第二章第六节指数函数

1.了解指数函数模型的实际背景．2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，

掌握幂的运算．3．理解指数函数的概念、指数函数的单调性，掌握

指数函数图象通过的特殊点．

指数函数xana0没有意义2．有理数指数幂的性质(1)aras＝

(a>0，r，s∈Q)；(2)(ar)s＝

(a>0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝

(a>0，b>0，r∈Q)．ar＋sarsarbr三、指数函数的图象和性质函数y＝ax(a>0，且a≠1)图象0<a<1a>1图象特征

在x轴

，过定点当x逐渐增大时，图象逐渐

当x逐渐增大时，图象逐渐

上方(0,1)下降上升性质定义域值域

单调性

函数值变化规律

当x＝0时，

当x<0时，

；当x>0时，

当x<0时，

；当x>0时，

(0，＋∞)递减递增y＝1y>10<y<10<y<1y>1R[究疑点]1．分数指数幂与根式有何关系？提示：关于y轴对称．答案：D[归纳领悟]指数幂的化简与求值的原则及结果要求1．化简原则(1)化负指数为正指数；(2)化根式为分数指数幂；(3)化小数为分数；(4)注意运算的先后顺序．2．结果要求(1)若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；(2)若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂

表示；(3)结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母

又有负指数幂．[题组自测]1．函数y＝3x与y＝－3－x的图象关于 (

)A．x轴对称B．y轴对称C．直线y＝x对称

D．原点中心对称答案：

D解析：由y＝－3－x得－y＝3－x，(x，y)→(－x，－y)，即关于原点中心对称．答案：D3．函数y＝ax＋2012＋2011(a>0且a≠1)的图象恒过定点__________________．解析：∵y＝ax(a>0且a≠1)恒过定点(0,1)，∴y＝ax＋2012＋2011恒过定点(－2012,2012)．答案：(－2012,2012)4．设f(x)＝|3x－1|，c<b<a，且f(c)>f(a)>f(b)，则下列关系式中一定成立的是： (

)A．3c>3a B．3c>3bC．3c＋3a>2 D．3c＋3a<2

解析：画出f(x)＝|3x－1|的图象如图：要使c<b<a且f(c)>f(a)>f(b)成立，则有c<0且a>0.由y＝3x的图象可得0<3c<1<3a，∵f(c)＝1－3c，f(a)＝3a－1，f(c)>f(a)，∴1－3c>3a－1，即3c＋3a<2.答案：Dk为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？解：函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．当k<0时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象无交点，即方程无解；当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以方程有一解；当0<k<1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有两个不同交点，所以方程有两解．[归纳领悟]1．与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．2．一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.[题组自测]1．函数f(x)＝3－x－1的定义域、值域是 (

)A．定义域是R，值域是RB．定义域是R，值域是(0，＋∞)C．定义域是R，值域是(－1，＋∞)D．以上都不对答案：

C2．已知函数f(x)＝a2－x(a>0且a≠1)，当x>2时，f(x)>1，则f(x)在R上 (

)A．是增函数B．是减函数C．当x>2时是增函数，当x<2时是减函数D．当x>2时是减函数，当x<2时是增函数解析：令2－x＝t，则t＝2－x是减函数，∵当x>2时，f(x)>1，∴当t<0时，at>1.∴0<a<1.∴f(x)在R上是增函数．答案：Af(x)＝a2－x(a>0且a≠1)，当x>2时，f(x)>1[归纳领悟](1)与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法：①函数y＝af(x)的定义域与f(x)的定义域相同．②先确定f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性，可确定函数y＝af(x)的值域．(2)与指数函数有关的复合函数的单调性．利用复合函数单调性判断形如y＝af(x)的函数，它的单调区间与f(x)的单调区间有关，若a>1，函数y＝f(x)的单调增(减)区间即为y＝af(x)的单调增(减)区间；若0<a<1，函数y＝f(x)的单调增(减)区间则为函数y＝af(x)的单调减(增)区间．(3)与指数函数有关的复合函数的最值，往往转化为二次

函数的最值．一、把脉考情对指数函数基础知识的考查：以考查指数幂的运算法则为目的，如指数运算、求函数值等；以考查指数函数的单调性为目的，如比较函数值的大小、解简单的指数不等式等．题型主要是选择题、填空题，难度中低等．预测2012年高考仍将以指数函数的图象与性质为主要考点，重点考查应用知识解决问题的能力．答案：D2．(2010·陕西高考)下列四类函数中，具有性质“对任意

的x＞0，y＞0，函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)f(y)”的是

(

)A．幂函数

B．对数函数C．指数函数

D．余弦函数答案：C解析：不妨设四个函数分别为f1(x)＝