第二章静电场

会计学1第二章静电场2.1

库仑定律和电场强度电场对某点单位正电荷的作用力称为该点的电场强度，以E表示。

式中q

为试验电荷的电量，F为电荷q受到的作用力。N(牛顿)适用条件：1.库仑定律：两个可视为点电荷的带电体之间的相互作用力;真空中的介电常数F/m；2.电场强度矢量第1页/共50页电场线方程用电场线围成电场管带电平行板

负电荷

正电荷

几种典型的电场线分布由此可见，电场线的疏密程度可以显示电场强度的大小。

第2页/共50页（a)单个点电荷产生的电场强度V/m

（b)n个点电荷产生的电场强度(矢量叠加原理)（c)连续分布电荷产生的电场强度元电荷产生的电场线电荷分布体电荷分布面电荷分布第3页/共50页例1

求长度为L，线密度为的均匀线分布电荷的电场强度。

解：

令圆柱坐标系的z轴与线电荷的长度方位一致，且中点为坐标原点。由于结构旋转对称，场强与方位角

无关。因为电场强度的方向无法判断，不能应用高斯定律求解其电场强度。只好进行直接积分，计算其电位及电场强度。

因场量与无关，为了方便起见，可令观察点P

位于yz平面，即，那么y1xz2r0第4页/共50页求得当长度L时，1

0，2

，则两个分量为由于y1xz2r0第5页/共50页例2

有面密度为的无限大均匀带电平面，求周围空间的电场。解：分析题意，电场的分布以无限大带电平面两侧为对称。采用直角坐标系，作计算图。为了简化求解过程，将观察点P取在z轴上。以原点o为圆心，作一半径为，宽为的圆环，为环上的元电荷，如图所示。根据对称性，此环形元电荷的电场方向沿z轴，即RzPodEz则无限大面电荷在P点产生的电场为第6页/共50页2.2

电位与等位面

静电场中某点的电位，其物理意义是单位正电荷在电场力的作用下，自该点沿任一条路径移至无限远处过程中电场力作的功。

应该注意，这里所说的电位实际上是该点与无限远处之间的电位差，或者说是以无限远处作为参考点的电位。原则上，可以任取一点作为电位参考点。显然，电位的参考点不同，某点电位的值也不同。但是任意两点之间的电位差与电位参考点无关，因此电位参考点的选择不会影响电场强度的值。当电荷分布在有限区域时，通常选择无限远处作为电位参考点，因为此时无限远处的电位为零。电位的数学表示式中q

为电荷的电量，W为电场力将电荷q

推到无限远处作的功。点电荷：第7页/共50页

由于电场强度的方向为电位梯度的负方向，而梯度方向总是垂直于等位面，因此，电场线与等位面一定处处保持垂直。若规定相邻的等位面之间的电位差保持恒定，那么等位面密集处表明电位变化较快，因而场强较强。这样，等位面分布的疏密程度也可表示电场强度的强弱。

电位相等的曲面称为等位面，其方程为电场线等位面式中常数C

等于电位值。E第8页/共50页1.电位参考点例如：点电荷产生的电位：点电荷所在处不能作为参考点场中任意两点之间的电位差与参考点无关。选择参考点尽可能使电位表达式比较简单。电位参考点可任意选择，但同一问题，一般只能选取一个参考点。第9页/共50页

标量函数称为电位。真空中静电场在某点的电场强度等于该点电位梯度的负值。按照国家标准，电位以小写希腊字母

表示，应写为2.电位梯度证明：电位梯度增加时，克服电场力做功第10页/共50页例3

计算电偶极子的电场强度。

解：由前述电位和电场强度的计算公式可见，无论电荷何种分布，电位及电场强度均与电量的一次方成正比。因此，可以利用叠加原理计算多种分布电荷产生的电位和电场强度。那么，电偶极子产生的电位应为

若观察距离远大于两电荷的间距l

，则可认为，与平行，则x-q+qzylrr-r+O第11页/共50页式中l的方向规定由负电荷指向正电荷。通常定义乘积ql

为电偶极子的电矩，以p表示，即求得那么电偶极子产生的电位为

利用关系式，求得电偶极子的电场强度为第12页/共50页

上述结果表明，电偶极子的电位与距离平方成反比，电场强度的大小与距离的三次方成反比。而且两者均与方位角有关。这些特点与点电荷显著不同。下图绘出了电偶极子的电场线和等位线的分布。

第13页/共50页2.3

真空中静电场方程

物理实验表明，真空中静电场的电场强度E满足下列两个积分形式的方程式中0

为真空介电常数。左式称为高斯定理，右式表明真空中静电场的电场强度沿任一条闭合曲线的环量为零。第14页/共50页

1.高斯定理电通量：在电场中通过某一曲面电力线的根数:b)高斯定理：真空中静电场的电场强度通过任一封闭曲面的电通等于该封闭曲面所包围的电量与真空介电常数之比。以点电荷为例

分析任意形状的闭合面S对点所张的立体角：当点位于S内时，曲面S与球面对点所张的立体角相等，为4

。当点在闭合面外，两部分的立体角等值异号互相抵消，于是曲面S对点所张的立体角为零。

qER第15页/共50页例3

设半径为a，电荷体密度为的无限长圆柱带电体位于真空，计算该带电圆柱体内外的电场强度。xzyaLS1

解：选取圆柱坐标系，令z

轴为圆柱的轴线。由于圆柱是无限长的，对于任一z值，上下均匀无限长，因此场量与z坐标无关。对于任一z为常数的平面，上下是对称的，因此电场强度一定垂直于z轴，且与径向坐标r一致。再考虑到圆柱结构具有旋转对称的特点，场强一定与角度

无关。

取半径为r

，长度为L的圆柱面与其上下端面构成高斯面。应用高斯定律

第16页/共50页

因电场强度方向处处与圆柱侧面S1的外法线方向一致，而与上下端面的外法线方向垂直，因此上式左端的面积分为当r<a

时，则电量q为,求得电场强度为当r>a

时，则电量q为,求得电场强度为第17页/共50页

上式中a2

可以认为是单位长度内的电量。那么，柱外电场可以看作为位于圆柱轴上线密度为=a2的线电荷产生的电场。由此我们推出线密度为的无限长线电荷的电场强度为

由此例可见，对于这种结构对称的无限长圆柱体分布电荷，利用高斯定律计算其电场强度是十分简便的。若根据电荷分布直接积分计算电位或电场强度，显然不易。第18页/共50页2.静电场的无旋性根据静电场基本方程可以求出电场强度的散度及旋度，即左式表明，真空中静电场的电场强度在某点的散度等于该点的电荷体密度与真空介电常数之比。右式表明，真空中静电场的电场强度的旋度处处为零。由此可见，真空中静电场是有散无旋场。

无旋性证明见书P43由此可以看出电场力沿闭合线路所做的功为零，静电场为保守场。第19页/共50页（1）高斯定律中的电量q

应理解为封闭面S

所包围的全部正负电荷的总和。

3.静电场特性的进一步认识:（2）静电场的电场线是不可能闭合的，而且也不可能相交。（3）任意两点之间电场强度E的线积分与路径无关。真空中的静电场和重力场一样，它是一种保守场。（4）已知电荷分布的情况下，可以利用高斯定理计算电场强度，或者可以通过电位求出电场强度，或者直接根据电荷分布计算电场强度等三种计算静电场的方法。

第20页/共50页例4

计算点电荷的电场强度。

解：点电荷就是指体积为零，但具有一定电量的电荷。由于点电荷的结构具有球对称特点，因此若点电荷位于球坐标的原点，它产生的电场强度一定与球坐标的方位角及无关。

取中心位于点电荷的球面为高斯面。若点电荷为正电荷，球面上各点的电场强度方向与球面的外法线方向一致。利用高斯定律上式左端积分为得或第21页/共50页

也可通过电位计算点电荷产生的电场强度。当点电荷位于坐标原点时点电荷的电位为求得电场强度E为

若直接根据电场强度公式，同样求得电场强度E为

第22页/共50页有极分子无极分子2.4静电场中的介质与导体

导体中的电子通常称为自由电子，它们所携带的电荷称为自由电荷。介质中的电荷是不会自由运动的，这些电荷称为束缚电荷。

在电场作用下，介质中束缚电荷发生位移，这种现象称为极化。通常，无极分子的极化称为位移极化，有极分子的极化称为取向极化。

无极分子有极分子Ea第23页/共50页

实际上，介质极化现象是逐渐形成的。当外加电场Ea

加到介质中以后，介质中出现的电偶极子产生二次电场Es，这种二次电场Es又影响外加电场，从而导致介质极化发生改变，使二次电场又发生变化。一直到合成电场产生的极化能够建立一个稳态的二次电场，极化状态达到动态平衡，其过程如下图所示。

介质合成场Ea+Es极化二次场Es外加场Ea第24页/共50页

介质极化以后，介质中出现很多排列方向大致相同的电偶极子。为了衡量这种极化程度，我们定义，单位体积中电矩的矢量和称为极化强度，以P表示，即式中pi

为体积V

中第i个电偶极子的电矩，N

为V

中电偶极子的数目。这里V

应理解为物理无限小的体积。

实验结果表明，大多数介质在电场的作用下发生极化时，其极化强度P与介质中的合成电场强度E成正比，即式中e

称为极化率，它是一个正实数。

第25页/共50页

空间各点极化率相同的介质称为均匀介质，否则，称为非均匀介质。

发生极化以后，介质表面出现面分布的束缚电荷。若介质内部是不均匀的，则极化产生的电偶极子的分布也是不均匀的，在介质内部出现束缚电荷的体分布，因而出现体分布的束缚电荷。这种因极化产生的面分布及体分布的束缚电荷又称为极化电荷。

为极化强度，它与极化电荷的关系为为束缚电荷面密度，为束缚电荷体密度。第26页/共50页

介质被极化后，分子可视作一个电偶极子。

设分子的电偶极矩p=ql。取如图所示体积元，其高度等于分子极矩长度。

则负电荷处于体积中的电偶极子的正电荷必定穿过面元dS在空间中任取体积V，其边界为S，则经S穿出V的正电荷量为穿出整个S面的电荷量为：

由电荷守恒和电中性性质，留在S面内的束缚电荷量为

1、束缚电荷体密度所以留在S面内的束缚电荷体密度为

第27页/共50页在介质表面上，束缚电荷面密度为式中：P为媒质极化强度，

n为媒质表面外法向单位矢量。

讨论：若分界面两边均为媒质2、束缚电荷面密度从面元穿出的电荷量为介质1介质2n第28页/共50页极化电荷不能自由运动，也称为束缚电荷；由电荷守恒定律，极化电荷总量为零；

P=常矢量时称媒质被均匀极化，此时介质内部无极化电荷，极化电荷只会出现在介质表面上；均匀介质内部一般不存在极化电荷；位于媒质内的自由电荷所在位置一定有极化电荷出现。注意第29页/共50页3.介质中的静电场方程

在介质内部，穿过任一闭合面S的电通应为式中q为闭合面S

中的自由电荷，为闭合面S

中的束缚电荷。那么

令，求得此处定义的D称为电位移。可见，介质中穿过任一闭合面的电位移的通量等于该闭合面包围的自由电荷，而与束缚电荷无关。上式又称为介质中的高斯定律的积分形式，利用矢量恒等式不难推出其微分形式为

第30页/共50页

介质中微分形式的高斯定律表明，某点电位移的散度等于该点自由电荷的体密度。

电位移也可用一系列曲线表示。曲线上某点的切线方向等于该点电位移的方向，这些曲线称为电位移线。若规定电位移线组成的相邻的通量管中电位移的通量相等，那么电位移线的疏密程度即可表示电位移的大小。值得注意的是，电位移线起始于正的自由电荷，而终止于负的自由电荷，与束缚电荷无关。已知各向同性介质的极化强度，求得令，式中称为介质的介电常数。已知极化率e

为正实数，因此，一切介质的介电常数均大于真空的介电常数。则第31页/共50页

实际中经常使用介电常数的相对值，这种相对值称为相对介电常数，以r

表示，其定义为可见，任何介质的相对介电常数总是大于1。下表给出了几种介质的相对介电常数的近似值。介

质介

质空

气1.0石

英3.3油2.3云

母6.0纸1.3~4.0陶

瓷5.3~6.5有机玻璃2.6~3.5纯

水81石

腊2.1树

脂3.3聚乙烯2.3聚苯乙烯2.6rr第32页/共50页平板电容器中有一块介质,画出D、E

和P线分布。D、E与P

三者之间的关系D线E线P线D

线由正的自由电荷出发，终止于负的自由电荷；E

线由正电荷出发，终止于负电荷；P

线由负的极化电荷出发，终止于正的极化电荷。第33页/共50页

对于均匀介质，由于介电常数与坐标无关，因此获得此外，对于均匀介质，前述电场强度及电位与自由电荷的关系式仍然成立，只须将其中真空介电常数换为介质的介电常数即可。例已知同轴线的内导体半径为a，外导体的内半径为b，内外导体之间填充介质的介电常数为。试求单位长度内外导体之间的电场强度。ab解：由于电场强度一定垂直于导体表面，因此，同轴线中电场强度方向一定沿径向方向。又因结构对称，可以应用高斯定律。

设内导体单位长度内的电量为q，围绕内导体作一个圆柱面作为高斯面S第34页/共50页

为了讨论边界上某点电场强度的切向分量的变化规律，围绕该点且紧贴边界作一个有向矩形闭合曲线，其长度为l，高度为h，则电场强度沿该矩形曲线的环量为为了求出边界上的场量关系，必须令h0，则线积分2.两种介质的边界条件

E2E11324lh

1

2et

由于媒质的特性不同，引起场量在两种媒质的交界面上发生突变，这种变化规律称为静电场的边界条件。为了方便起见，通常分别讨论边界上场量的切向分量和法向分量的变化规律。第35页/共50页

为了求出边界上某点的场量关系，必须令l

足够短，以致于在l内可以认为场量是均匀的，则上述环量为式中E1t

和E2t

分别表示介质①和②中电场强度与边界平行的切向分量。已知静电场中电场强度的环量处处为零，因此由上式得此式表明，在两种介质形成的边界上，两侧的电场强度的切向分量相等，或者说，电场强度的切向分量是连续的。

对于各向同性的线性介质，得此式表明，在两种各向同性的线性介质形成的边界上，电位移的切向分量是不连续的。

第36页/共50页hS

为了讨论电位移的法向分量变化规律，在边界上围绕某点作一个圆柱面，其高度为h，端面为S。那么根据介质中的高斯定律，得知电位移通过该圆柱面的通量等于圆柱面包围的自由电荷，即D2D1令h0

，则通过侧面的通量为零，又考虑到S

必须足够小，则上述通量应为式中D1t

及D2t

分别代表对应介质中电位移与边界垂直的法线分量。边界法线的方向en

规定为由介质①指向介质②。

1

2en第37页/共50页求得式中s

为边界上存在的表面自由电荷的面密度。考虑到在两种介质形成的边界上通常不可能存在表面自由电荷，因此此式表明，在两种介质边界上电位移的法向分量相等，或者说，电位移的法向分量是连续的。

对于各向同性的线性介质，得此式表明，在两种各向同性的线性介质形成的边界上，电场强度的法向分量不连续的。

还可导出边界上束缚电荷与电场强度法向分量的关系为动画演示第38页/共50页4.介质与导体的边界条件

静电平衡：当孤立导体放入静电场中以后，导体中自由电子发生运动，电荷重新分布。由于自由电子逆电场方向反向移动，因此重新分布的电荷产生的二次电场与原电场方向相反，使导体中的合成电场逐渐削弱，一直到导体中的合成电场消失为零，自由电子的运动方才停止，因而电荷分布不再改变，这种状态称为静电平衡。

由此可见，导体中不可能存在静电场，导体内部不可能存在自由电荷的体分布。所以，当导体处于静电平衡时，自由电荷只能分布在导体的表面上。因为导体中不可能存在静电场，因此导体中的电位梯度为零，这就意味着导体中电位不随空间变化。所以，处于静电平衡状态的导体是一个等位体，导体表面是一个等位面。第39页/共50页

既然导体中的电场强度为零，导体表面的外侧不可能存在电场强度的切向分量。换言之，电场强度必须垂直于导体的表面，即介质E,D导体en

导体表面存在的表面自由电荷面密度为或写为式中为导体周围介质的介电常数。

已知导体表面是一个等位面，因，求得表面电位与电荷的关系为

考虑到导体中不存在静电场，因而极化强度为零。求得分界面束缚电荷面密度为第40页/共50页

静电屏蔽：当封闭的导体空腔中没有自由电荷时，即使腔外存在电荷，腔中也不可能存在静电场。这就意味着封闭的导体腔可以屏蔽外部静电场，这种效应称为静电屏蔽。

当然，总电通为零可能是由于闭合面内部没有电荷，因而没有场；或者因为正负电荷相等，但是这是不可能的。因为电荷只可能分布在导体的表面上，若以正负电荷之间任一根电场线和腔壁中任一根曲线组成一条闭合曲线，由于腔壁中没有电场，沿该条闭合曲线的电场强度的环量不可能为零，这就违背了静电场的基本特性。此外，显然若腔体接地，位于腔中的电荷也不可能对外产生静电场。

由于导体内部没有静电场，因此若沿腔壁内部作一个闭合曲面，通过其表面的电通一定为零。第41页/共50页

例

已知半径为r1

的导体球携带的正电量为q，该导体球被内半径为r2

的导体球壳所包围，球与球壳之间填充介质，其介电常数为1，球壳的外半径为r3

，球壳的外表面敷有一层介质，该层介质的外半径为r4

，介电常数为2

，外部区域为真空，如左下图示。试求：①各区域中的电场强度；②各个表面上的自由电荷和束缚电荷。解：

由于结构为球对称，场也是球对称的，应用高斯定理求解十分方便。取球面作为高斯面，由于电场必须垂直于导体表面，因而也垂直于高斯面。r1r2r3r4

0

2

1第42页/共50页

在r<r1及r2<r<r3

区域中，因导体中不可能存静电场，所以E=0。

在r1<r<r2

区域中，得r1r2r3r4