第三章最佳线性滤波器

第三章最佳线性滤波器最佳线性滤波概述Wiener-Hopf方程及其求解Wiener滤波的性能互补Wiener滤波器设计卡尔曼滤波器的递推算法卡尔曼滤波器的应用最佳线性滤波概述最优估计：在许多实际问题中，需要研究随时间变化的随机变量或随机矢量的估计问题，即：按照某种最优准则对随时间变化的随机变量或随机矢量作出估计。

——在信息与通信工程领域常称为“波形估计”；

——在控制科学与工程领域常称为“状态估计”。最优准则：包括最大后验准则、最大似然准则、均方准则、线性均方准则等。最佳线性滤波器采用线性均方准则，通常称为“最小均方误差（LMS）”和“最小二乘（LS）”准则。统计均方意义下的准则，要求输入为随机过程（序列），通常假定“平稳”和“各态历经”。最佳线性滤波器结构LTI(h(n))+第三章最佳线性滤波器最佳线性滤波概述Wiener-Hopf方程及其求解Wiener滤波的性能互补Wiener滤波器设计卡尔曼滤波器的递推算法卡尔曼滤波器的应用………+-+++Toeplitz对称阵观测信号为：，试中是方差为0.45的零均值白噪声，它与s(n）统计独立。设计一个长为N=3的FIR滤波器来处理x(n)，使得其输出与s(n)的差的均方值最小。例：设信号s(n)的自相关序列为：解：解：试设计一个长为N=4的FIR滤波器对x(n)进行滤波得到，使得例：在测试某正弦信号的过程中叠加有零均值、方差的白噪声，即测试结果为：它与的误差的均方值最小。求该滤波器的冲激响应并估计误差平均功率（与不相关）。Wiener-Hopf方程：双边Z变换在z域有最佳系统传输函数：Wiener-Hopf方程：因i取值范围的原因，直接求解求hopt(i)非常困难。为此，令：输入一般情况，x(n)不为白噪声，需经两步获得因果IIR传输函数：（1）利用谱分解得到（2）由将因果IIR滤波器看成两部分级联白化滤波器白噪声最小相位LTI系统两端进行Z变换得：归纳起来，因果IIR维纳滤波器设计步骤：例：观测信号，式中是零均值、方差为1的白噪声。期望信号s(n)是一个AR(1)过程：式中是零均值、方差的白噪声。期望信号s(n)与噪声不相关，噪声与不相关。试设计一因果IIR维纳滤波器对观测信号进行滤波，并求的估计。解：期望信号s(n)的功率谱为AR功率谱，即：第三章最佳线性滤波器最佳线性滤波概述Wiener-Hopf方程及其求解Wiener滤波的性能互补Wiener滤波器设计卡尔曼滤波器的递推算法卡尔曼滤波器的应用Wiener滤波器为最佳线性滤波，对应最小均方误差：(1).对IIR维纳滤波器均方误差的z域计算1.误差性能(2).FIR维纳滤波器均方误差的时域计算举例：在上例中，FIR维纳滤波器的时域计算以非因果IIR线性滤波器为例，可分析和说明Wiener滤波器实现了最佳的线性滤波：2.实现问题问题一：实现精确度。Wiener滤波器最优权系数需要由输入信号的自相关函数矩阵以及输入信号与期望输出的互相关函数矩阵进行计算。实际中，这两个参数是未知的，需要通过估计得到，而一致性估计需要观测无限长信号；问题二：计算复杂度。求最优滤波器单位脉冲响应时需要矩阵求逆，其计算复杂度量级是滤波器长度的三次方。解决办法：改进算法。由于存在这些问题，实际实现Wiener滤波时，并不是直接计算得到最优Wiener滤波器的抽头系数，而是代之以LMS,RLS,Kalman等自适应滤波器。Kalman滤波器的主要特点：Kalman滤波是Wiener滤波的发展,它最早用于随机过程的参数估计,并在各种最佳滤波器和最佳控制中获得极其广泛的应用。其主要特点是：

(1)采用递推算法结构。

(2)具有RLS类自适应滤波器的框架。

(3)具有标量型和矢量型两种结构，由标量型地推算法可直接写出矢量型算法的矩阵形式。第三章最佳线性滤波器最佳线性滤波概述Wiener-Hopf方程及其求解Wiener滤波的性能互补Wiener滤波器设计卡尔曼滤波器的递推算法卡尔曼滤波器的应用高通(HP)低通(LP)第三章最佳线性滤波器最佳线性滤波概述Wiener-Hopf方程及其求解Wiener滤波的性能互补Wiener滤波器设计卡尔曼滤波器的递推算法卡尔曼滤波器的应用请推导n0010.50.50.5x(1)20.680.4050.4050.405x(2)+0.238x(1)70.60.3750.3750.375x(7)+0.1875x(6)+......与本PPT

P31结果一致。即：Wiener滤波输出是Kalman滤波的稳态解。标量矩阵标量型矢量型第