2023年福建省福州市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)

2023年福建省福州市普通高校对口单招高等数学一自考真题(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.如图所示，在半径为R的铁环上套一小环M，杆AB穿过小环M并匀速绕A点转动，已知转角φ=ωt(其中ω为一常数，φ的单位为rad，t的单位为s)，开始时AB杆处于水平位置，则当小环M运动到图示位置时(以MO为坐标原点，小环Md运动方程为正方向建立自然坐标轴)，下面说法不正确的一项是()。

A.小环M的运动方程为s=2Rωt

B.小环M的速度为

C.小环M的切向加速度为0

D.小环M的法向加速度为2Rω2

2.对于微分方程y"-2y'+y=xex，利用待定系数法求其特解y*时，下列特解设法正确的是（）。A.y*=(Ax+B)ex

B.y*=x(Ax+B)ex

C.y*=Ax3ex

D.y*=x2(Ax+B)ex

3.

4.

5.

A.3(x+y)

B.3(x+y)2

C.6(x+y)

D.6(x+y)2

6.

7.

8.设y1(x)，y2(x)二阶常系数线性微分方程y＋py＋qy=0的两个线性无关的解，则它的通解为（）A.A.y1(x)＋c2y2(x)

B.c1y1(x)＋y2(x)

C.y1(x)＋y2(x)

D.c1y1(x)＋c2y2(x)注．c1，C2为任意常数．

9.

10.

11.设Y=x2-2x+a，贝0点x=1()。A.为y的极大值点B.为y的极小值点C.不为y的极值点D.是否为y的极值点与a有关

12.设f(x)为连续函数，则等于()．A.A.f(x2)B.x2f(x2)C.xf(x2)D.2xf(x2)

13.

14.

15.方程x2+y2-z=0表示的二次曲面是()。A.椭球面B.圆锥面C.旋转抛物面D.柱面

16.

A.

B.

C.

D.

17.

18.设lnx是f(x)的一个原函数，则f'(x)=（）。A.

B.

C.

D.

19.A.e

B.e-1

C.-e-1

D.-e

20.设y=5x，则y'等于()．

A.A.

B.

C.

D.

二、填空题(20题)21.22.

23.

24.

25.26.若f'(x0)=1，f(x0)=0,则27.设z=ln(x2+y)，则dz=______．

28.

29.30.设y=ex/x，则dy=________。

31.

32.33.设f(x)=x(x-1)，则f'(1)=__________。34.设，则y'=________。

35.

36.37.

38.

39.40.曲线y＝x3—6x的拐点坐标为________．三、计算题(20题)41.

42.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

43.求微分方程的通解．44.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．45.46.47.

48.

49.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．50.证明：51.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．52.

53.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．54.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．55.求曲线在点(1，3)处的切线方程．56.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

57.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

58.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．59.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则

60.

四、解答题(10题)61.

62.证明：当时，sinx+tanx≥2x．

63.某厂要生产容积为Vo的圆柱形罐头盒，问怎样设计才能使所用材料最省?

64.

65.计算其中区域D由y=x，y=0，x2+y2=1围成的在第一象限内的区域．

66.

67.68.设

69.

70.五、高等数学(0题)71.

=________。

六、解答题(0题)72.(本题满分8分)设y＝x＋sinx，求y．

参考答案

1.D

2.D特征方程为r2-2r+1=0，特征根为r=1(二重根)，f(x)=xex，α=1为特征根，因此原方程特解y*=x2(Ax+B)ex，因此选D。

3.B

4.C解析：

5.C

因此选C．

6.A

7.A

8.D

9.B

10.A解析：

11.B本题考查的知识点为一元函数的极值。求解的一般步骤为：先求出函数的一阶导数，令偏导数等于零，确定函数的驻点．再依极值的充分条件来判定所求驻点是否为极值点。由于y=x2-2x+a，可由y'=2x-2=0，解得y有唯一驻点x=1．又由于y"=2，可得知y"|x=1=2＞0。由极值的充分条件可知x=1为y的极小值点，故应选B。如果利用配方法，可得y=(x-1)2+a-1≥a-1，且y|x=1=a-1，由极值的定义可知x=1为y的极小值点，因此选B。

12.D解析：

13.D

14.B

15.C本题考查的知识点为二次曲面的方程。

将x2+y2-z=0与二次曲面标准方程对照，可知其为旋转抛面，故应选C。

16.C本题考查的知识点为复合函数导数的运算．

由复合函数的导数链式法则知

可知应选C．

17.C

18.C

19.B所给极限为重要极限公式形式．可知．故选B．

20.C本题考查的知识点为基本初等函数的求导．

y=5x，y'=5xln5，因此应选C．

21.

22.

23.2

24.

25.26.-1

27.本题考查的知识点为求二元函数的全微分．

通常求二元函数的全微分的思路为：

先求出如果两个偏导数为连续函数，则可得知

由题设z=ln(x2+y)，令u=x2+y，可得

当X2+y≠0时，为连续函数，因此有

28.1/(1-x)2

29.

30.

31.

32.2本题考查了定积分的知识点。

33.

34.

35.1/636.本题考查的知识点为幂级数的收敛半径．所给级数为缺项情形，由于

37.

38.

39.240.(0，0)．

本题考查的知识点为求曲线的拐点．

依求曲线拐点的－般步骤，只需

41.

则

42.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

43.

44.

列表：

说明

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.由一阶线性微分方程通解公式有

53.函数的定义域为

注意

54.55.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

56