第7章物质波和方程

波函数薛定谔方程第六节

4-2-5波函数薛定谔方程

4-2-5

波函数薛定谔方程

一、波函数

4-2-5

波函数薛定谔方程

一、波函数单色平面简谐波波动方程为：

Axtyλνπ()2,=cos()tx

4-2-5

波函数薛定谔方程

一、波函数单色平面简谐波波动方程为：

Axtyλνπ()2,=cos()tx用指数形式表示：

4-2-5

波函数薛定谔方程

一、波函数单色平面简谐波波动方程为：

Axtyλνπ()2,=cos()txAxty(),=e用指数形式表示：iλνπ()tx2

4-2-5

波函数薛定谔方程

一、波函数单色平面简谐波波动方程为：

Axityλνπ()2,=cos()txAxty(),=eλνπ()tx2用指数形式表示：

微观粒子具有波动性，其运动状态应该用波函数来描写。

4-2-5

波函数薛定谔方程

一、波函数单色平面简谐波波动方程为：

Axtyλνπ()2,=cos()txAxty(),=e用指数形式表示：

微观粒子具有波动性，其运动状态应该用波函数来描写。沿x方向运动的自由粒子束可用单色平面波来描写，其波函数为：iλνπ()tx2

4-2-5

波函数薛定谔方程

一、波函数单色平面简谐波波动方程为：

4-2-5

波函数和薛定谔方程

一、波函数单色平面简谐波波动方程为：

Axtyλνπ()2,=cos()txAxty(),=e用指数形式表示：

微观粒子具有波动性，其运动状态应该用波函数来描写。沿x方向运动的自由粒子束可用单色平面波来描写，其波函数为：oΨψixt(),=e()txhEpiλνπ()tx2其中波函数模的平方为：其中波函数模的平方为：*ΨΨΨ2.=其中波函数模的平方为：ψ*ih(Et-px)Ψ(Et-px)ihΨΨ2.ψoe.oe+==其中波函数模的平方为：ψ*ih(Et-px)Ψψ(Et-px)ihΨΨ2.o2ψoe.oe+===其中波函数模的平方为：ψ*ih(Et-px)Ψψ(Et-px)ihΨΨ2.o2ψoe.oe+考虑到自由粒子沿===方向传播的三维情况，r其中波函数模的平方为：ψ*ih(Et-px)Ψψ(Et-px)ihΨΨ2.o2ψoe.oe+考虑到自由粒子沿===波函数可写为：方向传播的三维情况，rΨ=()rt,ψih.oeEtpr().其中波函数模的平方为：ψ*ih(Et-px)Ψψ(Et-px)ihΨΨ2.o2ψoe.oe+考虑到自由粒子沿或：===波函数可写为：方向传播的三维情况，rΨ=()rt,ψih.oeEtpr().Ψ?(x,y,z,t)=ihoeEtpx()xpyypzz++[]ψ粒子在体积元τd=dxdydz内出现的几率为：粒子在体积元τΨΨ(x,y,z,t)dzdydz2dτ2=d=dxdydz内出现的几率为：粒子在体积元τΨΨΨΨ(x,y,z,t)dzdydz2dτ2(x,y,z,t)(x,y,z,t).*dzdydz==d=dxdydz内出现的几率为：粒子在体积元τΨΨΨΨ(x,y,z,t)dzdydz2dτ2(x,y,z,t)(x,y,z,t).*dzdydz

粒子在t时刻，在==d=dxdydz内出现的几率为：的几率，即几率密度为：处单位体积出现(x,y,z)粒子在体积元τΨΨΨΨ(x,y,z,t)dzdydz2dτ2(x,y,z,t)(x,y,z,t).*dzdydzΨΨΨ2*===d=dxdydz内出现的几率为：的几率，即几率密度为：处单位体积出现

粒子在t时刻，在(x,y,z)粒子在体积元τΨΨΨΨ(x,y,z,t)dzdydz2dτ2(x,y,z,t)(x,y,z,t).*dzdydzΨΨΨ2*这就是玻恩对波函数的统计解释。===d=dxdydz内出现的几率为：的几率，即几率密度为：处单位体积出现

粒子在t时刻，在(x,y,z)

波函数必须满足的条件（称为标准条件）：

波函数必须满足的条件（称为标准条件）：1.单值

2.有限

3.连续

波函数必须满足的条件（称为标准条件）：在整个空间出现粒子的几率应等于一，所以：1.单值

2.有限

3.连续

波函数必须满足的条件（称为标准条件）：在整个空间出现粒子的几率应等于一，所以：dxdydz=1Ψ2881.单值

2.有限

3.连续

波函数必须满足的条件（称为标准条件）：1.单值

2.有限

3.连续在整个空间出现粒子的几率应等于一，所以：dxdydz=1Ψ2称上式为波函数的归一化条件。88

二、薛定谔方程

二、薛定谔方程

从一维自由粒子特例引入薛定谔方程。

二、薛定谔方程

从一维自由粒子特例引入薛定谔方程。一维自由粒子的波函数为：

二、薛定谔方程

从一维自由粒子特例引入薛定谔方程。一维自由粒子的波函数为：Ψ?(x,t)=ihoeEtpx()xψΨ?(x,t)=ihoeEtpx()xψeeΨΨx2=ph222

二、薛定谔方程

从一维自由粒子特例引入薛定谔方程。一维自由粒子的波函数为：eeeeΨΨΨΨx2=ph222t=ihEΨ?(x,t)=ihoeEtpx()xψ,

二、薛定谔方程

从一维自由粒子特例引入薛定谔方程。一维自由粒子的波函数为：因为E=K2Ψ?(x,t)=ihoeEtpx()xψP/2m,eeeeΨΨΨΨx2=ph222t=ihE,

二、薛定谔方程

从一维自由粒子特例引入薛定谔方程。一维自由粒子的波函数为：因为E=K2Ψ?(x,t)=ihoeEtpx()xψ代入上两式得到：P/2m,eeeeΨΨΨΨx2=ph222t=ihE,

二、薛定谔方程

从一维自由粒子特例引入薛定谔方程。一维自由粒子的波函数为：因为E=K2hxh222m=it2Ψ?(x,t)=ihoeEtpx()xψ代入上两式得到：P/2m,eeeeeeeeΨΨΨΨx2=ph222t=ihE,

二、薛定谔方程

从一维自由粒子特例引入薛定谔方程。一维自由粒子的波函数为：ΨΨΨΨ因为E=K2hxh222m=it2这就是一维自由粒子（含时间）薛定谔方程。Ψ?(x,t)=ihoeEtpx()xψ代入上两式得到：P/2m,eeeeeeeeΨΨΨΨx2=ph222t=ihE,

二、薛定谔方程

从一维自由粒子特例引入薛定谔方程。一维自由粒子的波函数为：eeeeΨΨΨΨx2=ph222t=ihE(1)(2)在有势力场中粒子的总能量为：eeeeΨΨΨΨx2=ph222t=ihE(1)(2)在有势力场中粒子的总能量为：E=Pm22+UeeeeΨΨΨΨx2=ph222t=ihE(1)(2)在有势力场中粒子的总能量为：E=Pm22将（1），（2）式引入上式的得：+UeeeeΨΨΨΨx2=ph222t=ihE(1)(2)在有势力场中粒子的总能量为：E=Pm22将（1），（2）式引入上式的得：+UeeeeΨΨΨΨx2=ph222t=ihE(1)(2)EΨ=Pm22+UΨ在有势力场中粒子的总能量为：E=Pm22将（1），（2）式引入上式的得：Ψ2mhΨ2ΨUtx22+=ih+UeeeeΨΨΨΨx2=ph222t=ihE(1)(2)eeeeEΨ=Pm22+UΨ和在有势力场中粒子的总能量为：E=Pm22将（1），（2）式引入上式的得：2mhΨ2Utx22+=ih+UeeeeΨΨΨΨx2=ph222t=ihE(1)(2)eeeeEΨ=Pm22+UΨ和这是势场中一维运动粒子的一般薛定谔方程ΨΨΨ2mhΨ2ΨUtx22+=iheeeeΨ2mhΨ2ΨUtx22+=iheeee对于在势场中作三维运动粒子薛定谔方程为：Ψ2mhΨ2ΨUtx22+=iheeee对于在势场中作三维运动粒子薛定谔方程为：Ψ2mhΨ2ΨUtx22+=iheeee2Ψy2+ee2Ψz2+ee()Ψ2mhΨ2ΨUtx22+=iheeee对于在势场中作三维运动粒子薛定谔方程为：Ψ2mhΨ2ΨUtx22+=iheeee2Ψy2+ee2Ψz2+ee()2x2+ee2y2+ee2z2eeΔ令：=2Ψ2mhΨ2ΨUtx22+=iheeee对于在势场中作三维运动粒子薛定谔方程为：Ψ2mhΨ2ΨUtx22+=iheeee2Ψy2+ee2Ψz2+ee()2x2+ee2y2+ee2z2eeΔ令：=2Δ2称为拉普拉斯算符，Ψ2mhΨ2ΨUtx22+=iheeee对于在势场中作三维运动粒子薛定谔方程为：Ψ2mhΨ2ΨUtx22+=iheeee2Ψy2+ee2Ψz2+ee()2x2+ee2y2+ee2z2eeΔ令：=2Δ2称为拉普拉斯算符，引入算符后薛定谔方程可表示为：Ψ2mhΨ2ΨUtx22+=iheeee对于在势场中作三维运动粒子薛定谔方程为：Ψ2mhΨ2ΨUtx22+=iheeee2Ψy2+ee2Ψz2+ee()2x2+ee2y2+ee2z2eeΔ令：=2Δ2称为拉普拉斯算符，引入算符后薛定谔方程可表示为：Ψ2mhΨΨUt2+=iheeΔ2Ψ2mhΨΨUt2+=iheeΔ2(x,y,z,t)定态薛定谔方程Ψ2mhΨΨUt2+=iheeΔ2(x,y,z,t)定态薛定谔方程

在定态问题中势函数不是时间的函数Ψ2mhΨΨUt2+=iheeΔ2(x,y,z,t)定态薛定谔方程

在定态问题中势函数不是时间的函数，即U=U(x,y,z)。Ψ2mhΨΨUt2+=iheeΔ2(x,y,z,t)定态薛定谔方程

在定态问题中势函数不是时间的函数，即U=U(x,y,z)。用分离变量法将波函数写为：Ψ2mhΨΨUt2+=iheeΔ2(x,y,z,t)定态薛定谔方程

在定态问题中势函数不是时间的函数，即U=U(x,y,z)。用分离变量法将波函数写为：Ψψ(x,y,z)(x,y,z,t)f(t)=Ψ2mhΨΨUt2+=iheeΔ2(x,y,z,t)定态薛定谔方程

在定态问题中势函数不是时间的函数，即U=U(x,y,z)。用分离变量法将波函数写为：Ψψ(x,y,z)(x,y,z,t)f(t)=代入薛定谔方程得：Ψ2mhΨΨUt2+=iheeΔ2(x,y,z,t)定态薛定谔方程

在定态问题中势函数不是时间的函数，即U=U(x,y,z)。用分离变量法将波函数写为：Ψψ(x,y,z)(x,y,z,t)f(t)=代入薛定谔方程得：ψh2m(x,y,z)f(t)(x,y,z)(x,y,z)hi2Δ2ψU+=t1Ψ2mhΨΨUt2+=iheeΔ2(x,y,z,t)eef(t)ψψh2m(x,y,z)f(t)(x,y,z)(x,y,z)hi2Δ2ψU+=t1eef(t)ψ方程的左边只是空间坐标的函数，ψh2m(x,y,z)f(t)(x,y,z)(x,y,z)hi2Δ2ψU+=t1eef(t)ψ方程的左边只是空间坐标的函数，右边只是时间的函数，ψh2m(x,y,z)f(t)(x,y,z)(x,y,z)hi2Δ2ψU+=t1eef(t)ψ方程的左边只是空间坐标的函数，右边只是时间的函数，只有两边都等于一个常数等式才能成立。ψh2m(x,y,z)f(t)(x,y,z)(x,y,z)hi2Δ2ψU+=t1eef(t)ψ方程的左边只是空间坐标的函数，右边只是时间的函数，只有两边都等于一个常数等式才能成立。令这一常数为E。ψh2m(x,y,z)f(t)(x,y,z)(x,y,z)hi2Δ2ψU+=t1eef(t)ψ方程的左边只是空间坐标的函数，右边只是时间的函数，只有两边都等于一个常数等式才能成立。令这一常数为E。feefhiEt1=ψh2m(x,y,z)f(t