2023学年嘉定区高三年级第一次质量调研数学

2023学年嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷〔理科〕考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题纸两份材料，解答必须在答题纸上进行，写在试卷或草稿纸上的解答一律无效．2．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、班级等相关信息填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码．3．本试卷共有23道试题，总分值150分；考试时间120分钟．一．填空题〔本大题共有14题，总分值56分〕考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否那么一律得零分．1．假设〔为虚数单位〕，那么___________．2．集合，，那么_____________．3．函数的最小正周期是___________．4．一组数据，，，，的平均数是，那么这组数据的方差是_________．开始结束输出是否5．在等差数列中，，从第开始结束输出是否那么公差的取值范围是__________________．6．执行如下图的程序框图，那么输出的的值为_____________．〔第6题图〕〔第6题图〕7．小王同学有本不同的数学书，本不同的物理书和本不同的化学书，从中任取本，那么这本书属于不同学科的概率为______________〔结果用分数表示〕．8．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，那么这个圆锥的体积是________．9．点是曲线上的一个动点，且点为线段的中点，那么动点的轨迹方程为__________________．10．在△中，，，且△最大边的长为，那么△最小边的长为____________．11．将直线：，：，：〔，〕围成的三角形面积记为，那么___________．12．、是平面内两个互相垂直的单位向量，假设向量满足，那么的最大值是___________．13．观察以下算式：，，，，…………假设某数按上述规律展开后，发现等式右边含有“〞这个数，那么_______．14．设、，定义在区间上的函数的值域是，假设关于的方程〔〕有实数解，那么的取值范围是___________．二．选择题〔本大题共有4题，总分值20分〕每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否那么一律得零分．15．，条件：，条件：，那么是的…〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件16．以下说法错误的是………………………〔〕A．直角坐标平面内直线的倾斜角的取值范围是B．直角坐标平面内两条直线夹角的取值范围是C．平面内两个非零向量的夹角的取值范围是D．空间两条直线所成角的取值范围是17．在平面直角坐标系内，设、为不同的两点，直线的方程为，．有四个命题：①存在实数，使点在直线上；②假设，那么过、两点的直线与直线平行；③假设，那么直线经过线段的中点；④假设，那么点、在直线的同侧，且直线与线段的延长线相交．上述命题中，全部真命题的序号是……………〔〕A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④18．设函数是定义在上以为周期的函数，假设函数在区间上的值域为，那么在区间上的值域为……〔〕A．B．C．D．三．解答题〔本大题共有5题，总分值74分〕解答以下各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．〔此题总分值12分〕设复数，其中，，为虚数单位．假设是方程的一个根，且在复平面内对应的点在第一象限，求与的值．20．〔此题总分值14分〕此题共有2个小题，第1小题总分值8分，第2小题总分值6分．如图，在三棱锥中，底面，，．PABC〔1〕求异面直线与PABC〔2〕求三棱锥的外表积．21．〔此题总分值14分〕此题共有2个小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值8分．椭圆：〔〕经过与两点，过原点的直线与椭圆交于、两点，椭圆上一点满足．OABMOABMxy〔2〕求证：为定值．22．〔此题总分值16分〕此题共有3个小题，第1小题总分值4分，第2小题总分值6分，第3小题总分值6分．设数列的前项和为，〔，、为常数〕，，，．〔1〕求、的值；〔2〕求数列的通项公式；〔3〕是否存在正整数，，使得成立？假设存在，请求出所有符合条件的有序整数对；假设不存在，请说明理由．23．〔此题总分值18分〕此题共有3个小题，第1小题总分值4分，第2小题总分值6分，第3小题总分值8分．设，函数．〔1〕假设，求函数在区间上的最大值；〔2〕假设，写出函数的单调区间〔不必证明〕；〔3〕假设存在，使得关于的方程有三个不相等的实数解，求实数的取值范围．上海市嘉定区2023届高三一模数学试题〔理科〕参考答案与评分标准一．填空题〔每题4分，总分值56分〕1．2．3．4．5．6．7．8．9．10．11．12．13．14．二．选择题〔每题5分，总分值20分〕15．A16．C17．B18．D三．解答题19．〔此题总分值12分〕方程的根为．………………〔3分〕因为在复平面内对应的点在第一象限，所以，………………〔5分〕所以，解得，因为，所以，……〔8分〕所以，所以，故．…………〔11分〕所以，．…………〔12分〕GPGPABCFE〔1〕取中点，中点，中点，连结，，，那么∥，∥，所以就是异面直线与所成的角〔或其补角〕．…………〔2分〕连结，那么，……〔3分〕，…………〔4分〕又，所以．…………〔5分〕在△中，，……〔7分〕故．所以异面直线与所成角的大小为．…………〔8分〕〔2〕因为底面，所以，，，又，所以平面，所以，…………〔2分〕所以△、△、△、△都是直角三角形．……〔3分〕所以，．……〔6分〕21．〔此题总分值14分，第1小题6分，第2小题8分〕OABMxy〔1〕将与OABMxy，…………〔2分〕解得，．…………〔5分〕所以椭圆的方程为．…………〔6分〕〔2〕由，知在线段的垂直平分线上，由椭圆的对称性知、关于原点对称．①假设点、在椭圆的短轴顶点上，那么点在椭圆的长轴顶点上，此时．……〔1分〕同理，假设点、在椭圆的长轴顶点上，那么点在椭圆的短轴顶点上，此时．……〔2分〕②假设点、、不是椭圆的顶点，设直线的方程为〔〕，那么直线的方程为．设，，由，解得，，……〔4分〕所以，同理可得，所以．……〔7分〕综上，为定值．…………〔8分〕22．〔此题总分值16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分〕〔1〕由题意，得，……〔2分〕即，解得．…………〔4分〕〔2〕由〔1〕知，①当时，②…………〔1分〕①－②，得〔〕，又，…………〔3分〕所以数列是首项为，公比为的等比数列．…………〔4分〕所以的通项公式为〔〕．…………〔6分〕〔3〕由〔2〕，得，…………〔1分〕由，得，即，即．因为，所以，所以且，〔*〕因为，所以或或．……〔2分〕当时，由〔*〕得，所以；…………〔3分〕当时，由〔*〕得，所以或；…………〔4分〕当时，由〔*〕得，所以或或．…………〔5分〕综上可知，存在符合条件的正整数、，所有符合条件的有序整数对为：，，，，，．…………〔6分〕23．〔此题总分值18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分〕〔1〕当，时，…〔2分〕作函数图像〔图像略〕，可知函数在区间上是增函数，所以的最大值为．…………〔4分〕Oayx〔2〕Oayx①当时，，因为，所以，所以在上单调递增．…………〔3分〕②当时，，因为，所以，所以在上单调递增，在上单调递减．…………〔5分