内蒙古自治区呼和浩特市第二十三中学2022年高三数学理上学期期末试题含解析

内蒙古自治区呼和浩特市第二十三中学2022年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】余弦定理.C8【答案解析】B

解析：在△ABC中，由余弦定理可得，AC2=AB2+BC2-2AB?BCcosB

把已知AC=，BC=2B=60°代入可得，7=AB2+4-4AB×

整理可得，AB2-2AB-3=0,∴AB=3,作AD⊥BC垂足为D

Rt△ABD中，AD=AB×sin60°=，即BC边上的高为,故选B.【思路点拨】在△ABC中，由余弦定理可得，AC2=AB2+BC2-2AB?BCcosB可求AB=3，作AD⊥BC，则在Rt△ABD中，AD=AB×sinB即可得到结果.2.已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，是上的点，且是的一条渐近线，则的方程为（A） （B）（C）或 （D）或参考答案：A3.已知等比数列{an}，且a6+a8=，则a8（a4+2a6+a8）的值为（）A．π2 B．4π2 C．8π2 D．16π2参考答案：D【考点】67：定积分．【分析】先根据定积分的几何意义求出a6+a8==4π，再根据等比数列的性质即可求出．【解答】解：表示以原点为圆心以4为半径的圆的面积的四分之一，故a6+a8==4π，∴a8（a4+2a6+a8）=a8a4+2a8a6+a82=a62+2a8a6+a82=（a6+a8）2=16π2．故选：D4.已知函数y=，那么(

)A．函数的单调递减区间为（﹣∞，1），（1，+∞）B．函数的单调递减区间为（﹣∞，1]∪（1，+∞）C．函数的单调递增区间为（﹣∞，1），（1，+∞）D．函数的单调递增区间为（﹣∞，1]∪（1，+∞）参考答案：A【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】函数y=可看作y=向右平移1个单位得到，由y=的单调性可得．【解答】解：函数y=可看作y=向右平移1个单位得到，∵y=在（﹣∞，0）和（0，+∞）单调递减，∴y=在（﹣∞，1）和（1，+∞）单调递减，故选：A【点评】本题考查函数的单调性，利用已知函数的单调性和图象平移是解决问题的关键，属基础题．5.函数f（x）=（x∈[1，3]）的值域为（）A．[2，3]B．[2，5]C．D．参考答案：A考点：函数单调性的性质；基本不等式．专题：函数的性质及应用．分析：变形可得函数f（x）==x+﹣2，x∈[1，3]，利用导数可得函数f（x）在[1，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增，可得函数的最值，进而可得答案．解答：解：变形可得函数f（x）==x+﹣2，x∈[1，3]，求导数可得f′（x）=1﹣，令1﹣＞0，可得x＞2，故可得函数f（x）在[1，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增，故函数（x）的最小值为f（2）=2，最大值为f（1）或f（3）中的一个，可得f（1）=3，f（3）=，故最大值为f（1）=3，故函原数的值域为[2，3]故选A点评：本题考查函数的单调性，涉及导数法解决函数的单调性和最值，属中档题．6.已知定义域为R的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则

A

B．C.

D.参考答案：D7.已知α、β是三次函数f(x)＝x3＋ax2＋2bx的两个极值点，且α∈(0,1)，β∈(1,2)，则的取值范围是()A．

B．

C．

D．参考答案：A8.函数，若，则实数a取值范围是(

)A．

B．[-1,0]

C．[0,1]

D.[-1,1]参考答案：D略9.（x2+2）展开式中x2项的系数250,则实数m的值为（

） A．±5 B．5 C． D．参考答案：10.已知定义在（0，+∞）上的单调函数f（x），对?x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=3，则方程f（x）﹣f′（x）=2的解所在的区间是(

)A．（0，） B．（1，2） C．（，1） D．（2，3）参考答案：B【考点】导数的运算．【专题】导数的综合应用．【分析】设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=log2x+t，又由f（t）=3，即log2t+t=3，解可得t的值，可得f（x）的解析式，由二分法分析可得h（x）的零点所在的区间为（1，2），结合函数的零点与方程的根的关系，即可得答案．【解答】解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣log2x]=3，又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则f（x）﹣log2x为定值，设t=f（x）﹣log2x，则f（x）=log2x+t，又由f（t）=3，即log2t+t=3，解可得，t=2；则f（x）=log2x+2，f′（x）=，将f（x）=log2x+2，f′（x）=代入f（x）﹣f′（x）=2，可得log2x+2﹣=2，即log2x﹣=0，令h（x）=log2x﹣，分析易得h（1）=＜0，h（2）=1﹣＞0，则h（x）=log2x﹣的零点在（1，2）之间，则方程log2x﹣=0，即f（x）﹣f′（x）=2的根在（1，2）上，故选：B．【点评】本题考查二分法求函数的零点与函数零点与方程根的关系的应用，关键点和难点是求出f（x）的解析式．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.A.（几何证明选做题）如图若，，与交于点，且，，则

参考答案：712.关于函数有下列命题：①函数的图象关于轴对称；②在区间上，函数是减函数；③函数的最小值为；

④在区间上，函数是增函数．其中正确命题序号为_______________．参考答案：(1)(3)(4)13.方程组的增广矩阵是__________________.参考答案：14.若函数在点(1,1)处的切线方程为，则实数a=_________.参考答案：-1【分析】利用导数的几何意义求出曲线在点处的切线斜率为,从而可得结果.【详解】因为函数的导数为,所以在点处的切线斜率为,

又因为在点处的切线方程为,

所以,

解得，故答案为.【点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率，属于基础题.应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1)已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2)己知斜率求参数或切点即解方程；(3)巳知切线过某点(不是切点)求切点,设出切点利用求解.15.已知向量的夹角为120°，且|的值为_______.

参考答案：-8略16.如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E为棱DD1上的点，F为AB的中点，则三棱锥B1﹣BFE的体积为．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由，利用等积法能求出三棱锥B1﹣BFE的体积．【解答】解：∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E为棱DD1上的点，F为AB的中点，∴三棱锥B1﹣BFE的体积：===．故答案为：．17.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N+，点（n，Sn）均在函数y=2x﹣1的图象上，若bn=（n∈N+），则b3=．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在直角坐标系上取两个定点，再取两个动点且．（Ⅰ）求直线与交点的轨迹的方程；（II）已知，设直线：与（I）中的轨迹交于、两点，直线、的倾斜角分别为，且，求证：直线过定点，并求该定点的坐标.参考答案：略19.已知F1、F2是椭圆C：的左、右焦点，点在椭圆C上，且满足.（1）求椭圆C的方程；（2）直线l:交椭圆C于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点M（t，0），求mt的取值范围.参考答案：（1）（2）.【分析】(1).利用向量数量积得出,再根据椭圆定义和a,b,c的关系得出方程.(2).将直线方程与椭圆方程联立,利用韦达定理得出垂直平分线方程,将M点代入直线方程得出,利用基本不等式得出的范围,以此得出答案.【详解】（1）.设，，由，得，.∴，，∴，∴，，∴椭圆C的方程为（2）.由得，得，，由，且，得，设，，则，，所以AB的中点为∵直线AB的斜率为，∴线段AB的垂直平分线为.依题意，，∴，∵，当且仅当，即时取等号，∴，∴mt的取值范围是【点睛】本题考查利用定义求椭圆方程,直线与椭圆的位置关系,中档题.20.在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的参数方程为为参数），曲线C2的极坐标方程为．（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上一点，Q曲线C2上一点，求|PQ|的最小值．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）由消去参数α，得曲线C1的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化方法，得到曲线C2的直角坐标方程；（2）设P（2cosα，2sinα），利用点到直线的距离公式，即可求|PQ|的最小值．【解答】解：（1）由消去参数α，得曲线C1的普通方程为．由得，曲线C2的直角坐标方程为．（2）设P（2cosα，2sinα），则点P到曲线C2的距离为．当时，d有最小值，所以|PQ|的最小值为．21.（13分）（2014秋?衡阳县校级月考）已知f（x）=xlnx﹣x．（1）求f（x）在[，e]上的最大值和最小值；（2）证明：对任意x∈[，e]，﹣+1＜lnx成立．参考答案：【考点】：利用导数求闭区间上函数的最值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】：综合题；导数的综合应用．【分析】：（1）求f′（x），根据f′（x）在[，e]上的最的单调性，这样即可求得f（x）的最大值和最小值，（2）要证﹣+1＜lnx成立．即证﹣﹣lnx＜﹣1恒成立，构造新函数，求导数，确定单调性，即可得出结论．解：（1）∵f′（x）=lnx+1﹣1=lnx，令lnx=0，解得x=1，当f′（x）＞0时，即1＜x≤e时，函数f（x）单调递增，当f′（x）＜0时，即≤x＜1时，函数f（x）单调递减，当x=1时，函数f（x）有最小值，f（x）min=f（1）=﹣1，f（）=ln﹣=，f（e）=elne﹣e=0，综上所述f（x）在[，e]上的最大值为0，最小值为﹣1；（2）要证﹣+1＜lnx成立．即证﹣﹣lnx＜﹣1恒成立设g（x）=﹣﹣lnx，∴g′（x）=﹣+﹣=﹣+∵g′（e）=﹣+＜0，∴对任意x∈[，e]，g′（x）＜0恒成立∴g（x）在定义域内单调递减∴g（x）max=g（）=﹣+1＜﹣1∴﹣+1＜lnx．【点评】：本题考查考查根据导数符号判断函数单调性的方法，及单调函数在闭区间上的最值，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22.已知以点为圆心的圆与轴交于点,与轴交于点，其中为原点.

（1）求证：的面积为定值；（2）设直线与圆交于点，若，求圆的方程；（3）在第（2）题的条件下，设分别是直线和圆上的动点，求的最小值及此时点的坐标.参考答案：(Ⅰ)由题设知，圆C的方程为，化简得，当y=0时，x=0或2t，则；当x=0时，y=0或，则，∴为定值。

（II）∵，