令＞0得增区间为(0，eq\f(1,a))；令＜0得减区间为(eq\f(1,a)，﹢∞)．当x→0时，f(x)→﹣∞；当x→﹢∞时，f(x)→﹣∞；当x＝eq\f(1,a)时，f(eq\f(1,a))＝﹣lna－1≥0，当且仅当＝eq\f(1,e)时取等号．故：当＝eq\f(1,e)时，f(x)有1个零点；当0＜＜eq\f(1,e)时，f(x)有2个零点．(ⅱ)若a＝0，则f(x)＝﹣lnx，易得f(x)有1个零点．(ⅲ)若a＜0，则在上恒成立，即：在上是单调增函数，当x→0时，f(x)→﹣∞；当x→﹢∞时，f(x)→﹢∞．此时，f(x)有1个零点．综上所述：当＝eq\f(1,e)或a≤0时，f(x)有1个零点；当0＜＜eq\f(1,e)时，f(x)有2个零点．数学II（附加题）21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。A[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC=2OC。求证：AC＝２AD答案：见解析知识点：圆的切线性质；相似三角形判定与性质解析：连结OD，因为AB和BC分别与圆O相切于点D、C，所以∠ADO=∠ACB=90O,又因为∠A=∠A，所以Rt△ADO～Rt△ACB所以.又BC=2OC=2OD,故AC=2AD.B．［选修4-2：矩阵与变换］（本小题满分10分）已知矩阵A=，求矩阵A-1B.答案：知识点：逆矩阵、矩阵的乘法解析：设矩阵A的逆矩阵，则即故从而A的逆矩阵为，所以C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，直线L的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（为参数），试求直线L和曲线C的方程，并求出它们的公共点的坐标。答案：直线L的普通方程为2x-y-2=0.曲线C的普通方程为y2=2x.公共点的坐标为知识点：参数方程与普通方程的互化以及直线与抛物线的位置关系解析：解：因为直线L的参数方程为（t为参数），由x=t+1得t=x-1，代入y=2t，得到直线L的普通方程为2x-y-2=0.同理得到曲线C的普通方程为y2=2x.联立方程组，解得公共点的坐标为D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a≥b>0，求证：2a3-b3≥2ab2-a2b.答案：见解析知识点：利用比较法证明不等式解析：证明：因为a≥b>0,所以a-b≥0,a+b>0,2a+b>0.从而≥0，即【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22.（本小题满分10分）如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AB⊥AC，AB＝AC=2，A1求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；求平面ADC1与平面ABA1所成二面