复试-哈工大通信原理课件dsp-chapter

第二章差

分

方

程2-1线性常系数差分方程2-2Z变换2-3系统函数及差分方程的Z变换2-4差分方程的流图表示及其系统的实现2-5差分方程的解法2-1线性常系数差分方程一、差分的定义二、差分方程三、线性常系数差分方程四、差分方程的网络结构表示五、差分方程的初始条件对于连续时间信号，定义微分

对于序列，定义差分

(一阶后向差分)(一阶前向差分)一、差分的定义二阶后向差分为

在n处的k阶后向差分为

二、差分方程1、差分方程的定义将下列形式的方程定义为差分方程例如，一阶差方程

或即因此，差分方程可写成如下一般形式上式中，x(n)项可以是x(n)的位移的线性组合

则2、差分方程一般形式3、差分方程的阶

上式中，存在着y(n-k)型项，其中的最大值与最小值之差定义为差分方程的阶。例：是二阶差分方程

三、线性常系数差分方程

若差分方程中个各y(n-k)型项都只有一次幂，且又不存在彼此相乘的项，则称为线性差分方程。

若式中，各系数ak、bi

都是常数，则称这类线性差分方程为常系线性差分方程。

若差分方程中只含有y(n-k)型项,称这类差分方程为齐次差分方程.

即：例线性、变系数数1、一阶线性常系数差分方程

或四、差分方程的网络结构表示b1b0-a1延迟延迟x(n)x(n-1)b1x(n-1)b0x(n)y(n)y(n-1)-a1y(n-1)2、二阶线性常系数差分方程

或b1延迟b0-a1延迟b2延迟-a2延迟x(n-1)b2x(n-2)x(n)x(n-2)y(n)y(n-1)y(n-2)b1x(n-1)b0x(n)-a2y(n-2)-a1y(n-1)aN1延迟bM延迟b1延迟b0-a1延迟b2延迟-a2延迟b1x(n-1)b2x(n-2)bMx(n-M)x(n-M)x(n-2)x(n-1)x(n)b0x(n)y(n-N)y(n-2)y(n-1)-a1y(n-1)-a2y(n-2)-aNy(n-N)y(n)3、N阶系统a0=1五、差分方程的初始条件所谓初始条件，是指y(n)在n>=-N时的值的个数与差分方程的阶数相等。如果当-N≤n≤-1时，y(n)=0，而对n≥0时的y(n)值不加任何约束，这时称系统处于松弛状态。即未加信号以前，系统的输出为零。这在这种情况下，线性常系数差分方程所表示的系统是因果的线性移不变系统。否则，不能保证系统是因果线性移不变系统。例子已知差分方程为

y(n)-ay(n-1)=x(n)验证在三种不同初始条件下系统的性质是不同的。

(1)y(0)=1(2)y(0)=0(3)y(n)=0，n≤0解：（1）（ⅰ）输入为

则输出为

则(ⅱ)输入为

输出为则不是移不变系统

(ⅲ)

输入为

输出为即不满足叠加原理，系统不是线性系统。

（2）（ⅰ）输入为

则(ⅱ)输入为

输出为

即不满足移不变条件，系统不是移不变系统

(ⅲ)

输入为

则输出为

即满足叠加原理，系统是线性系统（3）（ⅰ）输入为

则输出为

(ⅱ)输入为

则输出为

即满足移不变条件，系统是移不变系统(ⅲ)

输入为

则输出为

满足叠加原理，系统是线性系统

七、两种系统FIR系统IIR系统1、IIR系统

系统结构中存在反馈环节的系统称为递归系统。又因为该系统的冲激响应是无限长序列，所以又称为无限冲激响应（InfiniteImpulseResponse----IIR）系统。

2、FIR系统没有反馈环节的系统称为非递归系统。因为该系统的冲激响应是有限长序列，所以又称为有限冲激响应（FiniteImpulseResponse----FIR）系统

b1延迟b0-a1延迟b2延迟-a2延迟x(n-1)b2x(n-2)x(n)x(n-2)y(n)y(n-1)y(n-2)b1x(n-1)b0x(n)-a2y(n-2)-a1y(n-1)b1延迟b0b2延迟x(n-1)b2x(n-2)x(n)x(n-2)y(n)b1x(n-1)b0x(n)2-2Z变换一、Z变换的定义及其收敛域二、各类序列的收敛域三、Z逆变换四、常用序列的Z变换一、Z变换的定义及其收敛域1、Z变换的定义2、Z变换与傅立叶变换的关系3、Z变换的收敛域

1、Z变换的定义2、Z变换与傅立叶变换的关系令则令r=1有3、Z变换的收敛域

对于任何给定的序列的Z变换，使之收敛的z值的集合称为Z变换的收敛域，即使下式成立的Z的集合。可见，即使序列的傅立叶变换不收敛，它的Z变换却可能收敛。：例所以，傅立叶变换不收敛

因为但在一致收敛的。

一般来来说，序列的Z变换应该在Z平面上的一环状区域内收敛，其收敛区域可表示为：一般，序列x(n)的Z变换X(z)可用有理分数表示为：

式中，zk是极点，zi是零点

当N>M时，z=∞是极点，z=0是零点；当N<M时，z=∞是零点，z=0是极点；

二、各类序列的收敛域1、有限长序列2、右序列3、左序列4、双边序列N1N21、有限长序列收敛区域为

或：或：当N1<0，N2<0时

收敛区域为

当N1<0，N2>0时

收敛区域为

当N1>0，N2>0时

收敛区域为

2、右序列N1……收敛区域为|z|>Rx

Rx-ReImZ平面收敛区域

右序列Z变换的收敛区域设右序列的Z变换在|z|=z1>0时绝对收敛，即（1）N1≥0时，若|z|>z1，则对于n≥N1时，，此时

绝对收敛证明：（2）N1<0时，若∞>|z|>z1，则对于n≥0时，

绝对收敛

因此，如果，z1=Rx-是使右序列的Z变换收敛的最小的Z1，，则|z|>Rx-时，右序列的Z变换收敛。当N1<0时，需将z=∞除外。对于N1≥0时的因果序列，收敛区域包括z=∞。N2……

收敛区域：|z|<Rx+N2>0时：0≤|Z|<

Rx+

当N2≤0时：

0<|Z|<Rx+Rx+ReImZ平面收敛区域左序列Z变换的收敛区域3、左序列

第一项为右序列的Z变换，在|z|>Rx-时收敛。第二项为左序列的Z变换，在|z|<Rx+时收敛。若Rx+>Rx-，则收敛域为：双边序列Z变换的收敛区域Rx-ReImZ平面收敛区域Rx+4、双边序列例：例1：求下列右序列的Z变换解当|az-1|<1，即|a|<|z|时，上面级数收敛

ReImZ平面×○收敛区域aZ变换的收敛区域z=a：极点z=0：零点

例2：求下列左序列的Z变换解：当|b-1z|<1，即|z|<|b|时，上面级数收敛

序列Z变换的收敛区域bReImZ平面收敛区域○×z=b：极点z=0：零点

序列的性质决定了序列的Z变换的收敛域。反之，序列的性质也完全取决于序列的Z变换的收敛域。也就是说，知道了序列的Z变换，并不能完全确定序列，只有知道其收敛区域后，才能唯一地确定序列。

三、Z逆变换1、围线积分法2、对有理Z变换的逆变换3、留数辅助定理4、部分分式法1、围线积分法

式中围线C是X(z)收敛域内的一条逆时针方向环绕原点的闭合曲线。证明：由柯西（Cauchy）积分公式

或

式中C是一条逆时针方向环绕原点的围线（C显然应在zk-1的收敛区域内）

序列x(n)的Z变换

两边乘以zk-1，并在X(z)zk-1收敛区域内取一条包围原点的积分围线C，作围线积分得

所以2、对有理Z变换的逆变换有理Z变换即Z变换为有理分式的Z变换在C内极点留数（1）若

X(z)zn-1是Z的有理分式，并在z=z0处具有S重极点，则

（2）若在z=z0处只有一个一阶极点，则

例:已知序列的Z变换为求原序列x(n)。解式中围线C取半径大于a的一个圆。当n≥0时，围线内只有一个极点z=a，因此

当n<0时，除z=a外，在z=0处还有一个|n|重极点。此时，围线积分应等于这两个极点留数之和。

n=-1时：(在z=0处有一个单极点)

n=-2时：(在z=0处有一个二重极点)所以依此类推，对于n<0的所有情况有

因此，所求序列为

如果围线积分的被积函数F(z)在整个Z平面上除有限个极点外，都是解析的，且当z趋向于无穷大时，F(z)以不低于二阶无穷小的速度趋近于零（对于为有理分式的情形，的次数至少比的高两次），则当围线C的半径趋向于无穷大时，围线积分以不低于二阶无穷小的速度趋近于零，即

3、留数辅助定理：例求Z变换为下式的原序列解所取围线在之间

当n≥0时，在围线内有一个一阶极点z=a，得

当n<0时，则被积函数除在z=a有一极点外，在z=0处有n重极点。在围线外仅有一个极点z=b，由留数辅助定理条件，有

所以整个Z平面

四、常用序列的Z变换五、Z变换的基本性质与定理1、线性

若则2、序列的位移

若则3、乘以指数序列

4、时间翻转

若若则则5、X(z)的微分

6、复序列的共轭序列

7、初值定理

若x(n)是一因果序列，则

证明：因为所以即8、终值定理

若x(n)是一因果序列，则

证明：因为

所以又故9、序列的卷积（时域卷积定理）若则10、序列的乘积（复卷积定理）若则例：已知求其卷积及其Z变换（|a|<1）

解：因为所以又n≥0时，围线内只有z=0，z=1两个一阶极点

n<0时，围线内有三个极点：z=0,a,1；其中z=0是|n+1|重极点。直接用围线积分，计算困难。但在围线外，无极点，由围线积分辅助定理有

故11、Parseval定理若则特别§2-3系统函数及差分方程的Z变换一、系统函数的定义

二、常系数线性差分方程的Z变换三、系统函数的收敛区域及其系统的性质四、系统函数与频率特性一、系统函数的定义

式中，Y(z)、X(z)分别为系统的输出、输入序列的Z变换

由得二、常系数线性差分方程的Z变换

线性移不变系统的差分方程的一般形式

则上式也是IIR滤波器的系统函数，式中。若系统为FIR滤波器，则上式中,故有

三、系统函数的收敛区域及其系统的性质1、H(z)的收敛域与差分方程的初始条件有关。2、因果系统的收敛域：由于实际系统中遇到的初始状态多是松弛的（即当n<0时，x(n)=0,y(0)=0），即系统是因果系统，所以我们对因果系统进行讨论。因果系统：h(n)=0,n<0

故系统函数H(z)=Z[h(n)]的收敛域为：|z|>Rx-3、稳定系统的收敛域

若系统稳定，则

又H(z)在|z|=1处收敛

（H(z)的收敛域必包含单位圆）4、稳定因果系统的系统函数的收敛域因果性：|z|>Rx-稳定性：包含单位圆故稳定因果系统的系统函数的收敛域为：|z|>Rx-

，Rx-<1

5、稳定因果系统的系统函数的极点由于在极点上，H(z)不收敛，因此，若z1,z2,z3,……,zp是H(z)的极点，且|z1|<|z2|<|z3|<……<|zp|则|zp|<1即：所有极点在单位圆内四、系统函数与频率特性

因为所以令则又所以0π

π

0π

π

频率从0变换到2π，可得系统的频率响应。（1）当ejω与极点dk成径向，|D|k最短，|H(jω)|出现峰值。dk越接近单位圆，则峰值越大且越接近且越尖锐。当dk在单位圆上时，|D|k在某一频率点ωp上为零，，系统不稳定。（2）当ejω与零点ci成径向，|C|i最短，|H(jω)|出现谷值。ci越接近单位圆，则谷点越低。当ci在单位圆上时，|C|i在某一频率点ω0上为零，，系统稳定。

频率特性的几何确定法2-4差分方程的流图表示及其系统的实现一、差分方程的流图表示二、系统硬件实现一、差分方程的流图表示1、系统结构框图和信号流图表示符号

延迟：延迟x(n)x(n-1)x(n)x(n-1)z-1x(n)ax(n)ax(n)ax(n)乘系数：ax1(n)x1(n)+x2(n)相加：x2(n)x1(n)x1(n)分支：x2(n)x1(n)x1(n)+x2(n)x2(n)x2(n)x1(n)x1(n)2、线性常系数差分方程的流图表示

N阶IIR系统的网络结构x(n-M)x(n-2)x(n-1)x(n)y(n)b0b2延迟b2x(n-2)b1延迟b1x(n-1)延迟bMbMx(n-M))a1延迟aN-1a2延迟aN延迟y(n-N)y(n-2)y(n-1)aNy(n-N)a2y(n-2)a1y(n-1)N阶IIR系统得流图x(n)y(n)z-1z-1z-1z-1b1b2b0bM-1bMa1a2aM-1aMz-1z-1z-1z-1N阶FIR系统的网络结构x(n-M)x(n-2)x(n-1)x(n)y(n)b0b2延迟b2x(n-2)b1延迟b1x(n-1)延迟bMbMx(n-M))x(n)N阶FIR系统流图y(n)z-1z-1z-1z-1b1b2b0bM-1bM二、系统硬件实现数字系统主要由累加器、乘法器、移位寄存器、只读存储器组成。例、FIR系统的硬件组成

1、流图表示

x(n)4阶FIR系统得流图y(n)z-1z-1z-1z-1b1b2b0b3b42、硬件实现

X(n-1)X(n-2)X(n-3)X(n-4)X(n)+RY(n)b4b3b2b1b0X(n)X(n-1)X(n-2)X(n-3)b4x(n-4)2、b4x(n-4)RX(n-3)X(n)X(n-1)X(n-2)b4x(n-4)+b3x(n-3)3、b3x(n-3)+RRX(n-2)X(n-1)X(n)X(n-1)b4x(n-4)+b3x(n-3)+b2x(n-2)4、b2x(n-2)+RRX(n-1)X(n-2)X(n-1)X(n)b4x(n-4)+b3x(n-3)+b2x(n-2)+b1x(n-1)5、b1x(n-1)+RRX(n)X(n-1)X(n-2)X(n-3)b4x(n-4)+b3x(n-3)+b2x(n-2)+b1x(n-1)+b1x(n-1)6、b0x(n)+RRX(n+1)1、R清零2-5差分方程的解法一、直接法（递推法）二、经典解法三、利用Z变换解差分方程一、直接法（递推法）该法是根据差分方程的初始值，逐一计算y(n)的值。二、经典解法

一般分为齐次解与特解两部分。非齐次线性差分方程的一般求解步骤为：（1）求其齐次解（2）求特解，并与齐次解相加得一般解（3）根据初始条件，求出一般解的待定系数（4）将所确定的系数代入，得完整解1、齐次差分方程的解法

齐次差分方程的一般形式为设其一个有