2023年四川省广安市、眉山市高考数学一诊试卷(理科)

第18页〔共18页〕2023年四川省广安市、眉山市高考数学一诊试卷〔理科〕一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．〔5分〕集合A={x|x＞1}，函数y=lg〔2﹣x〕的定义域为B，那么〔〕A．A∪B={x|1＜x＜2} B．A∪B=R C．A∩B={x|x＞1} D．A∩B={x|x＜2}2．〔5分〕假设z=1+i，那么=〔〕A．﹣i B．， C．﹣1 D．13．〔5分〕执行如下图的程序框图，假设输出的y=2，那么输入的x=〔〕A．1 B．2 C．4 D．1或44．〔5分〕〔x﹣y〕〔x+y〕5的展开式中，x2y4的系数为〔〕A．﹣10 B．﹣5 C．5 D．105．〔5分〕为了解某高校学生使用支付和现金支付的情况，抽取了局部学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如下等高条形图：根据图中的信息，以下结论中不正确的是〔〕A．样本中的男生数量多于女生数量B．样本中喜欢支付的数量多于现金支付的数量C．样本中多数男生喜欢支付D．样本中多数女生喜欢现金支付6．〔5分〕△ABC是边长为1的等边三角形，点D在边BC上，且BD=2DC，那么的值为〔〕A． B． C． D．7．〔5分〕假设将函数的图象向左平移个单位长度，那么平移后图象的对称轴方程为〔〕A． B． C． D．8．〔5分〕从0，1，2，3这4个数字中选3个数字组成没有重复数字的三位数，那么该三位数能被3整除的概率为〔〕A． B． C． D．9．〔5分〕定义在R上的函数f〔x〕满足f〔x〕=f〔﹣x〕，当0≤x≤3时，f〔x〕=|x﹣2|；当x≥3时，f〔x〕=f〔x﹣2〕，那么函数y=f〔x〕﹣|ln|x||的零点个数是〔〕A．1 B．2 C．4 D．610．〔5分〕椭圆的左焦点为F1，y轴上的点P在椭圆外，且线段PF1与椭圆E交于点M，假设，那么E椭圆的离心率为〔〕A． B． C． D．11．〔5分〕SC是球O的直径，A，B是球O球面上的两点，且，假设三棱锥S﹣ABC的体积为1，那么球O的外表积为〔〕A．4π B．13π C．16π D．52π12．〔5分〕函数f〔x〕=〔x2﹣x﹣1〕ex，设关于x的方程有n个不同的实数解，那么n的所有可能的值为〔〕A．3 B．1或3 C．4或6 D．3或4或6二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕13．〔5分〕，那么=．14．〔5分〕直线l：y=kx+2与圆C：x2+y2﹣2x﹣2y=0相交于A，B两点，假设，那么实数k的值为．15．〔5分〕如图，A，B是函数f〔x〕=log2〔16x〕图象上的两点，C是函数g〔x〕=log2x图象上的一点，且直线BC垂直于x轴，假设△ABC是等腰直角三角形〔其中A为直角顶点〕，那么点A的横坐标为．16．〔5分〕如图，表示正方体外表的一种展开图，那么其中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中为异面直线且所成角为60°的有对．三、解答题〔本大题共5小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17．〔12分〕数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且．〔1〕求数列{an}的通项公式；〔2〕设数列的前n项和为Tn，求满足不等式的最小正整数n．18．〔12分〕在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为．〔1〕求a；〔2〕求sinB+sinC的值．19．〔12分〕全民健身倡导全民做到每天参加一次以上的体育健身活动，旨在全面提高国民体质和健康水平．某部门在该市2023﹣2023年发布的全民健身指数中，其中的“运动参与〞的评分值进行了统计，制成如下图的散点图：〔1〕根据散点图，建立y关于t的回归方程=t；〔2〕从该市的市民中随机抽取了容量为120的样本，其中经常参加体育锻炼的人数为40，以频率为概率，假设从这120名市民中随机抽取4人，记其中“经常参加体育锻炼〞的人数为X，求X的分布列和数学期望．附：对于一组数据〔t1，y1〕，〔t2，y2〕，…，〔tn，yn〕，其回归直线=t的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=．20．〔12分〕如图，ABCD是菱形，∠ABC=60°，AC与BD相交于点O，平面AEFC⊥平面ABCD，且AEFC是直角梯形，∠EAC=90°，CF∥AE，AE=AB=2，CF=4．〔1〕求证：BD⊥EF；〔2〕求二面角B﹣DE﹣F的余弦值．21．〔12分〕函数．〔1〕当a≥0时，求函数f〔x〕的极值；〔2〕假设函数f〔x〕有两个零点x1，x2，求a的取值范围，并证明x1+x2＞2．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．〔10分〕在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为〔t为参数〕，其中．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣6cosθ+4=0．〔1〕写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；〔2〕曲线C2与C1交于两点，记点A，B相应的参数分别为t1，t2，当t1+t2=0时，求|AB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．不等式|2x+1|+|x﹣1|＜3的解集M．〔1〕求M；〔2〕假设m，n∈M，求证：．2023年四川省广安市、眉山市高考数学一诊试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．〔5分〕集合A={x|x＞1}，函数y=lg〔2﹣x〕的定义域为B，那么〔〕A．A∪B={x|1＜x＜2} B．A∪B=R C．A∩B={x|x＞1} D．A∩B={x|x＜2}【解答】解：由A={x||x|＞1}=[1，+∞〕，由2﹣x＞0解得x＜2，即B=〔﹣∞，2〕．所以A∪B=R，A∩B={x|1＜x＜2}．观察选项，只有选项B符合题意．应选：B．2．〔5分〕假设z=1+i，那么=〔〕A．﹣i B．， C．﹣1 D．1【解答】解：∵z=1+i，∴==，应选：B．3．〔5分〕执行如下图的程序框图，假设输出的y=2，那么输入的x=〔〕A．1 B．2 C．4 D．1或4【解答】解：由中的程序框图可知：该程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，假设y=2，那么x=4，或x=1，应选：D4．〔5分〕〔x﹣y〕〔x+y〕5的展开式中，x2y4的系数为〔〕A．﹣10 B．﹣5 C．5 D．10【解答】解：〔x+y〕5的通项公式为：Tr+1=•x5﹣r•yr，令5﹣r=1，得r=4；令5﹣r=2，得r=3；∴〔x﹣y〕〔x+y〕5的展开式中x2y4的系数为：×1+〔﹣1〕×=﹣5．应选：B．5．〔5分〕为了解某高校学生使用支付和现金支付的情况，抽取了局部学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如下等高条形图：根据图中的信息，以下结论中不正确的是〔〕A．样本中的男生数量多于女生数量B．样本中喜欢支付的数量多于现金支付的数量C．样本中多数男生喜欢支付D．样本中多数女生喜欢现金支付【解答】解：由左图知，样本中的男生数量多于女生数量，A正确；由右图知样本中喜欢支付的数量多于现金支付的数量，B正确；由右图知，样本中多数男生喜欢支付，C正确；由右图知样本中女生喜欢现金支付与支付的一样多，D错误．应选：D．6．〔5分〕△ABC是边长为1的等边三角形，点D在边BC上，且BD=2DC，那么的值为〔〕A． B． C． D．【解答】解：=•〔+〕=2+•=2+•=1﹣×1×1×cos60°=1﹣×=．应选B．7．〔5分〕假设将函数的图象向左平移个单位长度，那么平移后图象的对称轴方程为〔〕A． B． C． D．【解答】解：将函数=2sin〔2x+〕的图象向左平移个单位长度，可得y=2sin〔2x++〕=2sin〔2x+〕的图象，令2x+=kπ+，可得x=﹣，k∈Z，那么平移后图象的对称轴方程为x=﹣，k∈Z，应选：A．8．〔5分〕从0，1，2，3这4个数字中选3个数字组成没有重复数字的三位数，那么该三位数能被3整除的概率为〔〕A． B． C． D．【解答】解：从0，1，2，3这4个数字中选3个数字组成没有重复数字的三位数，根本领件总数n==18，该三位数能被3整除包含的根本领件个数：m==10，∴该三位数能被3整除的概率为p=．应选：D．9．〔5分〕定义在R上的函数f〔x〕满足f〔x〕=f〔﹣x〕，当0≤x≤3时，f〔x〕=|x﹣2|；当x≥3时，f〔x〕=f〔x﹣2〕，那么函数y=f〔x〕﹣|ln|x||的零点个数是〔〕A．1 B．2 C．4 D．6【解答】解：定义在R上的函数f〔x〕满足f〔x〕=f〔﹣x〕，可得f〔x〕为偶函数，图象关于y轴对称，又当0≤x≤3时，f〔x〕=|x﹣2|；当x≥3时，f〔x〕=f〔x﹣2〕，可得x≥3时的图象，可将f〔x〕在[1，3]的图象向右平移2k〔k为正整数〕个单位；在y轴左边的图象与右边的图象关于y轴对称，作出f〔x〕的图象和函数y=|ln|x||的图象，可得它们有4个交点，那么函数y=f〔x〕﹣|ln|x||的零点个数是4．应选：C．10．〔5分〕椭圆的左焦点为F1，y轴上的点P在椭圆外，且线段PF1与椭圆E交于点M，假设，那么E椭圆的离心率为〔〕A． B． C． D．【解答】解：如下图|OM|=|MF1|=|OP|，不妨设|OP|=，那么|OM|=|MF1|=1，设∠MF1O=θ，在△MOF1中由余弦定理可得cosθ===，∴sinθ==，∴tanθ===，∵tanθ==，∴=，解得c=1，∴△MOF1为等边三角形，∴M〔﹣，〕，∴+=1，①∵a2﹣b2=c2=1，②，由①②可得4a4﹣8a2+1=0，解得a2=＜1〔舍去〕，a2=，∴a2===〔〕2，∴a==，∴e===﹣1，应选：C．11．〔5分〕SC是球O的直径，A，B是球O球面上的两点，且，假设三棱锥S﹣ABC的体积为1，那么球O的外表积为〔〕A．4π B．13π C．16π D．52π【解答】解：∵SC是球O的直径，A，B是球O球面上的两点，且，∴∠SAC=∠SBC=90°，cos∠ACB==﹣，∴∠ACB=120°，∴∠CAB=∠CBA=30°，∴∠ASB=60°，∴SA=SB=AB=，∴SC==2，∴球半径R=1，∴球O的外表积S=4πR2=4π．应选：A．12．〔5分〕函数f〔x〕=〔x2﹣x﹣1〕ex，设关于x的方程有n个不同的实数解，那么n的所有可能的值为〔〕A．3 B．1或3 C．4或6 D．3或4或6【解答】解：f′〔x〕=ex〔2x﹣1〕+〕+〔x2﹣x﹣1〕ex=ex〔x2+x﹣2〕，∴当x＜﹣2或x＞1时，f′〔x〕＞0，当﹣2＜x＜1时，f′〔x〕＜0，∴f〔x〕在〔﹣∞，﹣2〕上单调递增，在〔﹣2，1〕上单调递减，在〔1，+∞〕上单调递增，f〔x〕的极大值为f〔﹣2〕=，f〔x〕的极小值为f〔1〕=﹣e．作出f〔x〕的函数图象如下图：∵，∴f2〔x〕﹣mf〔x〕﹣=0，△=m2+＞0，令f〔x〕=t那么，那么t1t2=﹣．不妨设t1＜0＜t2，〔1〕假设t1＜﹣e，那么0＜t2＜，此时f〔x〕=t1无解，f〔x〕=t2有三解；〔2〕假设t1=﹣e，那么t2=，此时f〔x〕=t1有一解，f〔x〕=t2有两解；〔3〕假设﹣e＜t1＜0，那么t2＞，此时f〔x〕=t1有两解，f〔x〕=t2有一解；综上，f2〔x〕﹣mf〔x〕=有三个不同的实数解．应选：A．二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕13．〔5分〕，那么=．【解答】解：∵，∴==．故答案为：．14．〔5分〕直线l：y=kx+2与圆C：x2+y2﹣2x﹣2y=0相交于A，B两点，假设，那么实数k的值为﹣1．【解答】1解：圆C：x2+y2﹣2x﹣2y=0，转化为：〔x﹣1〕2+〔y﹣1〕2=2，所以圆的直径为2．由于|AB|=2，那么：直线l：y=kx+2，经过圆心〔1，1〕．所以：1=k+2，解得：k=﹣1．故答案为：﹣1．15．〔5分〕如图，A，B是函数f〔x〕=log2〔16x〕图象上的两点，C是函数g〔x〕=log2x图象上的一点，且直线BC垂直于x轴，假设△ABC是等腰直角三角形〔其中A为直角顶点〕，那么点A的横坐标为．【解答】解：设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，C〔x3，y3〕，那么y1=log2〔16x1〕，y2=log2〔16x2〕，y3=log2x3，x2=x3，△ABC是等腰直角三角形〔其中A为直角顶点〕，可得y2﹣y3=2〔x2﹣x1〕，y2+y3=2y1，即有log2〔16x2〕﹣log2x3=2〔x2﹣x1〕，log2〔16x2〕+log2x3=2log2〔16x1〕，化简可得x2﹣x1=2，log2x2=2+log2x1，即为2+x1=4x1，解得x1=，故答案为：．16．〔5分〕如图，表示正方体外表的一种展开图，那么其中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中为异面直线且所成角为60°的有3对．【解答】解：把正方体的展开图复原成正方体，如以下图：那么四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中为异面直线且所成角为60°的有：AB与CD，AB与GH、EF与GH，共3组．故答案为：3．三、解答题〔本大题共5小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.〕17．〔12分〕数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且．〔1〕求数列{an}的通项公式；〔2〕设数列的前n项和为Tn，求满足不等式的最小正整数n．【解答】解：〔1〕由，那么：an+1﹣an=n+1，又a1=1，所以n≥2时，an=〔an﹣an﹣1〕+〔an﹣1﹣an﹣2〕+…+〔a2﹣a1〕+a1=．当n=1时，也满足，所以数列{an}的通项公式为．〔2〕由〔1〕知，所以令，解得n≥19，所以满足不等式的最小正整数n为19．18．〔12分〕在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为．〔1〕求a；〔2〕求sinB+sinC的值．【解答】解：〔1〕由△ABC的面积为，得．因，所以，所以，得bc=35，又b﹣c=2，由余弦定理得：，=，所以a=8．〔2〕法一：由〔1〕中b﹣c=2，bc=35．解得b=7，c=5，由正弦定理得：，所以，法二：由〔1〕有〔b+c〕2=〔b﹣c〕2+4bc=22+4×35=144，所以b+c=12．由正弦定理得，所以．19．〔12分〕全民健身倡导全民做到每天参加一次以上的体育健身活动，旨在全面提高国民体质和健康水平．某部门在该市2023﹣2023年发布的全民健身指数中，其中的“运动参与〞的评分值进行了统计，制成如下图的散点图：〔1〕根据散点图，建立y关于t的回归方程=t；〔2〕从该市的市民中随机抽取了容量为120的样本，其中经常参加体育锻炼的人数为40，以频率为概率，假设从这120名市民中随机抽取4人，记其中“经常参加体育锻炼〞的人数为X，求X的分布列和数学期望．附：对于一组数据〔t1，y1〕，〔t2，y2〕，…，〔tn，yn〕，其回归直线=t的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=．【解答】解：〔1〕由题，==3.5，==75，那么〔ti﹣〕〔yi﹣〕=〔1﹣3.5〕〔65﹣75〕+〔2﹣3.5〕〔71﹣75〕+〔3﹣3.5〕〔73﹣74〕+〔4﹣3.5〕〔77﹣75〕+〔5﹣3.5〕〔80﹣75〕+〔6﹣3.5〕〔84﹣75〕=63．〔ti﹣〕2=〔1﹣3.5〕2+〔2﹣3.5〕2+〔3﹣3.5〕2+〔4﹣3.5〕2+〔5﹣3.5〕2+〔6﹣3.5〕2=17.5，==3.6，=75﹣3.6×3.5=62.4，∴运动参与y关于t的回归方程是=3.6t+62.4．〔2〕以频率为概率，从这120名市民中随机抽取1人，经常参加体育锻炼的概率为，由题，X的可能取值为0，1，2，3，4．那么，，，．分布列如下：X01234P数学期望或．20．〔12分〕如图，ABCD是菱形，∠ABC=60°，AC与BD相交于点O，平面AEFC⊥平面ABCD，且AEFC是直角梯形，∠EAC=90°，CF∥AE，AE=AB=2，CF=4．〔1〕求证：BD⊥EF；〔2〕求二面角B﹣DE﹣F的余弦值．【解答】证明：〔1〕在棱形ABCD中，可得DB⊥AC，∵平面AEFC⊥平面ABCD，且交线为AC，∴DB⊥平面AEFC，∵EF⊂平面AEFC，∴BD⊥EF．解：〔2〕直角梯形AEFC中，由∠EAC=90°，CF∥AE，AE=AB=2，得EA⊥平面ABCD．取EF的中点M，以O为坐标原点，以OA为x轴，OB为y轴，OM为z轴，建立空间直角坐标系，那么．∴=〔0，2，0〕，=〔1，，2〕．设平面BDE的法向量=〔x，y，z〕，那么，取x=2，得=〔2，0，﹣1〕，由=〔﹣1，，4〕．设平面DEF的法向量为=〔a，b，c〕，那么，取a=1，得=〔1，﹣，1〕．那么cos＜＞===，即二面角B﹣DE﹣F的余弦值为．21．〔12分〕函数．〔1〕当a≥0时，求函数f〔x〕的极值；〔2〕假设函数f〔x〕有两个零点x1，x2，求a的取值范围，并证明x1+x2＞2．【解答】解：〔1〕由，得，当a≥0时，ax+1＞0，假设0＜x＜1，f'〔x〕＞0；假设x＞1，f'〔x〕＜0，故当a≥0时，f〔x〕在x=1处取得的极大值；函数f〔x〕无极小值．〔2〕当a≥0时，由〔1〕知f〔x〕在x=1处取得极大值，且当x趋向于0时，f〔x〕趋向于负无穷大，又f〔2〕=ln2﹣2＜0，f〔x〕有两个零点，那么，解得a＞2．当﹣1＜a＜0时，假设0＜x＜1，f'〔x〕＞0；假设；假设，那么f〔x〕在x=1处取得极大值，在处取得极小值，由于，那么f〔x〕仅有一个零点．当a=﹣1时，，那么f〔x〕仅有一个零点．当a＜﹣1时，假设；假设；假设x＞1，f'〔x〕＞0，那么f〔x〕在x=1处取得极小值，在处取得极大值，由于，那么f〔x〕仅有一个零点．综上，f〔x〕有两个零点时，a的取值范围是〔2，+∞〕．两零点分别在区间〔0，1〕和〔1，+∞〕内，不妨设0＜x1＜1，x2＞1．欲证x1+x2＞2，需证明x2＞2﹣x1，又由〔1〕知f〔x〕在〔1