【高中数学】高中数学导数类压轴题

值中数学】高中数学〃导数”类压轴题方法一等价变刑，转化构造方法导读研究函数的性质是高考压神题的核心思想，但直接枸造或者篇单拆分函数依然复杂，这时候需要依核对函效的等价变形，通过恒等变擢发现简单函费结构再进行构造研究，会起到事半功倍的效果;方法导引例I已知函敷.门幻=ueT(«ER),,y(x)=?+111求函数g⑴的楣伯：2)当以济口'1，求葩：f㈤二.(x)，解析:⑴山口3=竽+1.得43二与篝定算域为地十句.令g'(H)=O.解蹲X=W.弼表如卜：X(。⑷X(。⑷g'㈤+式心单豳递增e(fi.+的0-极大值单招递减结合我格可知困数贝公的极大侑为双白)=3+1+尢械小值-⑵要证明『㈤二鼠办即证现二3+3而定义域为(0,十闻，所鼠！I要口〔口比11hix4x20.义因为所以ttHE,一Irx-，之，必丫一山工―工,r jj所原只混ii「明LxP-(nx-xD.争F(x)— -Jnx-Xr!il:]f'(l)=O+1)(铲T—J记h(x)="T一5则Mx)在(0.+8)单调递增且h(l)=0.所以当ke(0,1)时,h(x)<0,从而FCOvo：当x€(l,+8)时，k(x)>0.从而F(x)>0.即/㈤在(0・。/调递减.在(1,+8)单调递增,F(x)F(l)=0.所以当a九f(x)>g(x).例2已知小飞/0,函数/a)="L«r.其中常数e=2)1828.(1)求/(工)的最小值；(2)当aNl时，求证:对任意—0,都Cx)N2lnx+|一加.解析：⑴因为/(x)=e"E-以•则/'(x)="e"T_1),/(工)=提个>0故r(x)为霏上的增函数,令rw=o.W^x=-u故Mx《yo,£|j'(x)<0,/(X)单调递减：当xG(：+<e)J'(x)>0./(x)单调递增，则/(/=/[£|=0故函数/(工)的最小值为0.(2)证明：要证明#(222111—1・以2等价于证明x/E>2/nv+l由(I)可知：d1"-以20・即小,以因为x>0,故x/112ax2故等价于证明⑪222/小+]即ar?-2lnx-1>0,xg(0,+cc)令g(*)=a4-2/nx-1,叫证8(幻?0/€(0,+00)恒成立.令g'（*）=o.解相工=亍故当海邸（工｝单调速城；当X 双打单调递脸拉虱”）蔓爵［十=2hJtJ=irtct有因对门之1，放屣之0曲g（龙）兰加〃兰。即证.即对仟意F。，都得43三维上+1N.方法二:构造常见典型函数方法导读常见典型函数主要包括日业，刈5bix/x:营那吃等，通过变形发现简单函数结构再进行构造研究，会起到事半功倍的效果.方法导引⑼3口就函数fU）=竺:（口是R）在工=2处的地桀斜率比一U§求实鸵ri的值，并时论函融J㈤的单调性:;2）若的）=印吨+f（通涵明i >1.思造分析：|1｝先对函数f㈤求寻，由函旨正：.x=Z处的切或斜率超即可求出口的“避而可得函数的单避性：$（幻>1.即让小取A；一三的造函数h（r）=x\nx.m（T）=:一%用导致的方M求函数显幻的最小情和函匏工（幻的量.注晅-即可磔出皓论【详解】⑴/㈤竽=*一1与L由切线斜率出=42）=碇，1=皋解得«-2.时./'(x)<O,/(x)单调递求.所以7•&)的单询递增区间为(O.c*”),单调递战区间为(c'1+8)(2)由g(.v)>/(.V)得e'-12"''十"X也就是aWxe'-X-Inx•令》(*)=xe'-x-lnxXiJ/r(A)=c+.rc'-l---(.r+IXcA--)f由x>0知，x+l>0.X X设«x)=b-L,Ux)=c、+」>o, 在(0,+8)平调递增.X Xs又/(；)=正-2<0.«l)=e-1>0,所以存在/W(』・D使得/(怎)=0,“1即C”=一.4当XG(0/o)时,〃(v)vO.以幻在(0,而)单调递端当xw(%,xo)时，h\x)>09%(外在(w，+x)单调递增；所以力(幻3=力(X.)=X"e'一・o-In%-1-儿+%=L所以。的取值范国足(-8,1].点评:利用甘数研究不等大恒成立或存在型问题,首先要构造函数,利用号数研究函数的单调性.求出最值,进而得出相应的含卷不等式.从而求出参数的取值范围：也可分离变量.构造函数，直接把问JK转化为函数的最值问题.恒成立问屣的处理方法:I)根据卷变分窝.也化为不含参数的函数的减值问题：(2)若/(x)>0就可讨论参软不同取俏.F的函数的单调性和极值以及最伯.最终转化为>。•若/(X)<0恒成立,就转化为/(刈⑪乂<0：⑶若/(x)>g。)恒成立,可转化为/(x)min>ga」方法三局部构造方法导读整体与局部是认识论重要的哲学视角，在研究函数问藤要学会从不同视角观察函数结构，如果从整体观察函数结构感觉束手无策或复杂时，可以从观察函数的局部结构入手,可能会柳暗花明。方法导引例5.已知函数/'(x)=-alnx-J+at，ueR(1)当avO时，讨论函数/(X)的单调性(2)当。=1时，F(x)=/(x)+I.v+- 对任意X€(o,+<c),都有(2)当。=1时，F(x)=/(x)+立，求实数〃的取伍危用.导引：(1)先求得定义域及函数的导函较.求得函数极值点,再由。＜0.可判断导函我的符号.即可判断函数的单调区间.«2)招“=1代入/(x),再代入网”可得解析式.由不等式”(x)型恒成立，分离参救后构造函数g(x)="-也求其导函数可得屋(“=巨乙［”.再构造函数・X AA(a)=//+In.l求得/；(a)=(x2+2x)•/+：.可判断出h(x)TT唯•的雪点七，即g(x)代工=%处取得最小值,进而结合不等式即可求得6的取值他国.解析(I)定义域为(0,+8)由趣知/(》)=一〃加工一幺+,“则仆)一—_+a=(f(l).XX JT令/'(x)=0解得x=l■:当"<0、0¥—/<0.・•・当x>l./'(x)<o;当0vxvL/'(x)>0：二函数/(x)在(0,1)单调递增，在(1,加>)单调递减(2)将“=1代入/(x),再代入户(x)=/(.r)+(x+g卜一桁中可得

ill产(x)Nl恒成立可得M”一加十(1-6)x21恒成立,即〃-14/恒成立，XX次8(*)=/-叱/.则g,(加立孝竺.XX A/?(a-)=.vV+ln.rJ/(a-)=(x2+2x)・e”+L二当x>0忖,/(x)>0..•/(X)在(O,y)上单调递增且有Ml)=e>O/(g)=乎一ln2<0,・・・函数，7(X)有唯•的零点小，且JvqVl,当工w(0,%).0(*)<0.g'(x)<0,a(x)甲.i同建成当“w(%,+00),h(x)>0,g'(x)>0.g(x)单调递增,・・・g(*J是g(x)在定义城内的最小值•・〃(.0)二()得与e、=一'!^,：<与<1,(*)/2令A(r)=xF.qvxvl.方程⑴等价为A(x)=A(-lnx).；<x<M"),xw(0,+8)单调递塔・•・力(工)=攵(-1111)等价为4=一11】儿1<.¥<1./"(x)=x+lnx.；〈工/"(x)=x+lnx.；〈工v1.易知川(x)单调递增m—=--ln2<0,m(l)=1>0.、2J2・・・/是〃，(x)的唯,零点,*口二g（M的最小值gf而）匚/j达与-:6一1，1惘成.主,修的荒困是（-**2］例也已知函数/（.V）==In1—M*且函数户q在工hI处取到极悔CD求曲线『二，（功在。―⑴）处的切线方程:（2）若函数4幻=（2）若函数4幻=我一段yJ\x)+x（0<ttr<］）-且函数如R有3个极值点对.0,-Y+¥'$(&</<$)»证明：In';'>--.导引：（1）■原南效求导函数,由6⑴=。求解呐则曲税尸=/30在比/口））处的切线方程可求二（3）求出的微名（力的解折式,由,莒（幻（3）求出的微名（力的解折式,由,莒（幻(A■一Ml21MM4 -1'、、K1高-/据已切用'｛］）=0仃三个帏2n工+^-1=。存在两个个同于的的零卡，地网丈｝=2】11工+凸一1一乐出川状X X值范困I轴占加，）的函教特征「可判断勺=，*弓「'是函数用工）的两个零点，构造函数V+¥］巩重）=2父忻，一心伊七）二/（nJ『研充/（对的单面性，把证明品.：J>一二牯化为k2> 2证明伊（天）>国证明伊（天）>国（1:』）印可.解析，UJ/（jr）=/jlnjf-j，｛刈rg—ltX二函数代划在K=］处取到极值.二/。）三口一1=0.即口=I.数值的正负好去判断原函数的单调性.方法导引：题型一：利用二次求？求函敢的极值或参数的的园例7.已知关丁X的不等式2lnx+2(l-w).v4.2<m.v?在(0.8)上恒或、》.，财槃数力的用小值为(TOC\o"1-5"\h\zA.I B.2 C.3 D.4, 、 ， lnx+.r+1解析：2ln.v+2(l-/n)x+2om2‘，. 2r+klnt+x+1 (x+l)(— —Inx)构造/(x)=———— 求寻/(x)=-//2—•令/(x)=o•即Qx 惇、»--.r-lnx=0.2内令4(k)=」x-lnx,g(不)=一！一1在(0,+8),g(x)<。,g(x)4(0,+8)匕是单科2 2x递减.设*1.-1z-ln/=0 /(x)&(0,t)递诚；任(，,+8)递增，所以/(Mm=/a)」；；?+l工g4)>0,g(1)<0/Jill|e(l,2)•?l2+tt, 2 ， (2八t所以m的最大(ft此2.【泞奚】氏JS型二，利用二次求导证明不等式例&已知南以/(.t)=(x+l)lnx-x+I.<1) 若可/(幻0/+。丫+1,求〃的取僮抱困：(2) 狂叫(x-l)/(x)>0.方法］常规睇法：(I)南数的比义域为<o.♦"f\x)=ln.v+—.xxC(x)工k，+or+I= +10x,+ax+I,oa21nx-x=a2(皿》一、)…・令冢工)二111工一工则戈(1)=1一1.x以打工=g(D=-L当0<xvl时,g'(*)>O,g(x)以打工=g(D=-L当X>耐,g'(X)<O.g(K)递减,故所求G的范国型(2)由(l)m,Inx-K+I£0,则①0<x<I时.f(x)=xInx+(Inx-x+I)<0：②x21时，f(x)=lnx+(xlnx-x+I)=lnx-x(ln---+1)0XX综I,.可知.不等式成立.力法一,.次求二的巧妙运用:今尸(x)=(x-l)/(x),要证明F(x)NO,只需证F(x)mm>0.闲F(x)=f(x)+(x-l)/*(x) =(x+l)lnx-r+l+(x-l)(lnx+-)x=2Wn.”(x+l)+2.x显然当x=l时,P(x)=0.当0cx<I时，x+->2Jnx<0./7，(x)<0.A(x)(o,i，电域；x当x>l时.x+->2Jnx>0,k(好的符号仍不能划定.求一)柠数存，x(Ft(x)T=21nx+l+-!?>0.尸从仙/'。)在x>l时速此厂'(x)〉/7'⑴=0.F(x)az(ij/所以当工一I时.F(x)min=F(I)=O.«iF(x)>Oi^>Z,原不等式成匕甥型三，利用二次求导来函故的单圜性例9,函数/(3)=1一0一”.xI>d明：当x>T时.f(x)>——：X+III)设当x20时,/(.v)<—^―-求〃的取位近的.ar+l方法•・常规”法，(1>当x>-i时上当n.仅当丁之1+工x+l々g(*)=e'-x-L则g(r)=e*-1.当k>Olli,g3>O,g(t)在［0,8)是增函数：当彳4附，g0)SO.g(x)在(-8,0］是减函数，于是g(x)科=0处达到最小值，因而当xwR时,g(x)>g(O).B|Jer>l+x所以当x>-l时J(x)N」一.I+x山题设jCO,此M/(x)20.当a<01时，若x>-L则一三一<0,f(x)<-X-不成立：aav+1 ar+i当。?Oflj,令人(x)=axf(x)+f(x)-x,则f(x)<二一当且仅^h(x)<0.ar+i1［1h(.r)=af(x)+axf(x)+/(x)-1=af(x)-axf(x)+ar-/(x).(1)^0£a£J时，由(/)欣£(*+l)/(x).一N")« -w(工)+G(K+1)/(.r)-/(x),=(2r/-l)/(x)<0.皿工)住［0.x)是减函数.Mx)<ft(0)=0,即/•(》)M .ax+1(2)当时，由⑴53Lr>/(x),h{x}^af(x)axf(x)\av-/(x)Nqf(x)-axf(x)+af(x)-八x)=(2«-l-av)/(x),当0<工<即二1时，力(工)>0.所以方⑴>〃(0)=0.即/(M>x-.a at+1绦上，”的取值范围是似曰.方法:次求B的巧妙运用：(II)由壮设xN0./(x)W-^—,ar+l1 y?；a<0.刖Mk>一q•时，^-+1<0,f(x)< 不恒成立；a ar+1若〃之0,则以+1>O,，(x)£—^—o(at+1)(l-e')-x0O.av+1令g(x)=3+1)(1-(?')-x,则g(0)=0，g"(x)=e'(ar+］—a)+°—Lg'。)=0.c-(2a-1-at).；aN0.'10tr—R-j.2t/—1^0,从而［£（幻］皆0（仅当h=Qr=:时取H="1.:* g1（工）在J0,e）内递减，£（何〈耳,（。）=。 ， 二现於在内递诫,g㈤Mg⑼=0.即原不可式成匚•斤〃：＞；时上门一1＞o,令＞r-。得jc=胆二L从而当o＜j＜型口时，怏工外1'〉ajfcit父⑴在位白^的递增,FO酣。）=o.A甘仁）在电处_3内遢增,虱总＞及他）一0,/（.T）＜♦不归成立.a tir+1琮Injfti.OWcrM—.方法五，构造一元函敝方法导读此发向腰一般是给出言行M,三,/（$）,/（4）的不等式,若能通过变股，指不等式两边转化为同源函数，可利用函数加调性定义构造单调函甑再利用导鼬求解.方法导引例对一口知阐数/值）E（□,+ ＞/时，不等式等一管式。恒成仁则％数＜r的取质但国为A-（-«,e］B.f-E由C.｛一曲/门-（一,金］［答案】口【分折】本题可以K通过构造画故g「）一切（灯野山。㈤在建三城内是一个增的虬冉鞭据搏函数性质推导出心）的导数大于0.得出口最后通过计照的最小值得出&的取情范围.【解析】因为以力一丝）式。X.Xa)-»Jn-上单调递减•[inZ.+oo]单.调速增，・・・/(冷的极小值为a)2) 2/In-=2-21n-,无极大值，\a) a综上：当心0时./(k)无极值.当q>0时./(x)的极小值为/(injj=2-2ln无极大值:(2)当忖，/(x)—lnK+2.rNd-Inv.令g(x)=cTTnx-2,轨化证明g(x)>。•・・g'(x)=e*_」(x>0>gr(Ar)=^+-L>0,所以g'(x)在(0,+s)为增国数.因为g'(l)=e_]>0，g'(；=\/e-2<0所以配wg.l),使得以'(")=。-2=0,因此函数g(x)在(0.X。)上中,战函数，在(勺,包)上单增函数.-2=0,所以g(.t)Ng(x())="'_卜1.%_2=‘+/―222•・・戈丰I/.g(.v)>0囚此/(x)-lnx+2x>2.2r-l例13.己知/(x)=a(x-lnx)+~.；-hwR.(I)讨论/(幻的小调性：(II)当“=1时.证明/(工)>/'")+；对于任意的工41,2]成立.解析11)求导数/,(*)=。(1一！)一芸工•VA(.v—l)(av2-2)=।x当〃二0时，A-e(o,1).y(x)>0. 单调递增.xW(l,+8)./・(x)vo,/(x)单调递减：当“。时，"1)『)尸。-加+0X X'(1) 当OVaV2时,「>1,xW(O,1)或x£(，,+8),f>(x)>0,/(x)单调递增，x£(1，A)./口)<0,/(x)单调递减；(2)为"=2时，J|=l,丫£(0,+8),八幻2。，/。)单调递增.(3)当。>2时,o<J|<Lxe(o,0或xW(lg),/,(、)>0,/(%)单调<1).f(x)<0.f(x)单调圮成2x-I(II)当a=I时,f(.r)=x—Inx+——•xTOC\o"1-5"\h\z(x-\)(x2-2) I2 2fW= 3 =1 F+—X XXX, , 2x-\,1 2 2•/(x)-/(x)=x-lnA+- -(H —+—)•X XXX3 1 2=x-In.r-1+―+- t,xe[1.2]x k /3 1 2令g(K)=x-kix,h(x)=-]+-+- \..re[1,2]I .1于是/(X)—fG)=g(*+MM，g(x)=i--=-o.g(x)的最小值为g(i)=l：-V又h'(x)=又h'(x)=3 2 6_-3.r-2x+6设。(%)=-3/—2x+6,xw[1.2],因为。(1)=1,0(2)=-10,所以必有修£|1.2卜使得。(x0)=0.11ume(x)>o.〃(x)单调递增,与〈XV2时，0(x)<O,其*)单阚递减:.又〃。)=1,A(2)=1.所以方(工)的最小位为版2)=1.所以fix)-f(x)=g(A-)+h(x)>g(l)+//(2)=l+|=|.乙4即/(x)>八X)+［对r•任意的x引1,2］成立.方法七：函数分拆，独立双变量，换元构造一元函数［方法导读］比较复杂函数，一般是给出两个独立变置.通过代数变形,构造两个函数.再利用导数知识求解.方法导引例14、xj满足ln(4x+3y-6)-小尸2A3*+2y-6.则x+y的值为()A.2 B.1 C.0 D・-I【答案】A分析：设m=4x+3y-6,n=x+y-2.行|nm--Nm-n-2.变形为Inin-inNcn- >0),令f(m)=lnm-m.h(n)=en-n-2.求导求最值得f(m)z=h(n%,结合取等条件求出x.y即可解析：设m=4x+3y-6,n=x+y-2，则m-n=3x+2y-419Inm-e">mnJJnm-m-n—>1(111)=ImnmJ'((m) y,：.U<nrlF(m|>0^in>J,/1(mh。、则l(m)在(04)？出调速是(L+m)单调递减，—L二 1令h,nj=七"一n-2(廿｝=c<-m0«归'(川〉G；"u0/'(力<0h则h(ni(-JchO)单调速蹑(O,y)单调递增.•』(H/=h(0)=-l-\h(o).-1由题苴「（m）E"n）二m=i,n=O-j,；、打jx=I。=I.故乂y2故选A.的L5若存在正定数叫使得关于x的方程工+a（3x+3m-4*，）|1n13x1+■3m）-ln（2x）］=0■R两个不等的处根（找中e晶自然行数的底数）.虹突数口的取砧市用足■■）*"他口）"（M遍is） 日1小’.吟匚（-8口川盛：8） D.（5号谴）1答案】D分折：由周，无时H讨论，曷用QX口,再用^变力离时隙式进行变将一再及兀转化成新的泄放.利用新函购的单调性.最情求殍ft的范围即可m\当口二o时.方程乂有一个睥.小合题窟：工o原方程等价于：=［»与叫In华包有两解2口I2j）2xifx+阳］1 I >', 1'''>j=- >-加一三（2”.加，，令“j）={2@t）Ur>-，则2H 2 2a I 2）r,l=生_加_1.由/'«）=（）用e=%且r㈤在值一句上递减.「•当时.（卜卜必当:时/⑴>0--/'（d茯I广・-Z）上递短.在仁局）递唱.历程-L=（左T）IlW在信十8用两个不等的实帆例17已知函数/(幻=竺?吧9meR9x>I.x(I)讨论/(x)的单调区间；2)若〃工)<心恒成立.求〃7的取值范因.【答案】(I)见解析：(2〉"亚；]一〃？一Iny分析，(D求出导由数/''(')= ；―对〃7分类讨论得出/'(工)止负.从而得/(MX的单调区间：«2)不等式为111¥〈〃“/一1),x>1恒成立，然后构造函数g(x)=1HA-l),x>1.问也转化为#3(不)<0・利用g(M的导函数求得豉大值.注意对〃7分类讨论,再解不等式可得.详解：(I) ,X>l.t21-加40时，即”?N1时,l—m—lnvVO在口.+8)1.恒成立，所以/(N)的班调减区间是[[,+8)，无单调增区间.当1一切>0时，即加〈I时,ill/,(x)>O^xe(Le,由/'(x)vO,得，+8),所以/(村的单间或区间是(《i，+8),单调增区间是(|.广”[TOC\o"1-5"\h\z(2)由跑意，1他<加(./-1),x>1恒成立，g(.r)=lnx-/n(x2-l).x>I, (x)<0，/\।, 1-2心二一g(x)=-2mx= 9x>Ix x①加WOH寸，g'(x)>0(x>l),g(M在(I,p)递增.』>l,g(x)>g(l)=0,舍我②〃后；时，g'(x)<0(x>l),g(x)在(1,长功递减・・.x>I,&(<)<8(1)=0,成立③0<刖<；时，g(x)=o(x>l),x=・•・x'l，旧b'(x)>O，g(x)递增，g(x)>g⑴=0舍去综匕/n>i.臣暗：<|)木题主要考任导数求两数的中,调性、显值.考包导数证明不等式.意在考仓学生对这些知识的竽握能力和分析推理能力传化能力.(2)解答本趋的难点在J第2问中骁构造新函数然后求困数的最大伯,体现的主要是转化的思想.例18.函数/(x)=.v-uln.v(4/G/<).(I)求函数/?(*)=/")+上2的单调区闻•A(2)若g(x)=-LH在［1，4(£=2.71828・・・)上存在一点工,使得〃/)必(/)成立,求〃的取值范围.【答案】。)当〃>一1时.〃(K)在［0,。+1)上单调递减，在(。+1,+8)上单调通增，当或a<-2.“W-1时，的(0.+8)上单调递增.(2)。2或a<-2.试版分析：(1)先求函数字数,并因式分解(―1)［二(1辿］.安装导函数是否变号进行犬分类讨论：当4f-l时.导函数不变号，在定义区间上单调递用；当时，导函数由结合C》讨论〃(x)单结合C》讨论〃(x)单•X调性，确定对应最小值•解出对应。的取值范lit试胞解析：«S：<1)/;(x)=x-dav+—,定义域为(0,+oc),Xx2-ax-(\+a)_(x+l)[x-(l+a)]

2 — 2①当。+1>0,即a>-l时,令介'(工)>0，Vx>0.：.x>\^a.令人'(x)v0,Vx>0.二0<x<1+a：②当a+1W0,即aW-I时."(x)>0恒成立，综I，当〃>一1时，力(工)在(O,a+l)上单调递遍，在(a+l,+«)I5调递增,当〃£-1时,4(x)的(O,《c)上单调递利(2》由题意可知.A口・目上存4一点/，使用/(/)4g(xJ成立.即在［1,«］上存在一点•%,使得〃(％)WO,即函数乂X)=.丫一〃瓜丫+史在［Le］上的最小值［〃(》)］,£0.A由(1)知,①当a+lNe・即aNe—l时.人(耳住［1,4上单调递减•.'.［方(x)］=力(c)=e+।+"-ez<0..*.ci>。―+!,②“储+141,即〃40时，"(可在［"］上单调通用，////(.V)］f=/;(1)=1+l+a<0,•"•a4"2：③当1<a+］<e.即0va<d—1时.，［力(1)］皿=力(1+。)=2+a-aln(l+a)w0.:0<In(1+a)<1♦,0valn(1+a)va.l.力(1+a)>2.此时不存在/使力(与)40成立.练上可得。的取值范惘是或a£-2.e-1点睛：利用导数研光小等式恒成立或存在型问题，仃先以构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出晟值,进而行出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范困：也可分离变量,构造函数，自接把问题转化为函数的最值问邈.方法九：换元构造函数［方法导读］比较复杂函数，一玻是给出两个独立变量.通过代数变形.构造两个函数,再利用导数知识求解方法导引与函数零点小三奇美的双变量I句题.一般是根据知三是方程〃x）=。的两个限确定上"a的关系一再通过消元转化为只含有工।我.士的关系式,而构造函数解题，有时也可以杷所结条件转化为孙联的齐次式，然后转化为关于厘的函热.有时也.可转化为美于』匕的函瓦若函数中刀］含有密数一可考虑把多数消去.它转化为俄参数为自变品的雷触例19.设日eR屈数/㈤=加工一心，⑴讨论f㈤的单调性:（2）若"划有两个相异军点孙斗，求证In』+In七＞2,I解折】由题苣窗外不上（竺JTC^+W）,当婚口时，/丫工＞＞。朋/㈤在这义域上单增,当"＞。.则函数在（（!-）上单.增用J,+加上单减.a a（力由已知河Jn』一"项=。,加工一a*=U,Inr.+lt\.x1InxIn m114MllM、所以。=一b -=—! 7期以1$+加#,＞2等价于」一Mn，券2和xL+工二用「三 ' x1'七上--In^-＞2.玉-1xi与设工＞%.号，=:1式.=1［!."；；「的一一L=U二工＞0,所以£（/）＞£（］）=但即侪『〉生二□/a+iy比+u r+i印是*1口，＞2,所以原理得证，例ZQ.已知函效用0=所工一通（将AR讶为常数，若函敷上】为网‘个等点#if&［工］舐），求证：rix：＞e-.［ilk明1不如殳"华。详解:(I)awR,函数/(x)二/十2-(4-a)1,nr定义域：{>>0}.,、个..、12x2+2ax+(4-a)..f(x)=2x+2/+(4-“)一= ,x x函数/(外有两个不同的极值点凡..q.对J尸仕)中的2-+2m+(4-a)应满足①②③三个条件：・・・均=-3>0・①，△=4a2-4x2x(4-a)>0.②4-。>0，③山①②③可得a的取值范围：…、czj、l2/+2以+(4—。)TOC\o"1-5"\h\z(2)证明：••・r(x)=21+2。+(4-。)一= ; ,x x得：再♦X[=-a,x}.%= ,4a/«)+/(.0)=(M+xf-2x{x2+2a(・0+电)+(4-")1%与=-a2+a-4+(4-a)In——,乙4—q Q令f=-y->4,则/(xJ+/(&)=2〃，”-4厂+141-16,将其令为姐)即:的)=〃M)，/UJ・则有:他)=2山-8/+16.犷⑺=2-8，:/H/)=--8<0, =2加-&+16在定义域是单调递藏的函数，f I：.h\t)</r(4)<0.・,・帕)在定义域也是单调递减的函数•・•・厢)〈力(4)=16加2-24.即：/区）+/但）＜闷〃2-24得证.【点睛】本题芍存导致9函数的极侑,本题的关健在于松据极侑点「二次方程根据系数的关系.结合I；送定理代人将所求代数式转化为有关参数的函数,借助导致来证明，¥百分析问题以及运算求解能力，属T-难题.例22.已知函数/（X）=4x-aInx-：』-2,其中〃为实数.乙（1）求函数y=/（x）的单调区间：（2）若函数p=/（N）右两个极色点苞,心，求证：〃阳）+/（・勺）〈6-1。。.分析:（I）计算导数,采用分类讨论的方法,t/>4,0<“<4与,根据导数的符号判定原函数的单调性，可得结果.（2）根据（I）的结论,可得/（%）+/（占）=4+a-alna,然后构造新函数.通过导致研究新成数的单调性，并计算最值，然后与0比较大小，可得结果.详解：（I）函数）=〃X）的定义域为（0,48），17；16-4“K0,即a>4时•则7(x)<0,此时/U)的单调减区间为(0,+8)：②I若16-4〃>0,0<〃<4时，令/(1)=0的两根为2土"工，xw(0,2-V4-a)=(2+ +8),f\x)<0工€(2-。4-！,2十。4-a)./(.r)>0所以/(D的单调减区间为(0,2-,4-4)，(2+x/4-a,+力)，单调减区间为(2-"a,2+j4-a).③当a£0时，.Ve(0.2+x/4-a),f(x)>0x€(2+j4-a,+oo)，f(x)<0此时/(.v)的单调增区间为(0,2+百K)，单渊减国间为(2+J4-U,+3).<2)当0va<4时，函数N=/(工)有两个极值点罚,与，且2+、2=4,x]x2=a./(芭)+/(xJ=4*-aIn为一Qxj-2+4x2-c?Inx2---2则/(司)+/(々)=4(*+X2)j1"中2)-；仁+引-4则/(为)+，(xj=l6-"lna-；(4’一2a)—4=4+a—alna要证/(*)+/(/)<6-Ina,只需证ahi。-。-lno+2>0.构造函数g(x)=xlnx—戈-lnx+2,则g(x)=1+In.v-1—=Inx—，X Xg(x)在(0.4)上单调速憎.又&(])二一]<0,. I .g(2)=In2-3>0,n.g(x)在定义域上.不间断,由零点存在定理可知：,I&Cv)=O在(1,2)上唯实根飞,且In5一.则g(x)在(0,与)上递减，(即4)上递增，所以g")的最小值为x(・%).因为月(・%)=%卜氏0-凡一姑为+2,g(x0)=1-x0——+2=3-与+一与 IX”当天€(1，2), 则g(*o)>O,所以g(x)Ng(xJ>0恒成立,所以alna-a-lna+2>0.所以/(为)+/(占)<6-m。，仔证.木城考查导致的综合应用，难点在丁分类讨论思想的应用，同时掌握构造函数，化繁为简,考验分析能力以及极强的逻辑推理能力,综合性较强，属难题.方法十：逻辑分析构造函数［方法导读］比较复杂函数，一通过逻辑分析构造函数,再利用导数知识求解方法导引.设工为自变量，典范围设为0，/(X)为函数：〃为参数，g(a)为大衣送式)<1)若/(#的值域为［九时］(DVxeO,g(〃)</(x)•则只需要g(</(x)ini=mWxwQ，x(x)</(x),则只需要X(c/)</(x)皿=m②VxwO,g(a)N/(".则只褥要gg)N/(x)a=MVx€D^(a)>/(a),则只需要g(a)>/(x)2=M③玉€D,g(a)<f(x),则只需要g(a)”(.x)w=M3r€D,g(a)</(x),则只需要*(〃)</(村山=M④3x€Dg(〃)2f(x),则只需要g(a)>/(x)m=m3reD,g(<2)>/(x).则只需要g(a)>/(x)M-m(2)若/("的值域为G〃,M)①VxwD,g(人)”()则只需要g(a)g洲VxwO,g(〃)</(A・)，则只需要g(a)金〃(注意与⑴中对应情况进行对比)②VxwDg(a)2/(.v),则只需变g(a)2M▼xw，g(a)>/(x)•则只露耍g(a)NM(注意与《1》中对应情i兄进行对比)③3xeD^(a)<f(x).则只褥耍x(a)vM(注卷。(I)中对应情况进行对比)3xeD^(a)<f(x).则只需要g(a)<M31④BxeD^（a）＞f（x）.则只需要g（〃）＞“（注意与⑴中对应情况进行对比）3xeD^（a）＞f（x）.则只需要2多变量恒成立问题:对干含两个以上字以（通常为3个）的恒成立不等式，先观察好哪些字再的范围已知（作为变量）,那个是所求的参数,然后通常行两种方式处理（1）选杼,个已知变雄•与所求参数放在超与另•变雄进行分离,则不含参数的伸可以耕出珏值（同时消去一元），进而多变电恒成立问题就转化为传统的恒成立问题了.（2）将参数与变量迸行分离，即不等号•侧只含有参数，另•侧是双变量的衣达式，然后拉所需求得双变雄去达式的最值即可.3最值法的特点："）构玷函数时往往将参数叮白变疥放在不等号的一侧.整体视为一个函数.其函数含参＜2）参数往往会出现在导曲数中,进而参数不同的取值会对原由数的单调性产生影响——可能经历分类讨论4理论基础：设/（"的定义域为。（1）若Uxe。，均fr/a）VC（其中C为常数），则/（壮心4。（2）打Uxe。，均有/（x）之C（共中C为常数），则3技巧与方法：（1）最也法解决恒成立问应会了敢所构造的函数中白卷数.进而不易分析函数的单调区间.所以在使用最依法之前可先做好以下准备工作：①观察函数/（*的零点是否便于猜出（注意边界点的位）②缩小参数与自变状的范惘：通过代入一些特殊值能否缩小所求参数的讨论范也《便于单调性分析）观察在定义域中是否包含一个恒成立的区间（即无论参数取何值，不等式均成立），缩小自变量的取伯范国（2）首先要明确导函数对原函数的作用：即导函数的符号决定原函数的单调性.如果所构造的函数,其导数结构比较复杂不易分析出单调性,则可把浦要判断符号的式子拿出来构造一个新圉数,再想办法解决其符号.32

（3）在考虑函数最值时.除了依季单调性，也可根据景值点的出处，即“只白边界点与极值点才是最值点的候选点”,所以有的讨论点就集中在“极值点”是否落在定义域内./'（'）/'（'）为/（幻的导函数.例23.已知函数 Inx（1）当。=。时，求函数的极值：（2）若土丁三亡上,/],使/（演）4/，（彳。+“〉1成立，求实数。的量小值.解析：（1）/（X）的定义域为（0J）U（l,+8）,、lnx-1当。=0时，/«）二大一"/，（In.rF令/'5)=0,得*=e，列衣得X(0,1)（1，。）e（c,田）/'(X)——0+/3极小值e/所以当戈二。时./（X）取得极小值，且极小值为C：无极大值.（2）若盯应式&/],使/（»）£/＜毛）+〃+1成电、lnx-1由(1)知./(x)=-，+t；_-T,(In疗令后所以/'（三）十的最大位为】，=/.则原式=--+/+二4令后所以/'（三）十的最大位为】，=/.则原式=--+/+二4x故存在〃