2023届山东省新高考联合质量测评高三上学期12月联考数学试题（解析版）

试卷第=page22页，共=sectionpages44页2023届山东省新高考联合质量测评高三上学期12月联考数学试题一、单选题1．已知集合，则集合的子集个数为（

）．A．1 B．2 C．4 D．8【答案】D【分析】解不等式求出，求出值域得到，从而求出交集及子集个数.【详解】，解得：，所以，其中，所以，所以．所以的子集个数是.故选：D．2．复数，则（

）．A． B．2 C．4 D．8【答案】A【分析】先根据复数的乘除法运算求出复数，再根据复数的模的计算公式计算即可得解.【详解】解：，所以.故选：A．3．设，则（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据切化弦公式及逆用二倍角公式求解即可．【详解】解：，故选：C．4．在的展开式中，含项的系数为（

）．A．10 B．15 C．20 D．30【答案】B【分析】问题可以看作5个括号中分别选取的不同选法的组合问题，利用组合知识求解即可.【详解】根据组合可知，展开式中含项为：，所以含项的系数为15，故选：B．5．已知在三棱锥中，平面，为等腰直角三角形，且，，点为棱上一点，且，过点作平行于底面的截面，那么三棱台的体积等于（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】求出，，，，相减后得到三棱台的体积.【详解】因为平面，且平面平面ABC，，，所以，，，，，，所以.故选：B．6．若，则的大小关系为（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】根据与判断即可．【详解】解：令，则，在上单调递增，，令，则，由得，递增；由得，递减，，．，故选：A．7．若点是所在平面上一点，且是直线上一点，，则的最小值是（

）．A．2 B．1C． D．【答案】C【分析】根据向量的运算确定G的位置，可得B、H、D三点共线，利用三点共线得，再由不等式求最值即可.【详解】设，，因为，所以，，所以点G是的重心，设点D是AC的中点，则，B、G、D共线，如图，又．因为B、H、D三点共线，所以，所以，当且仅当，即，时取等号，即的最小值是.故选：C．8．已知函数，对任意，存在，使，则的最小值为（

）．A．1 B．C． D．【答案】D【分析】令，将都用表示，从而可将构造出关于的函数，再利用导数求出函数的最小值即可.【详解】解：由题意，令，则，，所以，，，令，所以，令，得，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，有最小值，即的最小值为.故选：D．二、多选题9．党的二十大报告从16个方面概括了我国十年来的伟大变革，报告指出，“我们提出并贯彻新发展理念，着力推进高质量发展，推动构建新发展格局，实施供给侧结构性改革，制定一系列具有全局性意义的区域重大战略，我国经济实力实现历史性跃升，国内生产总值从五十四万亿元增长到一百一十四万亿元，我国经济总量占世界经济的比重达百分之十八点五，提高七点二个百分点，稳居世界第二位；人均国内生产总值从三万九千八百元增加到八万一千元．谷物总产量稳居世界首位，制造业规模、外汇储备稳居世界第一．”下图是某地区2012年一2021年人均国内生产总值（人均GDP）及同比增长率变化情况，则下列说法正确的是（

）．A．2020年受到疫情影响，该地区人均GDP增长减缓B．2012年至2021年该地区人均GDP的80％分位数为69901C．2012年至2021年该地区人均GDP同比增长率的平均值在以上D．根据图表和二十大报告可推测该地区十年的人均GDP的极差低于全国【答案】ACD【分析】用样本估计总体思想，结合图解决.【详解】由图可知2020年该地区人均CDP同比增长率有所下降，但GDP依然增加，所以A正确．2012年至2021年该地区人均GDP的80％分位数为，所以B不正确．2012年至2021年该地区人均GDP同比增长率的平均值为：，所以C正确（也可以直接观察判断）．2012年至2021年该地区人均GDP极差，所以D正确．故选：ACD．10．关于函数有如下四个命题，则下列选项正确的是（

）．A．的图象关于轴对称B．的图象关于原点对称C．的图象关于点对称D．的周期是【答案】BC【分析】选项A和选项B可通过函数的奇偶性进行判断；选项C可通过将向左平移个单位长度后是否为奇函数进行判断；选项D可通过周期函数的定义进行判断.【详解】对于选项A和选项B，由已知，的定义域为，，都有，且，∴为奇函数，的图象关于原点对称，∴选项A错误，选项B正确；对于选项C，将的图象向左平移个单位长度，得到的图象，则，的定义域与定义域相同，均为，，都有，且，∴为奇函数，图象关于原点对称，即将的图象向左平移个单位长度后关于原点对称，∴的图象关于点对称，故选项C正确；对于选项D，，∴不是的周期，选项D错误．故选：BC.11．在棱长为2的正方体中，点为线段（包含端点）上一动点，则下列选项正确的是（

）．A．三棱锥的体积为定值B．在点运动过程中，存在某个位置使得平面C．截面三角形面积的最大值为D．当三棱锥为正三棱锥时，其内切球半径为【答案】AC【分析】对于A，证明平面，从而可得上所有点到平面的距离不变，即可判断；对于B，假设平面BQC，从而可得，，即可判断；对于C，要使截面三角形面积的最大，只要Q到BC的距离最大，过Q作于F，过F作于G，连接QG，求出的最大值即可；对于D，利用等体积法求解即可.【详解】解：A.，而为定值．连接，因为且，所以四边形是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，所以上所有点到平面的距离不变，所以三棱锥的高不变，所以为定值，故A正确；B．若平面BQC，平面BQC，则，又，所以，不正确，故B错误；C．因为BC为定值，所以只要Q到BC的距离最长，过Q作于F，过F作于G，连接QG，因为，所以，又平面，所以平面，又平面，则，要使QG最长，只需QF最长，即Q点在时，最长，此时，故C正确，D．当Q在A点时，为正三棱锥，设三棱锥的内切球的半径为，由等体积法，所以，所以，故D错误．故选：AC.12．已知奇函数在上可导，其导函数为，且恒成立，则下列选项正确的是（

）．A．为非奇非偶函数B．C．D．【答案】BCD【分析】由函数的奇偶性定义判断出为奇函数，A错误；赋值法得到，结合奇偶性得到，联立后求出，B正确；将变形为，令，则，结合是奇函数，得到是一个周期为4的周期函数，得到，求出，C正确；对求导，得到，赋值法得到，，结合的周期性与奇偶性得到的周期性和奇偶性，得到.【详解】由已知有为R上的奇函数，所以，故的定义域为R，且，故为奇函数，故A选项错误；由已知有：恒成立，令时，①，因为为奇函数，故，令时，②，由①②解得：，，故B选项正确；由已知有：恒成立，即恒成立，令，则恒成立，由A选项知是奇函数，故，故，即，所以，所以是一个周期为4的周期函数，则，所以，故C选项正确；由已知有：在R上可导，对求导有：，即，令时，，则，因为，所以．又因为是奇函数，故是偶函数，所以，因为是一个周期为4的周期函数，所以也是一个周期为4的周期函数，以下是证明过程：假设为周期为的函数，则，所以为周期为的函数，故，故D选项正确．故选：BCD【点睛】结论点睛：设函数，，，．（1）若，则函数的周期为2a；（2）若，则函数的周期为2a；（3）若，则函数的周期为2a；（4）若，则函数的周期为2a；（5）若，则函数的周期为；（6）若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为；（7）若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为；（8）若函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期为；（9）若函数是偶函数，且其图象关于直线对称，则的周期为2a；（10）若函数是奇函数，且其图象关于直线对称，则的周期为4a．三、填空题13．已知，则_______．【答案】##-0.8【分析】对两边平方求出，结合诱导公式求出答案.【详解】因为，两边平方得：所以．所以．故答案为：14．有形状完全相同的4个白球和4个红球，若一个袋中放有3个白球和2个红球，另一个袋中放有1个白球和2个红球，任选一个袋子取出一球，则恰好取出的是白球的概率为________．【答案】【分析】根据互斥事件和的概率等于互斥事件概率的和求解即可．【详解】解：设A表示选择其中有3白球、2红球的袋子，B表示取出白球，则，．故答案为：．15．在数列中，，则数列的前20项和为________．【答案】230【分析】根据递推公式得到从第一项起，依次相邻两奇数项的和为2，从第二项起，依次相邻两偶数项的和组成以12为首项，16为公差的等差数列，进而分组求和即可.【详解】因为，所以有：，，，，，，，…由此可得出：，，，，…，所以从第一项起，依次相邻两奇数项的和为2，从第二项起，依次相邻两偶数项的和组成以12为首项，16为公差的等差数列，所以数列的前20项和为：．故答案为：23016．若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为__________．【答案】【分析】原不等式转化为存在，成立，令，由导数可知函数为增函数，据此可得，转化为成立，分离参数求的最小值即可.【详解】由题意：存在，使得不等式成立，即成立，即成立，令，，则恒成立，所以在上单调递增，所以只需时，有成立，即成立，令，则，所以当时，；当时，．所以在上单调递减，在上单调递增．所以的最小值为e．所以a的取值范围是．故答案为：四、解答题17．在锐角中，角的对边分别为，且满足．(1)求角的大小；(2)求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合两角和的正弦公式及三角形内角关系即可得出答案；（2）利用正弦定理将所求边为角的形式，再结合三角函数的性质即可得出答案.【详解】（1）解：因为，所以，即，即，又，所以，因为，所以；（2），因为为锐角三角形，所以，解得，所以，所以，即的取值范围为．18．已知函数．(1)求函数在点处的切线方程；(2)证明：函数在上有且仅有一个零点．【答案】(1)；(2)证明见解析.【分析】（1）根据导数几何意义求解.（2）判断函数在上单调性，然后观察零点.【详解】（1）因为，且，，所以切线方程为，即所求切线方程为．（2）．因为，所以，，，所以，所以，当且仅当时取等号，所以在上是减函数，且，所以在上仅有一个零点．19．已知数列满足，且，数列满足，设的前项和为．(1)求数列的通项公式；求数列的前项和；(2)设，记数列的前项和为对恒成立，求的取值范围．【答案】(1)，(2)【分析】（1）对变形得到，得到是等差数列，求出通项公式，利用裂项相消法求和；（2）得到，利用错位相减法求出，判断出在上单调递增，求出，得到不等式，求出的取值范围.【详解】（1）因为，所以，所以（常数），故数列是以为公差的等差数列，且首项为，所以，故．因为，所以．（2）．所以，所以，两式相减得，，所以．由，知在上单调递增，所以，所以，解得.20．已知直三棱柱中，侧面为正方形，为等腰直角三角形，且分别为和的中点，为棱上的点．(1)证明：；(2)当为何值时，直线与平面所成线面角的正弦值为．【答案】(1)证明见解析(2)或【分析】（1）根据证明即可．（2）根据线面角的正弦等于线法角的余弦绝对值列式计算求解即可．【详解】（1）解：为等腰直角三角形，且，．又∵三棱柱为直三棱柱，平面ABC．分别以向量，，的正方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，为中点，连接，则，，，，，，，．（2）解：设，则，．，，，BC，平面，平面，是平面的一个法向量且．∵直线DE与平面所成的线面角的正弦值为，，化简得：且，或，即或．21．某公司在一种传染病毒的检测试剂品上加大了研发投入，其研发的检验试剂品分为两类不同剂型和．现对其进行两次检测，第一次检测时两类试剂和合格的概率分别为和，第二次检测时两类试剂和合格的概率分别为和．已知两次检测过程相互独立，两次检测均合格，试剂品才算合格．(1)设经过两次检测后两类试剂和合格的种类数为，求的分布列和数学期望；(2)若地区排查期间，一户4口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一使用试剂品进行检测，如果有一人检测呈阳性，则检测结束，并确定该家庭为“感染高危户”．设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立，该家庭至少检测了3个人才确定为“感染高危户”的概率为，若当时，最大，求的值．【答案】(1)分布列见解析，1(2)．【分析】（1）先得到剂型与合格的概率，求出X的所有可能取值及相应的概率，得到分布列，求出期望值；（2）求出，令，得到，利用基本不等式求出最值，得到答案.【详解】（1）剂型合格的概率为：；剂型合格的概率为：．由题意知X的所有可能取值为0，1，2．则，，，则X的分布列为X012P数学期望．（2）检测3人确定“感染高危户”的概率为，检测4人确定“感染高危户”的概率为，则．令，因为，所以，原函数可化为．因为，当且仅当，即时，等号成立．此时，所以．22．已知函数．(1)当时，求函数的极值．(2)若有三个极值点，且，①求实数的取值范围；②证明：．【答案】(1)极小值为，无极大值(2)①；②证明见解析【分析】（1）求出函数的导数，判断其正负，确定函数单调性，进而求得函数的最小值；（2）①当时，判断函数的单调性，说明不