【讲义】二次函数与一次函数、一元二次方程、不等式组

二次函数与一次函数、反比例函数、一元二次方程、不等式组课程目标：灵活运用二次函数的性质解一元二次方程；熟练解决二次函数与与其它函数结合的有关问题。课程要求：完成讲义中的练习；完成课后配套练习。一、二次函数与一元二次方程、不等式(组)例1.函数y=mx2+X-2m(m是常数)的图像与x轴的交点个数为( )A.0个B.1个C.2个D.1个或2个例2.已知实数x,y满足x2+3x+y—3=0,则x+y的最大值为例3.设函数y=x2-(k+1)x-4(k+5)的图象如图所示，它与x轴交于A、■B两点，且线段OA与OB的长的比为1：4,则k=■例4.如图10-2,是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1,若其与x轴一交点为A(3,0),则由图象可知，不等式ax2+bx+cV0的解集是 .例5.已知P(—3,m)和@(1,m)是抛物线y=2x2+bx+1上的两点.(1)求b的值；(2)判断关于x的一元二次方程2x2+bx+1=0是否有实数根，若有,

求出它的实数根；若没有，请说明理由;(3)将抛物线y=2x2+bx+1的图象向上平移k(k是正整数)个单位，使平移后的图象与x轴无交点，求k的最小值.【当堂练】.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图10-1所示，则下列结论正确的是( )A.a>0 B.cV0C.b2—4acV0 D.a+b+c>0.如图所示，函数y=(k—2)x2—、万x+(k—5)的图像与x轴只有一个交.二次函数y=-x2+6x—9的图像与x轴的交点坐标为.=ax2+bx+c中，a<0,抛物线与x轴有两个交点A(2,0)B(-1,0),则ax2+bx+c>0的解是 ;ax2+bx+c<0的解是 .抛物线y=2x-8-3x2与x轴有个交点，因为其判别式b2-4ac=0,相应二次方程3x2-2x+8=0的根的情况为..关于x的方程mx2+mx+5=m有两个相等的实数根，则相应二次函数y=mx2+mx+5-m与x轴必然相交于点，此时m=..平面直角坐标系中，若平移二次函数y=(x-2009)(x-2008)+4的图象，使其与x轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为( )A.向上平移4个单位 B.向下平移4个单位C向左平移4个单位 D.向右平移4个单位.若关于x的一元二次方程2%2+ax+5=0的两根在1与2之间(不含1和2),则a的取值范围是 ..右图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的 一\^一图像，口观察图像写出y22yl时，x的取值范围.7丫［万. 1，.已知抛物线y=-3(x-h)2+k的顶点在抛物线y=x2上，且抛物线在%轴上截得的线段长是4c3，求h和k的值..已知函数y=x2-mx+m-2.(1)求证：不论m为何实数，此二次函数的图像与x轴都有两个不同交点;5(2)若函数y有最小值-4,求函数表达式..关于x的一元二次方程(m2-1)x2-2(m-2)x+1=0.(1)当m为何值时，方程有两个不相等的实数根；⑵点A(-1,-1)是抛物线y=(m2-1)x2-2(m-2)x+1上的点，求抛物线的解析式；(3)在(2)的条件下，若点B与点A关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点B的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请

说明理由.二、二次函数与一次函数、反比例函数例1.当路程S一定时，速度V与时间,之间的函数关系是（ ）A.正比例函数B.反比例函数 C.一次函数 D.二次函数例2.在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax'8x+b的图象可一_.k. 一-例2.函数y=kx-2与y=—（k十0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）x例3.如图,直线y=kx+b与反比例函数y*（xVO）的图象相交于点A、点B,4.(1)⑵与x点B,4.(1)⑵与x轴交于点C,其中点A的坐标为（-2,4）,点B的横坐标为-试确定反比例函数的关系式;求4AOC的面积.例4.如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO,其顶点为A(0,1)、B(—3\H，1人C(-3\13,0)、O(0,0).将此矩形沿着过E(-^'3,1)、F(—竽，0)的直线EF向右下方翻折，B、C的对应点分别为B,、3C’.(1)求折痕所在直线EF的解析式； >(2)一抛物线经过B、E、B,三点，求此二次函数解析式；(3)能否在直线EF上求一点P,使得4PBC 二一周长最小如能，求出点P的坐标；若不能，J,说明理由. / 4例5.如图，过y轴上点A的一次函数与反比例函数相交于B、D两点，B(-2,3),BC，x轴于C,四边形OABC面积为4.(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求点D的坐标；(3)当x在什么取值范围内，一次函数的值大于反比例函数的值.(直接写出结果)【当堂练】1.二次函数y1.二次函数y=ax2+bx的图象如图所示,那么一次函数y=ax+b的图象大致2.函数y=x2+bx+c与y=x的图象如图所示以下结论：①b2-4c>0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；1VxV3时，x2+(b-1)x+c<0.其中正确的个数为()A.1 B.2 C.3.在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=-mx2+2x+2(m是常数，且.二次函数y=ax'bx+c(a十0)的图象如图所示，则函数y=3与y=bx+c在同一直角坐标系内的大致图象是( )6.定义［P，/为一次函数>=px+q的特征数.(1)若特征数是L,k-2］的一次函数为正比例函数，求k的值;(2)设点AB分别为抛物线y=(x+m)(x—2)与x轴、y轴的交点，其中m>0，且N3A的面积为4,O为坐标原点，求图象过A、B两点的一次函数的特征数..已知：二次函数y=a2+bx—2的图象经过点(1,0),一次函数图象经

过原点和点(1,—b),其中a>b>0且a、b为实数.(1)求一次函数的表达式(用含b的式子表示)；(2)试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；(3)设(2)中的两个交点的横坐标分别为x1、x2,求|x1-x2|的范围..如图，直线y=-%+3与x轴，y轴分别交于B,C两点，抛物线y=-X2+bx+c经过点B和点C,点A是抛物线与x轴的另一个交点.(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)若点Q在抛物线的对称轴上，能使△QAC的周长最小，请求出Q点的坐标；(3)在直线BC上是否存在一点P,且SPPAC:SPPAB=1：3，若存在，求P点的坐标，若不存在，请说明理由..如图，在平面直角坐标系中，直线y=-3x-3与x轴交于点A,与y轴交于点C.抛物线y=X2+bx+c经过A、C两点，且与x轴交于另一点B(点