山东省日照市五莲县第一职业高级中学高三数学理下学期期末试卷含解析

山东省日照市五莲县第一职业高级中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若集合中元素个数为（）

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个参考答案：D2.已知集合A=，B=则A.

B.

C.

D.参考答案：B3.一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（

） A．12

B．11

C．

D．参考答案：A5.下列函数中，即是偶函数又在区间上单调递减的是（

）A

B

C

D

参考答案：D略6.已知E为△ABC的边BC的中点，△ABC所在平面内有一点P，满足，设，则的值为（

）A、2

B、1

C、

D、参考答案：A7.在△ABC中，角A、B、C的对边长分别a、b、c，满足，，则△ABC的面积为A. B. C. D.参考答案：C【分析】由二次方程有解，结合三角函数性质可得只有△，此时可求，进而可求，然后结合余弦定理可求，代入可求．【详解】把看成关于的二次方程，则，故若使得方程有解，则只有△，此时，，代入方程可得，，，由余弦定理可得，，解可得，，．故选：．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的存在条件的灵活应用及同角平方关系，二倍角公式，辅助角公式及余弦定理的综合应用，属于中档试题．8.已知集合，则等（A）

(B)

(C)

(D)参考答案：B略9.已知复数（i为虚数单位），则z的共轭复数在复平面内对应点的坐标是（）A．（3，3） B．（﹣1，3） C．（3，﹣1） D．（﹣1，﹣3）参考答案：D【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、复数的几何意义即可得出．【解答】解：∵复数==（1+2i）（1+i）=﹣1+3i，则z的共轭复数=﹣1﹣3i在复平面内对应点的坐标是（﹣1，﹣3）．故选：D．10.已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2﹣bc，bc=4，则△ABC的面积为(

) A． B．1 C． D．2参考答案：C考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：由已知及余弦定理可求cosA，从而可求sinA的值，结合已知由三角形面积公式即可得解．解答： 解：∵a2=b2+c2﹣bc，∴由余弦定理可得：cosA===，又0＜A＜π，∴可得A=60°，sinA=，∵bc=4，∴S△ABC=bcsinA==．故选：C．点评：本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式的应用，解题时要注意角范围的讨论，属于基本知识的考查．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在平面内，|AB|=4，P，Q满足kAP?kBP=﹣，kAQ?kBQ=﹣1，且对任意λ∈R，|λ﹣|的最小值为2，则|PQ|的取值范围是

．参考答案：[2﹣，2+]考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设A（﹣2，0），B（2，0），P（m，n），Q（s，t），由斜率公式可得P，Q的轨迹方程，对任意λ∈R，|λ﹣|的最小值为2，运用向量的坐标运算，结合二次函数的最值求法，可得m=﹣1，n=±，即P为定点，由于Q在圆s2+t2=4上，连接OP，延长交圆于Q，Q'，则可得|PQ|的最小值为2﹣|OP|，最大值为2+|OP|，进而得到所求范围．解答： 解：设A（﹣2，0），B（2，0），P（m，n），则kAP?kBP=﹣，可得?=﹣，化简可得m2+9n2=4，（m≠±2），设Q（s，t），由kAQ?kBQ=﹣1，可得s2+t2=4，（s≠±2），对任意λ∈R，|λ﹣|的最小值为2，=（m+2，n），=（4，0），即有|λ﹣|2=[（m+2）2+n2]λ2+16﹣8λ（m+2），配方可得最小值为16﹣=4，化简可得3n2=（2+m）2，又m2+9n2=4，解得m=﹣1，n=±，即有P（1，±），由于Q在圆s2+t2=4上，连接OP，延长交圆于Q，Q'，则可得|PQ|的最小值为2﹣|OP|=2﹣=2﹣；最大值为2+|OP|=2+．则有|PQ|的取值范围是[2﹣，2+]．故答案为：[2﹣，2+]．点评：本题考查向量的数量积的坐标表示，考查曲线的方程和运用，同时考查二次函数的最值的求法，圆的性质的运用，属于难题和易错题．12.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：

将三角形数1，3，6，10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：（Ⅰ）是数列中的第

项；（Ⅱ）=

．（用n表示）参考答案：5035,13.设x，y满足约束条件，则的取值范围为

.参考答案：[－1，6]14.已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率，则

．参考答案：

15.设x，y∈R，向量a＝(x，2)，b＝(1，y)，c＝(2，－6)，且a⊥b，b∥c，则____．参考答案：516.若实数满足：表示的区域的面积为

的取值范围是

参考答案：

,17.“无字证明”（proofswithoutwords）就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现，请利用下面两个三角形（△ACD和△ECD）的面积关系，写出高中数学中的一个重要关系式：

．参考答案：考点：进行简单的合情推理．专题：推理和证明．分析：由三角形相似把AB的长度用a，b表示，然后利用三角形ACD的面积小于等于三角形ECD的面积得到不等式．解答： 解：由图可知：AB2=ab，则，而，，，由S△ACD≤S△ECD，得（当且仅当a=b时等号成立），故答案为：．点评：本题考查了数形结合证明基本不等式，考查了学生的推理能力，是中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数的最大值为（其中e为自然对数的底数），是的导函数。（1）求a的值；（2）任取两个不等的正数，且，若存在正数，使得成立。求证：。参考答案：（1）.（2）见解析.【分析】(1)对函数求导，分情况得到函数的单调性，进而求得在处取得最值，进而求解；（2）根据导数的几何意义得到，构造函数，通过换元将等式右边的函数改为，对此函数求导得到函数的单调性进而得证.【详解】（1）由题意得，显然，∵，∴，令，解得，①.当时，令，解得；令，解得，∴在上单调递增，在上单调递减，∴在处取得极大值，也是最大值，∴，解得；②当时，易知与题意不符，故舍去，综上所述，；（2）由（1）知，则，∴，∴，即，则，设，则，令，则，∴函数在上单调递减，∴，即，又，∴，即，∴，同理可证，得证。【点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1)构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.19.设函数,的图象关于直线对称，其中为常数，且．(1)求函数的最小正周期；(2)若的图象经过点，求函数在上的值域．参考答案：略20.等差数列{an}中，a2+a3+a4=15，a5=9．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{×bn}的前n项和Sn．参考答案：【考点】8E：数列的求和；84：等差数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）先设出公差为d首项为a1，根据题意和等差数列的通项公式列出方程组，再解方程组；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出的an代入bn求出bn，再求出的表达式，根据式子的特点，利用错位相减法求出此数列的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d首项为a1，由题意得，，即，解得a1=1，d=2，∴数列{an}的通项公式an=2n﹣1，（Ⅱ）由（Ⅰ）可得=3n，∴=n3n，∴Sn=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，①3Sn=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1，②①﹣②得，﹣2Sn=3+32+33+…+3n﹣n×3n+1=﹣n×3n+1=﹣n×3n+1，∴Sn=．21.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣1=0，曲线C的极坐标方程为ρ=4．（1）将曲线C的极坐标方程化为普通方程；（2）若直线l与曲线交于A，B两点，求线段AB的长．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）根据x=ρcosθ，y=ρsinθ以及ρ=x2+y2求出直线以及曲线C的普通方程即可；（2）根据点到直线的距离公式求出AB求出弦心距，从而求出弦长即可．【解答】解：（1）∵x=ρcosθ，y=ρsinθ以及ρ=x2+y2，∴直线l的直角坐标方程为曲线C的直角坐标方程为x2+y2=16（4分）（2）由（1）得：圆心（0，0）到直线的距离为，∴AB的长|AB|=（10分）【点评】本题考查了求曲线的普通方程，考查点到直线的距离公式，是一道中档题．22.某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=（其中a，b为常数）模型．（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．参考答案：【考点】函数与方程的综合运用．【专题】综合题；导数的综合应用．【分析】（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，建立方程组，即可求a，b的值；（2）①求出切线l的方程，可得A，B的坐标，即可写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；②设g（t）=，利用导数，确定单调性，即可求出当t为何值时，公路l的长度最短，并求出最短长度．【解答】解：（1）由题意知，点M，N的坐标分别为（5，40），（20，2.5），将其分别代入y=，得，解得，（2）①由（1）y=（5≤x≤20），P（t，），∴y′=﹣，∴切线l的方程为y﹣=﹣（x﹣t）设在点P处的切