百校联盟2023届TOP20三月联考(全国II卷)数学(理)-Word版含答案

百校联盟2023届TOP20三月联考（全国Ⅱ卷）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则集合的子集个数为（）A．B．C．D．2.已知是虚数单位，，则复数（）A．B．C．D．3.古代数学名著《张丘建算经》中曾出现过高息借贷的题目：“今有举取他绢，重作券；要过限一日，息绢一尺；二日息二尺；如是息绢，日多一尺.今过限一百日，问息绢几何？”题目的意思是：债主拿欠债方的绢做抵押品，债务过期第一天要纳利息尺绢，过期第二天利息是尺，这样，每天利息比前一天增多尺，若过期天，欠债方共纳利息为（）A．尺B．尺C．尺D．尺4.某山区希望小学为丰富学生的伙食，教师们在校园附近开辟了如图所示的四块菜地，分别种植西红柿、黄瓜、茄子三种产量大的蔬菜，若这三种蔬菜种植齐全，同一块地只能种植一种蔬菜，且相邻的两块地不能种植相同的蔬菜，则不同的种植方式共有（）A．种B．种C.种D．种5.函数的图像上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，得到函数的图象，则时，的取值范围是（）A．B．C.D．6.已知为坐标原点，等轴双曲线的左，右顶点分别为，，若双曲线的一条渐近线上存在一点，使得，且的面积为，则双曲线的方程为（）A．B．C.D．7.执行如图所示的程序框图，则输出的值为（）A．B．C.D．8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．B．C.D．9.当时，下列有关函数，的结论正确的个数为（）①是偶函数；②与有相同的对称中心；③函数与的图象交点的横坐标之和为；④函数与的图象交点的纵坐标之和为.A．B．C.D．10.已知为坐标原点，平行四边形内接于椭圆，点，分别为，的中点，且，的斜率之积为，则椭圆的离心率为（）A．B．C.D．11.如图：是圆锥底面圆的直径，，是圆锥的两种母线，为底面圆的中心，过的中点作平行于的平面，使得平面与底面圆的交线长为，沿圆锥侧面连接点和点，当曲线段长度的最小值为时，则该圆锥的外接球（圆锥的底面圆周及顶点均在球面上）的半径为（）A．B．C.D．12.已知函数，，存在，使得的最小值为，则函数图象上一点到函数图象上一点的最短距离为（）A．B．C.D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知菱形的边长为，，，，则．14.若，满足约束条件则的取值范围为．15.春节临近，某火车站三个安检入口每天通过的旅客人数（单位：人）均服从正态分布，若，假设三个安检入口均能正常工作，则这三个安检入口每天至少有两个超过人的概率为．16.已知数列的奇数项和偶数项为公比为的等比数列，，且.则数列的前项和的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在锐角中，角，，的对边分别为，，，点在边上，且，，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求周长的最大值.18.某蛋糕店制作并销售一款蛋糕，当天每售出个获得利润元，未售出的每个亏损元.根据以往天的资料统计，得到如下需求量表.元日这天，此蛋糕店制作了这款蛋糕个.以（单位：个，）表示这天的市场需求量.（单位：元）表示这天出售这款蛋糕获得的利润.需求量/个天数1525302010（Ⅰ）当时，若时获得的利润为，时获得的利润为，试比较和的大小；（Ⅱ）当时，根据上表，从利润不少于元的天数中，按需求量分层抽样抽取天，（ⅰ）求这天中利润为元的天数；（ⅱ）再从这天中抽取天做进一步分析，设这天中利润为元的天数为，求随机变量的分布列及数学期望.19.如图，在几何体中，四边形为直角梯形，，四边形为矩形，且，，为的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，求平面与平面所成的锐二面角的大小.20.在平面直角坐标系中，点关于直线对称的点位于抛物线上.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设抛物线的准线与其对称轴的交点为，过点的直线交抛物线于点，，直线交抛物线于另一点，求直线所过的定点.21.已知函数.（Ⅰ）设，讨论的单调性；（Ⅱ）若不等式恒成立，其中为自然对数的底数，求的最小值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线（为参数），曲线（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线的极坐标方程，直线的普通方程；（Ⅱ）把直线向左平移一个单位得到直线，设与曲线的交点为,，点为曲线上任意一点，求面积的最大值.23.选修4-5：不等式选讲已知函数的最小值为.（Ⅰ）若，求证：；（Ⅱ）若，，求的最小值.试卷答案一、选择题1-5:DCDBA6-10:BCCCA11、12：DC二、填空题13.14.15.16.三、解答题17.【解析】（Ⅰ）因为，所以，根据正弦定理，，∴，又为锐角，所以.（Ⅱ）由余弦定理，得，所以，∴，当且仅当时，等号成立.故.所以周长的最大值为.18.【解析】（Ⅰ）当，时，，时，.所以当时，（元）.当，时，，时，.所以当时，（元）.故.（Ⅱ）当，即，∴，又，所以，共有天利润大于元.（ⅰ）按分层抽样抽取天，其中利润为元的天数有（天）.（ⅱ）根据题意，随机变量的可能取值为，，，，，，，.∴的分布列为0123所以.19.【解析】（Ⅰ）取的中点，连接，，∵为中点，∴，且.∵四边形为直角梯形，，且，∴，且，∴四边形为平行四边形，∴.∵平面，平面，∴平面.（Ⅱ）因为四边形为直角梯形，，，所以，∴.又，因为，所以，因为，，，所以平面，因为，∴平面，∴，所以，因此.以点为原点，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，所以，，设平面的一个法向量为，则有令，则，设平面的一个法向量为，，，则有令，则，所以，所以平面与平面所成的锐二面角为.20.【解析】（Ⅰ）设，则，∴，解之得，代入，得，所以抛物线的方程为.（Ⅱ）根据题意，，设点，，因为，，三点共线，所以，即，∴，∴，设点，因为，，三点共线，所以，即，∴.所以，即，所以，即①，因为，所以直线的方程是.即，即②，由①②可得.所以直线过定点.21.【解析】（Ⅰ）函数定义域为，由题意得，则，①当时，，则在上单调递增；②当时，令，解得，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减.（Ⅱ）设函数，其中为自然对数的底数，∴，，当时，，在上是增函数，∴不可能恒成立，当时，由，得,∵不等式恒成立，∴，当时，，单调递增，当时，，单调递减，∴当时，取最大值，，∴满足即可，∴，∴，令，，令，，由，得，当时，，是增函数，当时，，是减函数，∴当时，取最小值，∵时，，时，，，∴当时，，是减函数，当时，，是增函数，∴时，取最小值，，∴的最小值为.22.【解析】（Ⅰ）