三角章节考点分类复习导学案解析-学年高一数学下册期中期末考试高分直通车沪教版必修第二册

第6【考点1】任意角及其度1（2020 市进才中学高三期中方程cos3x0在0,上的解的个数 6 【答案】【分析】先求出解的一般形式，再根据范围可求解的个【详解】因为cos3x0，故3xk ,kZ 6 故x ,kZ，令0

，故k0,12 故答案为· 市奉贤区奉城高级中学高三月考）已知cos(3,(2，则tan·5 4【答案3【详解

cosα＝－3，sinα＝

4，∴tanα

4,故答案为1 1 市晋元高级中学高一月考）设a0且a1，若loga(sinxcosx0，sin8xcos8x 【答案】【分析】根据对数函数的运算性质，得到sinxcosxa01，再根据三角函数的基本关系，【详解】设a0且a1，若loga(sinxcosx)0所以sinxcosxa01，所以sinxcosx2sin2xcos2x2sinxcosx1，又sin2xcos2x1，所以sinxcosx0，又由sin2xcos2x2sin4xcos4x2sin2xcos2x1，则sin4xcos4x1所以sin8xcos8xsin4xcos4x22sin4xcos4xsin4xcos4x2故答案为4．（2020·大学附属中学高三三模）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.中《》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦´矢+矢2）.弧田（如图按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长等计算弧田的实际面积按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（结果保留两位小数）【答案】(1)9273(2)；(2)少1.52m24试题分析：(1)本题比较简单，就是利用扇形面积公式S1lr1r2来计算弧田面积， 田面积等于扇形面积对应三角形面积．(2)由弧田面积的经验计算公式计算面积与实际面积试题解析：(1)扇形半径扇形面积等于弧田面积=（2）圆心到弦的距离等于，所以 为.按照上述弧田面积经验公式计算得（弦´矢+矢2）=.平方米按照弧田面积经验公式计算结果比实际少1.52平米考点：(1)扇形面积公式；(2)弧田面积的经验计算公式【考点2】任意角三角sin 高 练习）在[0,2π]上，满 1的x的取值范围是 sin2π πC．[

πB．[ 6D．[5π,π]【答案】【分析】根据ysinx的函数图象结合特殊角的三角函数值，即可容易求得结【详解】根据ysinx的图象可知：当sinx1时xπ5π1数形结合可知：当sinx…2

π剟

π．故选B【点睛】本题考查利用三角函数的图象解不等式，属简单 ）根据下列要求，写出“角与角终边重合”的一个：（1）必要不充分 【答案】sinsin 2【分析】本题是开放性问题，答案不唯一，先得到“角与角终边重合”的等价条A2kkZ，（1）必要不充分条件B，只需A表示的集合含于B表示的集合（2）充分不必要条件C，只需A表示的集合包含C表示的集合【详解】（1）必要不充分条件，写一个A表示范围更大的条件，如sinsinkkZ等；（2）充分不必要条件，写一个比A表示范围小的条件，如24kkZ等.故答案为sinsin等2 ）角（02）的正弦线与余弦线的长度相等，且符号相异，那么 【答案】37 【分析】由题意易得出角的终边为二、四象限的角平分线，据此得出答案即【详解】根据角（02）的正弦线与余弦线的长度相等，且符号相异可知sincos，即角的终边为二、四象限的角平分线，所以3或7 故答案为37 ）已知集合AkkZ6 6 （1）是否存在BabAB115

7成立？如果存在，求出a，b的围；如果不存在，说明理由

6,6, （2）是否存在B[a,b]，使A B有且仅有4个元素？如果存在，求出ba的范围；如果不【答案】（1）存在a1711b713；（2）存在ba[3,5 【分析】（1）列举法写出部分集合A的元素，根据交集结果得到答（2）考虑4个元素和6个元素的两 情况，得到范围【详解】（1）存在AkkZ

17,11,5

，

6 Ba,bAB1157，故a1711b713 6 （2）存在，B[a,b]， B有且仅有4个元素当akkZbk3kZ时，此时ba最小为3 当ak,kZ，bk5,kZ时， B有6个元素，故ba5 综上所述ba3,55．（2020·高一练习）已知角的终边上一点P的坐标为(5m,12m),m0.求tan和sec的值由（1）的结果你能猜出tan,sec满足的一个关系式吗？请证【答案（1）当m0时，tan12,sec13；当m0时，tan12,sec 1tan2sec2，证明见解析【分析】（1）根据角的终边上一点P的坐标为(5m,12m),m0，得到点P到原点的距r13m，再分m0和m0两种情况求解（2）猜想1tan2sec2，利用三角函数的定义证【详解】（1）因为角的终边上一点P的坐标为(5m,12mm05m2所以点5m2

13当m0时，tany12m12,sec 当m0时tany12m12sec （2）1tan2sec2证明：因为1tan

12m1

1613m

sec2

5m

，所以1tan2sec2【点睛】本题主要考查三角函数的定义，还考查了运算求解的能力，属于基础【考点3】同角三角比的关系和诱导公a11．（2020·高一练习）若cos130a，则tan50的值为a1a11a1

C．

1a2

D．【答案】【分析】先由题意，得到a0，再由同角三角函数基本关系，以及诱导公式，即可得出结【详解】因为

acos

0所以tan

sin50 sin2cos21sin2cos21cos2cos211故选【点睛】本题主要考查由余弦求正切，熟记同角三角函数基本关系即可，属于基础题 高 练习）若sin()4，则下列各式中正确的是 5A．sin(2)5C．sin(2k)4(kZ5

B．sin()5D．sin()5【答案】【分析】根据题意，先得到sin

4，再根据诱导公式，逐项判断，即可得出结5【详解】因为sin(4，所以sin=4 A选项sin(2sin()sin4，故A错5B选项sin()sin4，故B错5C选项sin(2k)sin4，故C错5D选项sin(sin4，故D正确，故选5【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题3（2020 高 练习若是第三象限角，sin1则cos 3 【答案】 【分析】利用sin2cos21及tansin计算即可得到答案1sin219【详解】因为是第三象限角，则cos0，所以cos1sin219

223tan

32.故答案为： 2；

2 3 高 练习）若sincos1，则sincos 2tancot 【答案】 【分析】将sincos1两端平方可得到sincos的值；利用切化弦可2tancot

sin

，再代入sincos的值即可【详解】因为sincos1，所以12sincos1，所以sincos3 sin2cos2 tancot sin sin 故答案为3 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，考查学生的数算能力，是一道容易题 高一练习）在ABC中，BC 5,AC3,sinC2sinAAB的值 4求sin2A 的值4 【答案】（Ⅰ）25；（Ⅱ）2【分析】（Ⅰ）直接利用正弦定理可求AB的值；（Ⅱ）由余弦定理求得cosA，再利用同角三角函数的关系求出sinA，由二倍角公式求出sin2Acos2A，根据两角差的正弦公式可 4求sin2A 的值4 【详解】（Ⅰ） 中，根据正弦定理

5sin5

BCsin于是ABsin

sin

2BC在ABC中，根据余弦定理，得cosA

AB2AC22AB于是sinA

511cos2从而sin2A2sinAcosA4cos2Acos2Asin2A sin2Asin2Acoscos2Asin 2 4

（16．（2020·高一练习）sinsin2sin3 sin2017的值 6 6 6 6 12【答案】 2 【分析】利用诱导公式进行化简求【详解】依题意，原式sinsinsinsin sin 6 6 6 6 6 1111 1，其中有1009个1、10081 22 22 2 1所以原式2

1.，故答案为2 【点睛】本小题主要考查诱导公式，属于基础 高 练习）化简：sin[(k1)]cos[(k1)],kZsin(k)cos(k【答案】【分析】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式进行化【详解】依题意，原式sinkcosksinkcosksinkcosk sinkcosksinkcosktank

sinkcosk tank 已知sinx

3,x[0,2)22已知cosx ，x是第三象限角22已知tanx

3，x是三角形的内角3【答案】（1）2；（2）2k5kZ；（3） （1已知余弦值求角，先求出相应的锐角，再利用诱导公式求出给定区间内的角即可已知正切值求角，可先判断出角的范围，直接求出角即【详解】

0，x是第一象限或第二象限角sinx32x0时xsinx32 2 x,时sinsin

sin

3，所以x2 3

故角x2

cosx ，且x是第三象限角222又cos2kcoscos 2，x2k5,kZ 4 4 （3）x是三角形的内角，x0,，又tanx30，所以x0，故x 2 ）已知 cos20，求证 (sincos)7

3 2

(1cot2 【分析】利用同角三角函数的基本关系式，结合对数运算进行化简求【详解】依题意 cos20，所以sin0,cos0,tan0,cot0

3 2 cosln

ln

22lnsin5lncos

ln

lnsinln 2(sincos)所 (1cot

cos2

(sincos)log1(sincos(1sin2 sin2lnsincos1

lnsinlnlnsin2

lnsinln

5lncosln 7.lnsin2

25ln 2【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查对数运算，属于中档3 高 练习）已知关于x的方程2x23sin,cos,0,2.sincos的值

1xm0的两个根1 1求m的值求方程的两个根及此时的值【答案

1

3sin3 ；（3）当方程的两个根分别

时

cos sin 此时 ．当方程的两个根分别

时，此时 3 cos 3 【分析】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系，可得sincos的关系．解出sin cos的值，即可求解1cos1tan的值；（2）由sincos2即可得m的值；（3）由（1）可得方程的根和此时的值.【详解】由x的方程2x231)xm0的两个根为sincos2可得sincosmsincos2cos21，(0,2

12

sin2或2cos cos 3那么tan 或333sin当

332时，tan 3cos 313sincos=2 331313

1

1 1 2 sin当cos

时，tan 333 313sincos= 2 73111

1

由sincosm，可得 3 2sin2当方程的两个根分别cos

时，此时3 sin3当方程的两个根分别3cos

时，此时6 【考点4】两角和与差的正弦、余弦、正切公1．（2020·高一练习）化简下列各式 （2）

sin

sin

sin() cotsin(

cos( tan(

2

sin(2 【答案】 【分析】（1）直接利用两角差的余弦公式即可得到答案利用三角函数的诱导公式化简即可利用诱导公式以及同角三角函数的基本关系即可得到答【详解】（1）cos(cossin()sincos[(cos因为

sin，sin

sin，sin

sinsinsin所以，原式sinsinsinsin)2sin因为sinsintantancottan tancot，coscos，sin2sin 所以原式sin

cossin cot

cot故答案为：（1）cos；（2）2sin；（3）2．（2020·高一练习）cos215sin215 【答案】22【解析】由二倍角公式可得：cos215sin215cos215cos30 323（2020 黄浦区高一期末若将3sincos化成Asin()（A0，0≤2）的形式，则 【答案】6【分析】利用辅助角公式及诱导公式化简即可得【详解】方法一：3sincos2sin()2sincos2cossin33cos

3

0≤

由待定系数法，得2sin ，

6 sin 方法二由辅助角公式及诱导公式可

3sincos2sin(

)2sin(

5

5故答案为6

【点睛】本题考查辅助角公式及三角函数诱导公式，属于基础 浦东新区·高一期中）已知sin=4sin12，且都是锐角 求cos(的值，并判断是第几象限角【答案】cos()33，是第二象限【分析】用平方关系求出的余弦，再代入两角和的余弦公式计算cos(的值，根据其值可判断是第二象限角.

4sin12，且都是锐角 cos

1sin1sin2145

，cos

=sin2sin2骣2cos()coscossinsin354123305 000，所以是第二象限角 【点睛】考查两角和的余弦公式的应用和根据三角函数值判断角是第几象限角；基础5．（2020·高一练习）某位同学在计算时，将cos()错展开为coscossinsin，请问该式是否一定不成立？当满足什么关系时，cos()coscossinsin？【答案】不一定，当kkZkkZ时，等式成立【分析】由题，得coscossinsincoscossinsin，然后逐步化简，即可【详解】不一定，由coscossinsincoscossinsin，得sinsin0，所以当kkZkkZ时，等式成立.【点睛】本题主要考查和差公式的应用，涉及到化简求值的问题，属基础 高 练习）（1）已知是第二象限角，且cos51， sin()sintan3 的值cot()cos 2 （2）已知f(cosx)cos17x，求证f(sinx)sin17x【答案】（1）15；（2）证明见解4sin()sintan3 【分析】（1）由诱导公式可

化为cos，再cot()cos 2 cos5sin1得到sin，进一步得到cos，代入即可 （2）因为f(sinxfcosx，再结合f(cosx)cos17x即可得到证明 【详解】解：（1）原式sincoscot)cos55sin1，∴sin12244又∵a是第二象限角cos

15．∴原式4

154f(sinx)

（2）证

fcos2xcos172xcos217xcos17xsin17x

∴f(sinx)sin17x（1）cos3sin （2）sin3cos 【分析】直接利用和差公式展开，然后化简，即可得到本题答【详解】证明：（1）cos3cos3cossin3sinsin （2）sin3sin3coscos3sincos 【点睛】本题主要考查利用和差公式化简，其中涉及到特殊角三角函数值的考 高 练习）已知tan1,cos

10,(0),0，

2 2的值【答案】341cos21【分析】根据已知条件求得tan的值，进而求得tan2的值，从而求得tan2的值，由此求得1cos21【详解】由0cos

10知sin

,tansin1 2

cos ∴tan2tan()tantan2tan31tantan∴tan(2)tantan21tantan

1tan2 002，而tan23102

．而(0) ∴2．∴23 高 练习）是否存在锐角，使得sin,cos是关于x的方x2(a1)x2a20的两个实数解？若存在，求出a的值及相应的；若不存在，说明【答案】不存在，理由见解 定理可得sincosa1，sincos2a2，再利用同角三角函数的平方关系可得(a1)2122a2，解得a的值后，分别验证即可得解.【详解】若sincos是关于x的方程x2a1)x2a20的两个实数解，则sincosa1sincos2a2，由(sincos)212sincos，可得(a1)2122a2得a0或a23当a0时sincos0，不合题意；当a2时sincos5 由sincos

2 2sin 2cos 2sincoscossin

4 2sin2,2，可得sincos5不成立，故a2不合题意 4 因此满足条件的锐角不存在3 1 3在直角坐标系中，点 1，将点A绕坐标原点O按逆时针方向旋转 B，如果终边经过点A的角记为，那么终边经过点B的角记为．试用三角比知识6求点B的坐标如图，设向量ABhk，把向量AB按逆时针方向旋转角得向量AC，试用h、k表示向量AC的坐标Aa,aBmn为不重合的两定点，将点B绕点A按逆时针方向旋转角得点C，判断C是否能够落在直线yx上，若能，试用a、m、n表示相应的值，若不能，说明理【答案】（1）2,1；（2）AChcosksinkcoshsin；（3）能kkZ,mn

m k

mn

kZ,mn【分析】（1）计算出OA以及sin、cos的值，利用两角和的正弦和余弦公式可求cos和sin，进而可得点B的坐标 6 6 ABrcoshsink，可得出ACrcosrsin，利 两角和的正、余弦公式可求得向量AC的坐标求得点C的坐标，由点C在直线yx上可得出mn2asinm ，mn2a0与mn2a0两种情况讨论，结合反三角函数可得出角33【详解】（1）由于点

1

1，则OA 3133 3133 2 335根据三角函数的定义可得cos 22155所以cos

5，sin

3 5

1525， 6 sinsin 6 由旋转可知，OBOA 5所以，点B的横坐标为

OBcos2，纵坐标为yOBsin1 6 6 因此，点B的坐标为2,1（2）记ABr，cosh，sink，则ACrcos,rsin 其中rcosrcos，rsinrsincos，因此AChcosksinkcosh；（3）ABma,na由（2）可知ACmacosn，OCOAACamacosnasin,bnacosmasin，即点Camacosnasinanacosmasin，由于点C在直线yx上可得amacosnasinanacosmasin，整理得mn2asinmncos.①当mn2a0时，即当mn2a时cos0，此时kkZ2②当mn2a0时，即当mn2a时，可得tan

mn

，此时k

mn

kZkkZ,mn综上所述，

m k

mn

kZ,mn【考点5】二倍角公式与三角变换的应 高 练习）若sinx5，则sin2x的值为

【答案】【分析】利用诱导公式、二倍角公式进行化简求值，由此得出正确选【详解】依题意sin2xcos2xcos2x 12sin2

5x12

1225119 故选【点睛】本小题主要考查诱导公式、二倍角公式，属于基础 市七宝中学高一期中）若tan3，则sin2 3【答案5【解析】由正弦函数的倍角公式和三角函数的基本关系式得sin22sincos2sincoscos2sin2

2sincoscos2cos2sin2cos2

2tan1tan2又因为tan3，则2tan233，即sin231tan2 1 3 市七宝中学高一期中）若cos ，则cos2 321【答案2【分析】直接使用二倍角余弦公式代入求值即3【详解】因为cos 32所以cos22cos212

3)211.故答案为 【点睛】本题考查了二倍角余弦公式的应用，考查了代入思想，考查了 算能力2cos2 高 练习）2tan()sin2(

.【答案】【分析】将分母中的sin2()化为cos2()，将切化为弦然后再对分子分母分别用 弦和正弦的二倍角公式，可化【详解】原

2

)cos2

2

)

cos cos21sin(22

故答案为sin(3cos(4,32,,，则cos2

【答案】

【分析】求得cos,sin的值，由此求得cos2的值【详解】由于sin(3cos(4,32,,，所

cossin

411sin21cos21cos25coscossinsin443316

75 5

5 故答案为【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、两角和的余弦公式，属于中档 高 练习）若是第二象限角，且sin3，则2是 象4角【答案】【分析】求得cos2和sin2的值，由此确定2所在象限【详解

是第二象限角sin3cos11sin2

71143 3所以cos212sin212 4

108sin22sincos 3 737044 所以2是第三象限角.故答案为：【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式，属于中档 ）已知tan2222

2cos2sin,，求 的值.

4 4 2【答案】 2【分析】根据角度范围和二倍角公式得到tan

2，化简式子用式计算得到答案【详解】2,，故，故tan1， 42 2tan22tan21tan2

，解得tan

或tan （舍去222 cos cossin

1

2 2原 22cos2sin

cos

1 高 练习）在ABC中，sinBsinCcos2A.试判定ABC的形状2【答案】等腰三角【分析】根据降次公式和三角形内角和消去A，结合正弦定理求解即可【详解】解：由sinBsinCcos2A，可得2

sinBsinC11cos 所以sinBsinC11cos(BC，所以sinBsinC11cosBcosC1sinBsin 所以1sinBsinC1cosBcosC1，cos(BC)1，BC，所以b 即三角形为等腰三角9．（2020·）证明下列恒等式cos4sin4cos211

1

tan2【分析】（1）利用平方差公式以及二倍角公式求解即可通分，结合二倍角的正切公式求解即【详解】证明cos4sin4cos2sin2cos2sin2cos2sin2cos2

(1tan)(1tan)2

tan21 1

(1tan)(1 1tan2【点睛】本题主要考查了二倍角公式的应用，属于中档 ）已知sincos4，求cottan的值 【答案】8【分析】化简得到原式sincos，平方sincos3整理得到答案4sin1cos 2cos2 2cos2 cos2sin

【详解

2 sincos

2

2又(sincos)212sincos

9，∴sincos

.∴原式7式将角统一化为.【考点6】正弦定理、余弦定理和解三角形在实际生活中的应 练习）在ABC中，若tanAtanB1，则ABC的形状为 A．直角三角 B．等腰直角三角形C．钝角三角 D．锐角三角【答案】【分析】由切化弦先判断cosAcosB0，所以AB为锐角，再由cosCcos(AB结合条件可得C为锐角，从而得解.【详解】tanAtanB

sinAsincosAcos

1，显然cosAcosB0，所以AB为锐角所以sinAsinBcosAcosB.即得cosAcosBsinAsinB0，所以cos(AB0又cosCcosAB)0，所以C为锐角.故选 D两点测得点A的仰角分别是,()，则点A到地面的距离AB等于 asinsinA．sin(

asinsinB．cos(

asincosC．sin(

asincosD．cos(【答案】【分析】先分别解出DBCB（AB表示），再根据DCaDBCB列方程，化简得结【详解】QtanABtanABDB

,CB

tanQDCaDB

tan

tan

aAB

asinsin1 coscos

sin(

，故选 sin sin【点睛】本题考查高度测量问题，考查基本分析求解能力，属基础3（2020

cos

则该三角形一定 【答案】【分析】利用正弦定理边化角，再利用二倍角的正弦函数公式化简，即可确定三角形的形【详解】

cos

，得sinAcosAsinBcosBsin2Asin2B2A2B，或2A2B，即ABAB2所以ABC为等腰三角形或直角三角形.故选4．（2020·高一练习）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，如2果atanA，则△ABC的形状是 2 tanA．等腰三角 B．等腰直角三角C．等腰三角形或直角三角 D．直角三角【答案】【分析】结合正弦定理和三角恒等变换及三角函数的诱导公式化简即可求得结sinsin2Acos【详解】利用正弦定理得sin2

sinB

1sin2A1sin2B，则2A2B或2A2B，解得ABAB 故△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形，故选a5（2020高一练习在ABC中三边的长分别是则ABC的形状是（ a

、b、c

a2b2c2A．直角三角 B．钝角三角 C．锐角三角 D．直角或锐角三角【答案】【分析】先由题意得到abc，由余弦定理得到cosCabc0，从而可得出结果2【详解】因为abc0a2b2c2，因此(ab)2c22ab0所以abc，所以cosCabc0，因此C为锐角且是最大角2所以ABC是锐角三角形.故选 A．充分不必要条 B．必要不充分条C．充要条 D．既不充分也不必要条【答案】反之，由正弦定理

=

∴sinA=sinB是∠A=∠B的充要条件.故选二、填空·7（2020·的视角从B岛望C岛和A岛成75的视角则BC间的距离 海里6【答案】6【解析】因为A60B75,所以C45,由正弦定理知sin

sin

，解6BC6

，故填568．（2020·市行知中学高一期末）在ABC中，AB2AC，AD是A的角平分线ADkAC，且S△ABC1，问k 时，BC最短【答案】25【分析】作出图形，设内角AB、C的对边分别为a、b、c，由题意可得出b2sinA1，利用余弦定理结合基本不等式可求得a的最小值及其对应的b、c，利用角平分线的性质可求得CD，利用余弦定理求得cosC，进而利用余弦定理可求得AD的长，由此可求得k的值.【详解】在ABC中，设内角AB、C的对边分别为a、b、c，则c2bS

1bcsinA1，可得b2sinA1，2由余弦定理得a2b2c22bccosA5b24b2cosA

sin

4cossin5cos2Asin2A4cos2Asin2A

9sin2Acos2

9tan 2

2

2 29tan2219tan2212tan2 3 0A，则0 ，所以，

A029tan当且仅当 2

时，即当tanA1时，等号成立2tan 2tanA

sin222 2

cos 22

3由

2

21，解得sin2

， sinA cosA b2

sin

，则b

15，此时，a 33由

CDb1，则CD1a 3

5AC2BC25由余弦定理得cosC 在△ACD中，由余弦定理可得ADAC2CD22ACCDcosC8，则AD26 3因此，kAD26 210.故答案为：2103 29．（2020·高一练习）ABC的周长2

1，且sinAsinB

2sinC求边AB的长若ABC的面积为1sinC，求角C的度数6【答案】（1）1；（2）60【分析】（1）由正弦定理化角为边．结合周长可得AB（2）由三角形面积得BCAC1，然后结合（1）的结论利用余弦定理可求得cosC，得3角2【详解】（1）因为三角形周长2

1，所以ABBCAC 2因为sinAsinB2

2sinC，所以由正弦定理可得BCAC

2AB由①②联立，解得AB2（2）由ABC的面积1BCACsinC1sinC得BCAC1，由（1）ACBC 2

22由余弦定理，得cosC

BCAB(ACBC)2ACBCAB

12AC

2AC 3∵0C180，∴C60·10．（2020