吉林省长春市市第十九中学2021-2022学年高三数学理测试题含解析

吉林省长春市市第十九中学2021-2022学年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）=x3﹣log2（﹣x），则对于任意实数a、b（a+b≠0），的值（） A．恒大于0 B． 恒小于1 C． 恒大于﹣1 D． 不确定参考答案：考点： 对数函数图象与性质的综合应用．专题： 函数的性质及应用．分析： 根据函数式子可判断f（x）为单调递增函数，f（x）为单调递增函数．=判断符号即可．解答： 解：∵f（x）=x3﹣log2（﹣x）=x3+log2（+x），∴根据解析式可判断f（x）为单调递增函数．∴f（x1）＜f（x2），∴＞0，∵f（﹣x）=（﹣x）3+log2（）=﹣（x3+log2（）=﹣f（x）∴f（﹣x）=﹣f（x）即f（x）为单调递增函数．∵＞0，a2﹣ab+b2＞0，任意实数a、b（a+b≠0），∴=＞0故选：A点评： 本题综合考查了函数的性质，运用解决问题，属于中等题．2.已知向量=(2cosα，2sinα)，=(3cosβ，3sinβ)，若与的夹角为60°，则直线2xcosα－2ysinα＋1=0与圆(x－cosβ)2＋(y＋sinβ)2=1的位置关系是（

）A．相交但不过圆心

B．相交且过圆心

C．相切

D．相离参考答案：C略3.已知直线和平面则的必要非充分条件是(

)A．且

Ｂ．且

Ｃ．且

D．与成等角参考答案：D4.“”是“点到直线的距离为3”的（

）A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

参考答案：B由点到直线的距离为3等价于，解得或，所以“”是“点到直线的距离为3”的充分不必要条件，故选B．5.设a，b∈R，则“log2a＞log2b”是“2a﹣b＞1”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】“log2a＞log2b”等价于“a＞b＞0”，“2a﹣b＞1”等价于“a＞b”，即可判断出结论．【解答】解：“log2a＞log2b”等价于“a＞b＞0”，“2a﹣b＞1”等价于“a＞b”，∴“log2a＞log2b”是“2a﹣b＞1”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上，半径为1m的圆O在t=0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y=，则y与时间t（0≤t≤1，单位：s）的函数y=f（t）的图象大致为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】函数的图象．【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】通过t=0时y=0，排除选项C、D，利用x的增加的变化率，说明y=sin2x的变化率，得到选项即可．【解答】解：因为当t=0时，x=0，对应y=0，所以选项C，D不合题意，当t由0增加时，x的变化率先快后慢，又y=sin2x在[0，1]上是增函数，所以函数y=f（t）的图象变化先快后慢，所以选项B满足题意，C正好相反，故选：B．【点评】本题考查函数图象的变换快慢，考查学生理解题意以及视图能力，属于中档题．7.（5分）已知p、q是简单命题，则“p∧q是真命题”是“?p是假命题”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】：命题的否定；复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：规律型．【分析】：由p∧q为真命题，知p和q或者同时都是真命题，由?p是假命题，知p是真命题．由此可知“p∧q是真命题”是“?p是假命题”的充分不必要条件．解：∵p∧q为真命题，∴p和q或者同时都是真命题，由?p是假命题，知p是真命题．∴“p∧q是真命题”推出“?p是假命题”，反之不能推出．则“p∧q是真命题”是“?p是假命题”的充分而不必要条件．故选A．【点评】：本题考查复合命题的真假判断，解题时要认真审题，仔细求解．8.某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在正方形ABCD（边长为3个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i(i=1,2,…,6),则棋子就按逆时针方向行走个单位，一直循环下去，则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到A处的所有不同走法(

)A22种

B24种

C25种

D36种参考答案：C略9.复数（i是虚数单位）的共轭复数表示的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：C考点:复数的代数表示法及其几何意义．专题:数系的扩充和复数．分析:利用复数代数形式的乘除运算化简，求出表示点的坐标得答案．解：∵=，∴z的共扼复数为，它表示的点为，在第三象限．故选：C．点评:本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．

10.如果随机变量,且,则等于(

)A.0.0215 B.0.723 C.0.215 D.0.64参考答案：A【分析】由题意可得，再根据正态分布的三个常用数据，即可得出结果.【详解】由随机变量,且，可得，又,,所以故.【点睛】本题主要考查正态分布，由正态分布的三个常用数据即可求解，属于基础题型.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在中，分别是内角的对边，若，的面积为，则的值为

参考答案：12.定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），f（x﹣2）=f（x+2），且x∈=（﹣2，0）时，f（x）=2x+，则f（2017）=

．参考答案：﹣1【考点】函数的值．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据函数的奇偶性和周期性求出f（2017）=f（1）=﹣f（1），代入函数的表达式求出函数值即可．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数，又∵f（x﹣2）=f（x+2），∴函数f（x）为周期为4是周期函数，∴f（2017）=f（504×4+1）=f（1）=﹣f（﹣1）=﹣2﹣1﹣=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了函数的单调性、周期性问题，是一道基础题．13.已知，，的夹角为60°，则

．参考答案：略14.已知是正整数，若关于的方程有整数解，则所有可能的取值集合是

．参考答案：15.某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用表示，椐统计，随机变量的概率分布如下图，则的数学期望为

。0123

参考答案：1.716.已知数列{an}的前n项和为，且满足，数列{bn}满足，则数列中第__________项最小．参考答案：4分析：由题可得到数列为等差数列，首项为1，公差为1．可得数列满足利用累加求和方法即可得出．可得，利用不等式的性质即可得出．详解：由题时，化为

时，，解得

∴数列a1=1，a2=2的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差都为2，．

进而得到数列为等差数列，首项为1，公差为1．数列满足时，时也成立．

则数列中第4项最小．即答案为4.点睛：本题考查了数列递推关系、等差数列的定义项公式与求和公式、累加求和方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.若实数x，y满足则的最大值为_____参考答案：9三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.[选修4-5：不等式选讲]已知函数f（x）=|x﹣2a|+|x+| （1）当a=1时，求不等式f（x）＞4的解集； （2）若不等式f（x）≥m2﹣m+2对任意实数x及a恒成立，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法． 【分析】（1）当a=1时，分类讨论，求不等式f（x）＞4的解集； （2）f（x）=|x﹣2a|+|x+|≥|2a+|=|2a|+||，利用不等式f（x）≥m2﹣m+2对任意实数x及a恒成立，求实数m的取值范围． 【解答】解：（1）当a=1时，不等式f（x）＞4为|x﹣2|+|x+1|＞4． x＜﹣1时，不等式可化为﹣（x﹣2）﹣（x+1）＞4，解得x＜﹣，∴x＜﹣； ﹣1≤x≤2时，不等式可化为﹣（x﹣2）+（x+1）＞4，不成立； x＞2时，不等式可化为（x﹣2）+（x+1）＞4，解得x＞，∴x＞； 综上所述，不等式的解集为{x|x＜﹣或x＞}； （2）f（x）=|x﹣2a|+|x+|≥|2a+|=|2a|+||， 不等式f（x）≥m2﹣m+2对任意实数x及a恒成立，∴2m2﹣m+2， ∴0≤m≤1． 【点评】本题主要考查绝对值的意义，带由绝对值的函数，函数的恒成立问题，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题． 19.（12分）在数列{an}中，已知．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求证：数列{bn}是等差数列；（3）设数列{cn}满足cn=an+bn，求{cn}的前n项和Sn．参考答案：【考点】：数列与函数的综合；等差关系的确定；数列的求和．【专题】：综合题；等差数列与等比数列．【分析】：（1）由题设知数列{an}是首项为，公比为的等比数列，由此能求出数列{an}的通项公式．（2）由，知=3n﹣2．由此能够证明数列{bn}是等差数列．（3）由，bn=3n﹣2，知cn=an+bn=（）n+3n﹣2，由此利用分组求和法能求出{cn}的前n项和Sn．解：（1）在数列{an}中，∵，∴数列{an}是首项为，公比为的等比数列，∴an=（）n，n∈N*．（2）∵，∴=3n﹣2．∴b1=1，bn+1﹣bn=3，∴数列{bn}是首项为b1=1，公差d=3的等差数列．（3）由（1）知，bn=3n﹣2，∴cn=an+bn=（）n+3n﹣2，∴Sn=1++4+（）2+7+（）3+…+（3n﹣5）+（）n﹣1+（3n﹣2）+（）n=[1+4+7+…+（3n﹣5）+（3n﹣2）]+[+（）2+（）3+…+（）n]=+=．【点评】：本题考查数列的通项公式的求法，考查等差数列的证明，考查数列的前n和的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意分组求和法的合理运用．20.

已知函数．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（）当时，设,求在区间[1,2]上的最大值．参考答案：(I)当时，

所以.

所以，切点为.

所以曲线在点处的切线方程为即

…6分（）因为，,令,则当时,,,为减函数所以的最大值为当时,时+

0

-↗

极大↘

所以的最大值为当时,时，恒成立，为增函数所以的最大值为

………………13分21.（本小题满分14分）已知．（1）若，求的值；（2）若，且，求的值．参考答案：（1）；（2）7.22.已知在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中为参数），点M在曲线C1上运动，动点P满足，其轨迹为曲线C2.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C2的普通方程；（2）若点A，B分别是射线与曲线C