云南省曲靖市宣威市得禄乡第二中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试卷含解析

云南省曲靖市宣威市得禄乡第二中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一点D，则使△ABD为钝角三角形的概率为（A）（B）（C）（D）参考答案：B2.设函数，其图象在点处的切线与直线垂直，则直线与坐标轴围成的三角形的面积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B对原函数求导得，当时在点处的切线的斜率，且与直线垂直，所以解得，所以解得，所以，切点为，所以直线的方程为：即，与两坐标轴的交点分别为，所求三角形的面积为，答案为B．考点：1.曲线的切线方程；2.两条直线互相垂直；3.三角形的面积公式．3.设全集＜，集合，则等于A.

B.

C.

D.参考答案：D略4.若p是真命题，q是假命题，则A．是真命题

B．是假命题C．是真命题 D．是真命题参考答案：D因为是真命题，是假命题，所以是假命题，选项A错误，是真命题，选项B错误，是假命题，选项C错误，是真命题，选项D正确，故选D.

5.若半径为R的球与正三棱柱的各个面都相切，则球与正三棱柱的体积比为（

）

A．高考资源网

B．

C．

D．参考答案：B略6.下列命题错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γD．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β参考答案：A【考点】平面与平面之间的位置关系．【分析】命题A，B可以通过作图说明；命题C可以直接进行证明；命题D可以运用反证法的思维方式说明是正确的．【解答】解：A、如图，平面α⊥平面β，α∩β=l，l?α，l不垂直于平面β，所以不正确；B、如A中的图，平面α⊥平面β，α∩β=l，a?α，若a∥l，则a∥β，所以正确；C、如图，设α∩γ=a，β∩γ=b，在γ内直线a、b外任取一点O，作OA⊥a，交点为A，因为平面α⊥平面γ，所以OA⊥α，所以OA⊥l，作OB⊥b，交点为B，因为平面β⊥平面γ，所以OB⊥β，所以OB⊥l，又OA∩OB=O，所以l⊥γ．所以正确．D、若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定，则有平面α垂直于平面β，与平面α不垂直于平面β矛盾，所以，如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β，正确；故选：A．7.已知函数为偶函数，若曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：试题分析：因为是偶函数所以，即，解得所以所以设切点横坐标诶所以设所以，解得即故答案选考点：函数的奇偶性；导数的几何意义.8.设全集为R，集合，则A．[-2，2]

B．

C．

D．参考答案：C9.已知，，则为

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C10.设[x]表示不大于x的最大整数,则对任意实数x,y,有 (A)[－x]＝－[x] (B)[2x]＝2[x] (C)[x＋y]≤[x]＋[y] (D)[x－y]≤[x]－[y]参考答案：D取x=25,则[-x]=[-2.5]=-3,-[x]=-[2.5]=-2,所以A项错误；[2x]=[5]=[]=2[2.5]=4,所以B项错误；再取y=28，则[x+y]=[5.3]=5,[x]+[y]=[2.5]+[2.8]=2+2=4，所以C项错误.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.定义在R上的偶函数y＝f(x)，当x≥0时，y＝f(x)是单调递增的，f(1)·f(2)<0.则函数y＝f(x)的图象与x轴的交点个数是________．参考答案：2略12.已知锐角三角形ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若,则的取值范围是

．参考答案：13.在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且角A=60°，若，且5sinB=3sinC，则ABC的周长等于

。参考答案：略14.已知△ABC，点O满足=2，过点O的直线与线段AB及AC的延长线分别相交于点E，F，设=λ，=μ，则8λ+μ的最小值是_________．参考答案：15.设变量，y满足约束条件，则目标函数；z=2+y的最小值为

参考答案：答案：316.已知平面，，直线，，给出下列命题：①若，，，则；②若，，，则；③若，，，则；④若，，，则．其中是真命题的是____．（填写所有真命题的序号）．参考答案：③④对于①，若，，，则或，相交，∴该命题是假命题；对于②，若，，，则，可能平行、相交、异面，∴该命题是假命题；对于③④可以证明是真命题．故答案为③④．17.已知…，若均为正实数），类比以上等式，可推测a，t的值，t-a=

。参考答案：.29略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题13分）数列的各项均为正值，，对任意n∈N*，都成立．

（1）求数列，的通项公式；

（2）当k＞7且k∈N*时，证明：对任意n∈N*都有成立．参考答案：（1）由an+12?1＝4an(an+1)，

得（an+1+2an+1）（an+1-2an-1）=0，

数列{an}的各项为正值，an+1+2an+1＞0，

∴an+1=2an+1，

∴an+1+1=2（an+1），

∵a1+1=2≠0，

∴数列{an+1}为等比数列．

∴an+1＝(a1+1)?2n?1＝2n，an＝2n?1，

即为数列{an}的通项公式．

∵bn=log2（an+1），

∴bn＝log2(2n?1+1)＝n．

………………6分

（2）求证的的问题即：当k＞7且k∈N*时，对任意方法一：令，则

………………13分方法二：方法三（利用定积分放缩同样给分。要作出大致图象并指出小矩形面积之和大于曲边梯形面积）

………………13分19.设抛物线的焦点为，经过点的直线交抛物线于、两点，且、两点坐标分别为，是抛物线的准线上的一点，是坐标原点．若直线、、的斜率分别记为：、、，（如图）

（1）若，求抛物线的方程．

（2）当时，求的值．

（3）如果取，

时，（文科考生做）判定和的值大小关系．并说明理由．

（理科考生做）判定和的值大小关系．并说明理由．通过你对以上问题的研究，请概括出在怎样的更一般的条件下，使得你研究的结果（即和的值大小关系）不变，并证明你的结论．

参考答案：解析：（1）设过抛物线的焦点的直线方程为

或（斜率不存在） ……1分则

得

…………2分当（斜率不存在）时，则又

……4分所求抛物线方程为

（2）[解]设

由已知直线、、的斜率分别记为：、、，得

且

…………6分

故当时

4

………………10分（文科）[解]（3）和的值相等

…………12分如果取，

时，则由（2）问得

即

，又由（2）问得设1）若轴，则

……13分

2）若＞0

则

同理可得而

则

，易知都是锐角

…………16分3）若＜0，类似的也可证明.综上所述

即和的值相等

…………18分（理科）[解]（3）和的值相等

…………10分如果取，

时，则由（2）问得

即

，又由（2）问得设1）若轴，则

………………11分2）若＞0

则

同理可得而

即，易知都是锐角

…………12分3）若＜0，类似的也可证明.综上所述

即和的值相等

…………13分[解一]（3）概括出的条件：（即

）或，等

…………14分

即

，又由（2）问得设1）若轴，则

………………15分2）若＞0

则

同理可得而

，则；易知都是锐角

…………17分3）若＜0，类似的也可证明.综上所述

即和的值相等……18分[解二]（略）（其它证法可参考上述评分标准给分）20.(本小题满分16分)如图，已知椭圆：的离心率为，以椭圆的左顶点为圆心作圆：，设圆与椭圆交于点与点．（1）求椭圆的方程；（2）求的最小值，并求此时圆的方程；（3）设点是椭圆上异于,的任意一点，且直线分别与轴交于点，为坐标原点，求证：为定值．参考答案：（1）依题意，得，，；故椭圆的方程为．

………………3分（2）点与点关于轴对称，设，，不妨设．由于点在椭圆上，所以．

（*）

由已知，则，，．

………………7分由于，故当时，取得最小值为．由（*）式，，故，又点在圆上，代入圆的方程得到．

故圆的方程为：

………………9分(3)方法一：设，则直线的方程为：，令，得，

………………11分同理：，

故

（**）

………………13分又点与点在椭圆上，故，，代入（**）式，得：

．所以为定值．

………………16分解析：（1）依题意，得，，；故椭圆的方程为．

………………3分（2）点与点关于轴对称，设，，不妨设．由于点在椭圆上，所以．

（*）

由已知，则，，．

………………7分由于，故当时，取得最小值为．由（*）式，，故，又点在圆上，代入圆的方程得到．

故圆的方程为：

………………9分(3)方法一：设，则直线的方程为：，令，得，

………………11分同理：，

故

（**）

………………13分又点与点在椭圆上，故，，代入（**）式，得：

．所以为定值．

………………16分21.将正整数（）任意排成行列的数表.对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数（）的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.（Ⅰ）当时，试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”；（Ⅱ）若表示某个行列数表中第行第列的数（，），且满足请分别写出时数表的“特征值”，并由此归纳此类数表的“特征值”（不必证明）；（Ⅲ）对于由正整数排成的行列的任意数表，若某行（或列）中，存在两个数属于集合，记其“特征值”为，求证：参考答案：证明：（Ⅰ）显然，交换任何两行或两列，特征值不变.可设在第一行第一列，考虑与同行或同列的两个数只有三种可能，或或.得到数表的不同特征值是或

……………3分714582369

（Ⅱ）当时，数表为

此时，数表的“特征值”为

……………………4分13159101426711153481216

当时,数表为

此时，数表的“特征值”为.

………5分21161116172227121318233891419244510152025

当时，数表为

此时，数表的“特征值”为.

…………6分猜想“特征值”为.

…………………7分（Ⅲ）设（）为该行（或列）中最大的两个数，则，因为所以，从而…………13分

略22.△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2A=3cos（B+C）+1．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若cosBcosC=﹣，且△ABC的面积为2，求a．参考答案：【考点】正弦