第一节定积分概念与性质

第五章积分学不定积分定积分

定积分

在一切理论成就中，未必再有什么象17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那也就是正是在这里。恩格斯第一节一、定积分问题举例二、定积分的定义三、定积分的近似计算定积分的概念与性质

第五章四、定积分的性质一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积A.矩形面积梯形面积ab思路与方法：变“曲”为“直”，首先用小矩形面积的和近似取代曲边梯形面积，再通过极限得到面积的精确值。

显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）abxyoxyo

问题1：如何找出计算面积的方法。微积分的最大功绩在于，用干净利索的方法解决了这一问题，并用非常有效的方法解决了相当复杂的图形的面积的计算问题。

观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．

显然，分的越细，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．解决步骤:1)

大化小.在区间[a,b]中任意插入

n–1个分点用直线将曲边梯形分成n

个小曲边梯形;2)

常代变.在第i

个窄曲边梯形上任取作以为底,为高的小矩形,并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得3)近似和.4)取极限.令则曲边梯形面积2.变速直线运动的路程设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程s.解决步骤:1)大化小.将它分成在每个小段上物体经2)常代变.得已知速度n

个小段过的路程为

问题2：当速度v随时间t而变化时：v=v(t)，如何求出物体在时间段[a,b]上运动的距离？3)近似和.4)取极限.上述两个问题的共性:

解决问题的方法步骤相同:“大化小,常代变,近似和,取极限”

所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限曲边梯形的面积二、定积分定义任一种分法任取总趋于确定的极限

I,则称此极限I为函数在区间上的定积分,即此时称

f(x)在[a,b]上可积

.记作积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和(1)定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即注意：（2）在定积分的定义中为什么极限过程是0

而不是n

?abxy0

只有0

，才能保证每个小区间的长度趋于0从而小矩形的面积接近窄曲边梯形的面积。

而分点的个数n

则不能保证（如右图）0xbay定积分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和几何意义：物理意义：物体以变速v=v(t)作直线运动，在时间段[a,b]上经过的路程：介于

x

轴,直线x=a,x=b

及曲线y=

f(x)之间的各部分面积的代数和。其中，在x

轴上方的面积取正，下方的面积取负。定理1.定理2.且只有有限个间断点可积的充分条件:(证明略)例1.

利用定义计算定积分解:将[0,1]n

等分,分点为取注[注]

利用得两端分别相加,得即思考x1y面积值为圆的面积的例2.

用定积分表示下列极限:解:三.定积分的近似计算根据定积分定义可得如下近似计算方法:将[a,b]分成n等份:1.左矩形公式例12.右矩形公式推导3.梯形公式4.抛物线法公式抛物线法公式的推导上作抛物线(如图)则以抛物线为顶的小曲边梯形面积经推导可得：例3.

用梯形公式和抛物线法公式解:计算yi(见右表)的近似值.ixiyi00.04.0000010.13.9604020.23.8461530.33.6697240.43.4482850.53.2000060.62.9411870.72.6845680.82.4390290.92.20994101.02.00000(取n=10,计算时取5位小数)用梯形公式得用抛物线法公式得积分准确值为计算定积分四、定积分的性质对定积分的补充规定:说明

在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．即：定积分的上、下限互换时，定积分变号。证此性质可以推广到有限多个函数代数和的情况性质1性质2证证:

当时,因在上可积,所以在分割区间时,可以永远取

c

为分点,于是性质3当a,b,c的相对位置任意时,例如则有（定积分对于积分区间具有可加性）性质4性质5.

若在[a,b]上则证:推论1.

若在[a,b]上则说明：如果f(x)和g(x)在[a,b]上都连续，f(x)g(x)

,

则进一步有例1：比较积分解：因为在区间[1，2]上，和的大小。练习：1.比较积分和的大小。2。设则I,J,K的大小关系为2011数学一推论2.证:即说明：

可积性是显然的.性质6(估值定理)则设证（此性质可用于估计积分值的大致范围）该性质有明显的几何意义解例3.

试证:证:

设则在上,有即故即性质7.

积分中值定理则至少存在一点使证:则由性质6可得根据闭区间上连续函数介值定理,使因此定理成立.说明:

可把故它是有限个数的平均值概念的推广.

积分中值定理对因例4.

计算从0秒到T秒这段时间内自由落体的平均速度.解:

已知自由落体速度为故所求平均速度解：由积分中值定理知有使内容小结1.定积分的实质—乘积和式的极限矩形公式梯形公式近似计算2.定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值——定积分求近似以直（不变）代曲（变）取极限3.定积分的性质

积分中值定理连续函数在区间上的平均值公式（注意估值性质、积分