第五课分式比例的性质

第五课分式，比率的性质学习目标：理解分式的基本性质，会用分式的基本性质进行简单恒等变形；理解比率的性质，会应用比率的性质化简。一、基本看法1.分式的基本性质分式的分子与分母都同时乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变,这个性质叫做分式的基本性质。．．．．．．．用式子表示是A=A；A=A（其中M是不为零的整式）。BBBB2．（1）当分子、分母都含有负号时，分子、分母应同乘以-1,使分式的值不变，且分子分母都不含负号。当分子或分母含有负号时，利用分式的基本性质及有关法规，把分子或分母的符号变为___________的符号。3．合比性质的表达文字：在一个比率里，第一个比的前后项的和与它后项的比，等于第二个比的前后项的和与它的后项的比，这称为比率中的合比定理，这种性质称为合比性质。字母：已知，且有，若是，则有。推导过程：．分比性质的表达文字：在一个比率等式中，第一个比率的前后项之差与第一个比率的后项的比，等于第二个比率的前后项之差与第二个比率的后项的比。字母：已知，且有，若是，则有。推导过程合分比性质的表述文字：在一个比率等式中，第一个比率的前后项之和与第一个比率的前后项之差的比，等于第二个比率的前后项之和与第二个比率的前后项之差的比。字母：已知，且有，若是，则有。推导过程令则等比性质的表达文字：在一个比率等式中，两前项之和与两后项之和的比率与原比率相等字母：已知，且有，若是，则有。推导过程证法一令，则证法二由合比性质即推论已知，且有，若是，则有更比性质的表达文字：把一个比率的一个比的前项与另一个比的后项互调后,所得结果仍是比率.字母：若是a/b=c/d那么a/c=b/d（b、d≠0）推导过程a/b=c/d等号两边同乘bd得ad=cb同除dc得a/c=b/d外项的积等于内项的积文字：两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比率的基本性质。字母：若是（，，，都不等于零），那么＝

．推导过程用去乘的两边，得·bd＝·，所以＝．二、典型例题例1．若a、x、

y都是不为

0的数，将

1的分子与分母都乘以

y，获取

y

，x

xy则分式

1x

与

yxy

相等吗？(

相等

)将分式

2xax

的分子与分母都除以

x，获取

2，分式a

2xax

与

2相等吗？(a

相等

)例2：1、若a1,则ab____,ab_____,a2b____b2bbb剖析：ab3,ab1,a2b5b2b2b22、如图，已知AE2，EC3且ADAEDBEC则AB______DB剖析：ABADDBAEEC235DBDBEC333、已知x2,则xx_____;xy____y3y2xy剖析：x22;xy235yx3252xy22314、若ace2,则ace____;a2c3e____bdfbdfb2d3f（其中bdf0,b2d3f0)剖析：ace2b2c2f2;a2c3e2bdfbdfb2d3f、若ace2且ace，则bdf____dfb3（其中bdf0)剖析：ace2,且ace4，则ace4bdf6bdf3bdf6例3．、已知x:y:z1:2:3,则x2yz1zx______x2yzx4x3x4剖析：zx3xx12、已知xyz,且2xyz4,则xyz______235剖析：xyzk,责2xyz4k3k5k4,235k2则xyz2k3k5k203、若2x3y4z,则x:y:z______;xz____xy剖析：3y4z12k,则x:y:z6:4:3;2xxz6k3k9xy6k4k2三、当堂检测1、下面各组中的分式相等吗？为什么？（1）mn与2m2n（2）aab与b1a2aacc（3）a与a（4）a与abbbb2、下面的式子正确吗？为什么？（1）x=2x（2）6m12n=m2nx12x18m12n2m3n3、若3x2y,则x_____y4、若mxny,则x_____y5、若abc0,设abacbck,则k_______cba四、课堂小结与反思五、课后练习1、若23，则x______x42、若3,x2,4,x1成比率，则x______3、若am2,那么am____;am____bn3bnbn（其中bn0,bn0)4、已知△ABC的三边分别为a、b、c，且满足abcbca则△ABC的形状是_______5、若2x5y,则以下比率式成立的是（）A)xyB)xyC)x2D)x52552y53y6、若abck,则k_______cacabb第六课因式分解学习目标：学会十字相乘法，公式法，分组分解等各种方法进行因式分解，熟记平方差，圆满平方等常用的一些因式分解公式。一、基本看法定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫作分解因式）.因式分解与整式乘法为相反变形，同时也是解一元二次方程中公式法的重要步骤.二、因式分解三原则1．分解要圆满（可否有公因式，可否可用公式）2．最后结果只有小括号3．最后结果中多项式首项系数为正（比方：3x2xx(3x1)）三、基本方法（一）提公因式法mambmcm(abc)若是一个多项式的各项有公因式，能够把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法.找公因式的一般步骤：1）若各项系数是整系数，取系数的最大合约数；2）取相同的字母，字母的指数取次数最低的；3）取相同的多项式，多项式的指数取次数最低的；4）所有这些因式的乘积即为公因式.（5）若是多项式的第一项为哪一项负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数，提出“-”号时，多项式的各项都要变号.口诀：找准公因式，一次要提尽；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶.（二）公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，若是把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式.1、平方差公式：a2b2(ab)(ab)2、圆满平方公式：a22abb2(ab)23、立方和公式：3b3(ab)(2ab2b)aa4、立方差公式：3b3(ab)(2ab2b)aa5、a2b2c22ab2bc2ca(abc)26、圆满立方公式：a33a2b3ab2b3(ab)37、a3b3c33abc(abc)(a2b2c2abbcca)（三）分组分解法能分组分解的多项式一般有四项或大于四项，一般的分组分解有两种形式：二二分法、三一分法.（四）十字相乘法口诀：首尾分解，交错相乘，求和凑中二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——x2(pq)xpq(xp)(xq)进行分解特点：（1）二次项系数是1；2）常数项是两个数的乘积；3）一次项系数是常数项的两因数的和2.二次项系数不为1的二次三项式——ax2bxc条件：（1）aa1a2a1c1（2）cc1c2a2c2（3）ba1c2a2c1ba1c2a2c1分解结果：ax2bxc=(a1xc1)(a2xc2)二次项系数为1的齐次多项式例、分解因式：a28ab128b2剖析：将b看作常数，把原多项式看作关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。18b-16b8b+(-16b)=-8b解：a28ab128b2=a2[8b(16b)]a8b(16b)4.二次项系数不为1的齐次多项式例、2x27xy6y2例、x2y23xy21-2y把xy看作一个整体1-12-3y1-2(-3y)+(-4y)=-7y(-1)+(-2)=-3解：原式=(x2y)(2x3y)解：原式=(xy1)(xy2)（五）换元法有时在分解因式时，能够选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，整体代入，今后进行因式分解，最后再变换回来，这种方法叫做换元法.注意：换元后勿忘还元.（六）拆项、添项法这种方法指把多项式的某一项翻开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解.要注意，必定在与原多项式相等的原则下进行变形.（七）配方法关于某些不能够够利用公式法的多项式，能够将其配成一个圆满平方式，今后再利用平方差公式，就能将其因式分解，这种方法叫配方法.属于拆项、添项法的一种特别情况。也要注意必定在与原多项式相等的原则下进行变形.（八）主元法先选定一个字母为主元，今后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解.（九）特别值法将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适合的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式.（十）待定系数法第一判断出分解因式的形式，今后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解.（十一）长除法不足的项要用0补，除的时候，必定要让第一项抵消二、典型例题（一）提公因式法例1．分解因式x32x2x解：x32x22xx(x2x1)（二）公式法例2、分解因式a24ab4b2解：a24ab4b2(a2b)2例3、已知a,b,c是ABC的三边，且a2b2c2abbcca，则ABC的形状是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形解：a2b2c2abbcca2a22b22c22ab2bc2ca2220abc(ab)(bc)(ca)（三）分组分解法例4、分解因式amanbmbn.解：原式=(aman)(bmbn)=a(mn)b(mn)每组之间还有公因式！(mn)(ab)例5、分解因式2ax10ay5bybx解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。第二、三项为一组。解：原式=(2ax10ay)(5bybx)原式=(2axbx)(10ay5by)=2a(x5y)b(x5y)=x(2ab)5y(2ab)=(x5y)(2ab)=(2ab)(x5y)（四）十字相乘法例6、分解因式：x25x6剖析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5.由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中能够发现只有2×3的分解适合，即2+3=5.x26=x212解：5x(23)x2313=(x2)(x3)1×2+1×3=5用此方法进行分解的要点：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数.例7、2x27xy6y2例8、x2y23xy21-2y把xy看作一个整体1-12-3y1-2(-3y)+(-4y)=-7y(-1)+(-2)=-3解：原式=(x2y)(2x3y)解：原式=(xy1)(xy2)（五）换元法例9、分解因式(x2x1)(x2x2)12解：令yx2x则原式(y1)(y2)12y23y10(y5)(y2)(x2x5)(x2x2)(x2x5)(x2)(x1)（六）拆项、添项法例10、分解因式解：原式

bc(bc)ca(cbc(caab)bc(ca)bc(abc(ca)ca(c(bcca)(ca)c(ca)(ba)

a)ab(aca(ca)b)ca(cbc(a(bcab)(ab(ca)(a

b)ab(ab)a)ab(ab)ab(ab)b)b)(cb)(ca)(ba)（七）配方法例11、分解因式x24x3解：原式x24x443(x2)21(x21)(x21)(x3)(x1)（八）主元法例12、分解因式a2(bc)b2(ca)c2(ab)解：原式a2(bc)a(b2c2)(b2cc2b)(bc)[a2a(bc)bc](bc)(ab)(ac)（九）特别值法例13、分解因式x39x223x15解：令x2，则x39x223x158364615105将105分解成3个质因数的积，即105357注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值则x39x223x15(x1)(x3)(x5)（十）待定系数法例14、分解因式x4x35x26x4解：由剖析知，这个多项式没有一次因式，所以只能分解为两个二次因式于是设x4x35x26x4(x2axb)(x2cxd)x4(ac)x3(acbd)x2(adbc)xbd所以ac1acbd5adbc6bd4解得a1，b1，c2，d4所以x4x35x2226x4(xx1)(x2x4)（十一）长除法例15、分解因式3x35x22解：提示：x1能够使该式0，有因式(x1)，以以以下列图，所以原式(x1)(3x22x2)三、当堂检测1．分解因式：a28ab128b22.分解因式：3x211x103.分解因式（1）2005x2(200521)x2005（2）(x1)(x2)(x3)(x6)x24.（）当m为什么值时，多项式x2y2mx5y6能分解因式，并分解此多项式.1（2）若是x3ax2bx8有两个因式为x1和x2，求ab的值.四、课堂小结与反思五、课后练习1．分解因式：x2y2axay分解因式：a22abb2c2分解因式：x27x64.分解因式x2xy6y2x13y65、分解因式x25xy6y28x18y126、分解因式abb2ab2第七课解方程（组）的方法学习目标：学会解一元一次方程，一元二次方程，简单的分式方程，及学会解二元一次方程组。一、基本看法解一元一次方程的步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项：把方程化成ax=b(a≠0)的形式；获取方程的解x=b/a.、解一元二次方程的基本思想方法是经过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法：（1）、直接开平方法；（2）、配方法；（3）、公式法；（4）、因式分解法。解分式方程的基本思想就是想法将分式方程“转变”为整式方程。（1）解分式方程的基本方法——去分母法去分母法是解分式方程的一般方法，在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，使分式方程转变为整式方程，但要注意，可能会产生增根，所以，必定验根。（2）解分式方程的其他方法拆项法2.通分法3.交错相乘法二元一次方程组的解法（1）代入消元法（2）加减消元法“消元”是解二元一次方程的基本思路。所谓“消元”就是减少未知数的个数，使多元方程最后转变为一元方程再解出未知数。这种将方程组中的未知数个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。二、典型例题例1．一个三位数的百位数字是十位数字的2倍，个位数字比十位数字少1，若把这个三位数的百位数字跟个位数字对调，获取的新三位数比原三位数小396，求原三位数】剖析：先找要点句---“若把三位数的百位数字跟个位数字对调今后获取的新三位数比原三位数小396”，做这道题还要会用x表示三位数。若设原三位数的个位数字是x，由题意十位数字为x+1，百位数字是2（x+1）原来三位数大小可表示为2（x+1）×100+（x+1）×10+x对调后新的三位数个位数字是2（x+1），则十位数字为x+1，百位数字是x新三位数大小可表示为100x+（x+1）×10+2（x+1）解：设原来三位数的个位数字是x由题意获取方程（x+1）×100+（x+1）×10+x=100x+（x+1）×10+2（x+1）+3962（x+1）×100+（x+1）×10+x=100x+（x+1）×10+2（x+1）+396（约去代数式)2（x+1）×100+x=100x+2（x+1）+396(去括号）200x+200+x=100x+2x+2+396（移项，合并同类项）99x=198（系数化为1）x=2原来的数字个位2，十位x+1=3，百位2（x+1）=6。该三位数为632答：原来的三位数是632例2：（1）.解方程：2x2＋3＝5x．解：移项，得：2x2-5x＋3＝0，2）解方程：2x2+7x-4＝0a＝2，b＝7，c＝-4．b2-4ac＝72-4×2×(-4)＝49+32＝813）解方程：x2-a(3x-2a+b)-b2＝0(a-2b≥0)x2-3ax+2a2-ab-b2＝0a＝1，b＝-3a，c＝2a2-ab-b2b2-4ac＝(-3a)2-4×1×(2a2+ab-b2)9a2-8a2-4ab+4b2a2-4ab+4b2(a-2b)2当(a-2b≥0)时，得(4)2x25x20解：能够分解为（x-2)(2x-1)=0解得x1x21=2=212例3：（1）x1x21解：方程两边都乘x1x1，约去分母，得：x12,x1。检验：当x1时，x1x10。所以：x1是增根，即：原方程无解。x7x3x4x6(2)解方程：x9x5x6x8。x92x52x62x82解：x9x5x6x8，121212129x6x8，即xx51111移项，整理，得x9x8x6x5，x8x9x5x6x9x8x6x5，11x9x8x6x5，去分母，得x6x5x9x8，解得：x7。经检验，x7原方程的根。x3x4x1x2(3)解方程：x4x5x2x3。方程两边分别通分，得x＋3x5x42＝x1x3x22x5x＋4x2x3，11即x5x4x3x2，∴x5x4x2x3，x7解得2。x7经检验，2是原方程的根。x

7∴原方程的根是2。23x32x(4)解方程：3x12x2。7解：原方程化为23x2x232x3x1，整理得13xx7，∴13。7经检验x13是原方程的根。x7∴原方程的根是13。xy8