山东省临沂市志成中学2023年高二数学理期末试卷含解析

山东省临沂市志成中学2023年高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知，则m等于（）A.1 B.4 C.1或3 D.3或4参考答案：C【分析】根据组合数的性质即可得到方程，解方程求得结果.【详解】由得：或解得：或本题正确选项：【点睛】本题考查组合数性质的应用，属于基础题.2.下列说法正确的是(

)A.方程表示过点且斜率为的直线

B.直线与轴的交点为,其中截距

C.在轴、轴上的截距分别为、的直线方程为

D.方程表示过任意不同两点,的直线参考答案：D3.设等差数列{an}（n∈N+）的前n项和为Sn，该数列是单调递增数列，若S4≥10，S5≤15，则a4的取值范围是(

)A．（] B．（] C．（﹣∞，4] D．（3，+∞）参考答案：A【考点】等差数列的性质；数列的函数特性．【专题】计算题．【分析】根据等差数列是一个等差数列，给出两个前n项和，写出求前n项和的公式，根据不等式的基本性质和等差数列的性质整理出结果．【解答】解：∵等差数列{an是单调递增数列，若S4≥10，S5≤15，∴4a1+6d≥10

①5a1+10d≤15

②（﹣1）①+②a5≤50＜d≤1，由②得，a3≤3，∴故选A．【点评】本题考查等差数列的性质和不等式的性质，本题解题的关键是列出不等式组，解出要用的值的范围，本题是一个简单的综合题目．4.椭圆的焦点在轴上，长轴长是短轴长的两倍，则的值为 （A）

（B）

（C）2

（D）4参考答案：A5.设正方体的内切球的体积是，那么该正方体的棱长为

（

）A．2

B．4

C．

D．参考答案：B6.已知二次函数f(x)的图象如图所示，则其导函数f′(x)的图象大致形状是A．

B．

C． D．参考答案：B7.圆关于直线对称的圆的方程是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略8.设若则有（

）A

B

C

D

参考答案：D9.已知直线ax+y﹣1=0与直线x+ay﹣1=0互相垂直，则a=（）A．1或﹣1 B．1 C．﹣1 D．0参考答案：D考点： 直线的一般式方程与直线的垂直关系．专题： 直线与圆．分析： 直接由两直线垂直得到两直线系数间的关系，然后求解关于a的方程得答案．解答： 解：∵直线ax+y﹣1=0与直线x+ay﹣1=0互相垂直，∴1×a+1×a=0，即2a=0，解得：a=0．故选：D．点评： 本题考查了直线的一般式方程与直线垂直的关系，关键是对条件的记忆与运用，是基础题．10.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．2+ B．4+ C．2+2 D．5参考答案：C【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EA=EB=1，OA=1，：BC⊥面AEO，AC=，OE=判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积．【解答】解：根据三视图可判断直观图为：OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EC=EB=1，OA=1，∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，运用直线平面的垂直得出：BC⊥面AEO，AC=，OE=∴S△ABC=2×2=2，S△OAC=S△OAB=×1=．S△BCO=2×=．故该三棱锥的表面积是2，故选：C．【点评】本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，计算能力，关键是恢复直观图，得出几何体的性质．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若正数a，b满足+=1，则+的最小值为

．参考答案：4【考点】基本不等式．【分析】由+=1得到b=＞0，代入代数式变形利用基本不等式即可得出．【解答】解：∵正数a，b满足+=1，∴b=＞0，解得a＞1，同理b＞1，则+=+=+4（a﹣1）≥2=4，当且仅当a=时取等号（此时b=3）．∴+的最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．12.观察下表12

3

43

4

5

6

74

5

6

7

8

9

10…………则第________________行的个数和等于20092。参考答案：1005略13.从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，

则=

参考答案：1略14.=_____________.参考答案：15.函数的定义域是

．参考答案：16.在极坐标系中，圆的圆心到直线的距离是____________参考答案：1略17.在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为．参考答案：（x﹣1）2+y2=2【考点】圆的标准方程；圆的切线方程．【分析】求出圆心到直线的距离d的最大值，即可求出所求圆的标准方程．【解答】解：圆心到直线的距离d==≤，∴m=1时，圆的半径最大为，∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=2．故答案为：（x﹣1）2+y2=2．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）在锐角中，角所对的边分别为，已知，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，求的值.参考答案：解：（Ⅰ）解：（Ⅰ）因为锐角中，，，所以，…2分

所以.………5分（Ⅱ）

……7分将，，代入余弦定理：中…………9分得，解得

.

……10分略19.一般地，若f（x）的定义域为[a，b]，值域为[ka，kb]，（a＜b），则称[a，b]为函数f（x）的“k倍保值区间”．特别地，若f（x）的定义域为[a，b]，值域也为[a，b]，（a＜b），则称[a，b]为函数f（x）的“保值区间”．（1）若[1，b]为g（x）=的保值区间，求常数b的值；（2）问是否存在常数a，b（a＞﹣2）使函数h（x）=的保值区间为[a，b]？若存在，求出a，b的值，否则，请说明理由．（3）求函数p（x）=x2+的2倍保值区间[a，b]．参考答案：【考点】函数与方程的综合运用．【专题】新定义；分类讨论；分析法；函数的性质及应用．【分析】（1）求得g（x）的对称轴为x=1，可得g（x）在[1，b]上单调递增，即有b的方程，解方程可得b；（2）假设存在这样的a，b，由于a＞﹣2，则h（x）在[a，b]上单调递减，可得a，b的关系式，解方程即可判断是否存在；（3）讨论①当a＜b＜0时，②当0＜a＜b时，③当a＜0＜b时，运用单调性，结合二次方程解方程可得a，b，进而得到所求区间．【解答】解：（1）g（x）=的对称轴为x=1，则g（x）在[1，b]上单调递增，可得?b=3或b=1，由于b＞1，则b=3；（2）假设存在这样的a，b，由于a＞﹣2，则h（x）在[a，b]上单调递减，则即有?（a+2）b=（b+2）a?a=b与a＜b矛盾．故不存在这样的a，b；（3）①当a＜b＜0时，p（x）在[a，b]上单调递增，

则即为则a，b0为方程的两个根．由于ab=﹣13＜0（舍）；②当0＜a＜b时，p（x）在[a，b]上单调递减，则即为，两式相减（舍）；③当a＜0＜b时，，若（舍），若p（x）min=p（a）=﹣a2+=2a，解得a=﹣﹣2或﹣2（舍去），又，则，综上所述，或．即有2倍保值区间[a，b]为[1，3]或[﹣﹣2，]．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查函数的性质和运用，主要考查单调性的运用，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．20.．(本小题满分12分)已知函数的最小正周期为

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）当时，求函数的值域．参考答案：解：（Ⅰ）．········································2分

············································4分∵函数的最小正周期为，且，··············································6分

（Ⅱ）根据正弦函数的图象可得：当时，．···············································································

8分当时，··············································································10分即的值域为

12分略21.（本小题满分12分）已知函数.(Ⅰ)求曲线在点（1,0）处的切线方程;(Ⅱ)设函数,其中,求函数在上的最小值.(其中为自然对数的底数)参考答案：(Ⅰ)由,得切线的斜率为。又切线过点,所以直线的方程为

4分(Ⅱ),则令,得;令,得,所以在上单调递减,在上单调递增①当,即时,在上单调递增,所以在上的最小值为②当,即时,在上单调递减,在上单调递增.在上的最小值为③当,即时,在上单调递减,所以在上的最小值为.综上：当时,的最小值为0;当时,的最小值为;当时,的最小值为。

12分22.设数列{an}的前n项和为Sn，对一切n∈N*，点（n，）都在函数f（x）=x+的图象上．（1）求a1，a2，a3的值，猜想an的表达式，并用数学归纳法证明；（2）将数列{an}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（a1），（a2，a3），（a4，a5，a6），（a7，a8，a9，a10）；（a11），（a12，a13），（a14，a15，a16），（a17，a18，a19，a20）；（a21），（a22，a23），（a24，a25，a26），（a27，a28，a29，a30）；…分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{bn}，求b2018﹣b1314的值．参考答案：【分析】（1））得到数列递推式，代入计算可得结论，猜想an的表达式，再用数学归纳法证明，（2）因为an=2n（n∈N*），所以数列{an}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号，故b100是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20，同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20，利用等差数列的通项公式即可；【解答】解（1）∵点（n，）在函数f（x）=x+的图象上，∴=n+，∴Sn=n2+an．令n=1得，a1=1+a1，∴a1=2；令n=2得，a1+a2=4+a2，∴a2=4；令n=3得，a1+a2+a3=9+a3，∴a3=6．由此猜想：an=2n，用数学归纳法证明如下：①当n=1时，由上面的求解知，猜想成立．②假设n=k（k≥1）时猜想成立，即ak=2k成立，则当n=k+1时，注意到Sn=n2+an（n∈N*），故Sk+1=（k+1）2+ak+1，Sk=k2+ak．两式相减得，ak+1=2k+1+ak+1﹣ak，所以ak+1=4k+2﹣ak．由归纳假设得，ak=2k，故ak+1=4k+2﹣ak=4k+2﹣2k=2（k+1）．这说明n=k+1时，猜想也成立．由①②知，对一切n∈N*，an=2n成立，（2）因为an=2n（n∈N*），所以数列{an}依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…．每