高数第十一章例题与答案

复习五无穷级数1•理解级数的部分和及收敛性的概念，掌握几何级数、调和级数、P-级数的敛散性，会利用收敛级数的性质判断级数的敛散性.8 1且limun=0，贝lj且limun=0，贝lj/?->xn=l »oo级数的敛散性为 （收敛，发散）•71=1解：因为limu“=0,故limS“=s.因此发散.n=l00例2.若级数力知收敛，则下列级数中（ ）收敛.n=l00(A)》(冷+0.001);n=l00(A)》(冷+0.001);n=l解：选择B.级数£血+1000X 00(B)》％iooo； _n=l n=l；(C)XaK；(D)Z1000是去掉前1000项后所得，与为知敛散性相同，故收敛.??=1 n=l/|=1会利用比较判别法和值判别法判别正项级数的敛散性，会利用莱布尼茨定理判别交错级数的敛散性，会判别一般项级数的绝对收敛性.例1.判别级数f空単的敛散性.n=i2解：因为3+（-叫4二12〃+i —2〃+i 2"一1?而级数£点收敛，由比较审敛法，所给级数收敛.“=12例2.判别级数^2"sin的敛散性.TOC\o"1-5"\h\z"=i 3"OOQ而级数£（彳）“是收敛的,

n=lOOQ而级数£（彳）“是收敛的,

n=l$解：因为lim— =兀，（了）0O所以由比较审敛法，级数sin也收敛.n=l 3"

2n+1sin二 召cU on+l q/?+1 7另解：因为lim-=lim =2lim—=彳<1,宀如宀2〃sin兰"兰33刃 3舁所以由比值审敛法，级数^2nsin收敛.n=l 3"例3.设0<an = 则下列级数中肯定收敛的是（ ）•X 00 00 00（A）》/（B）》（—1）S；（C）》芯；（D）Y（—I）%：.n=l n=l n=l n=L解：因为I（一1）"尤1=anVn00[ 00而级数■是收敛的，所以Y（—i）"尤绝对收敛.n=l“ /?=1例4.级数f（_l）"（l_cos纟）（常数cr>0）（ ）.仁 na1ot2z、

cos—〜卞(ms)・a1ot2z、

cos—〜卞(ms)・门2n2解：|（-l）n（l-cos^）|=1-n因为i（-ir（i-cos^）limi（-ir（i-cos^）lim JHTOC 1n200[ 00_r2n2_a2

—lim—-—--y"TOO1 Zn2而£A是收敛的，所以£（-iy（i-cos旳是绝对收敛的«=in “=i n例5.下列级数中绝对收敛的是（ ）.4-00/ 1X/I-1 4-X1 +0C（A）》牛；n=iy/n解：因为I已二trX+00Z1\?7-l4-X1 +0Cf +00✓_1\（b£；（C）弟;（D）ZM

/?=! ?i=lZ n=l18[（ 11=4,而£丄是收敛的，所以绝对收敛.n n=ln n=l例6・判别级数若（_1）曲右sin治是否收敛，是绝对收敛还是条件收敛n=l-f-x//=i "解：因为R1而级数乞丄F收敛，所以原级数绝对收敛./?=!2例7.判别级数f早二是否收敛，是绝对收敛还是条件收敛.K=1a/2/7—1解：这里知=1解：这里知=1因为«n+l<Mn(n=l,2,…),并且lim冷=0,MT0C00(-1V1-1由莱布尼兹定理，知级数》罗=收敛.n=iy2n—1又因为级数£i_y=i=£「丄是发散的，所以原级数是条件收敛的.?z=lV2h-1n=i —l会求幕级数的收敛半径、收敛域、和函数，会利用幕级数的性质(逐项求导和逐项积分公式)求某些简单幕级数的和函数及将简单函数展开成幕级数,会求简单数项级数的和.例1.设幕级数⑷>0)在4-3处条件收敛，则幕级数的收敛域为n=Q()•(4)(—3,3);&)[-3,3);(C)(-3,3];(£>)[-3,3].解：选B.例2.幕级数f(一1)：十的和函数S⑴为( )./1=1"(A)siiu-;(B0;(C)-^—;(D)hi(1+x).JL"iA解：S(x)-5(0)=£5f(x)dx=£'(-1)"-1x"-1dx=[丄dx=ln(l+x),o o/z=i o+x而S(0)=0,所以S(x)=ln(l+x).例3.求幕级数£巴—(x+1)”的收敛域./?=1H•4"

oo解：也晌亠=lim竺乜H=4.…一 …旳.4“oo当x+l=4时，幕级数成为工甲，是收敛的；川=1 "81当x+i=_4时，幕级数成为斗是发散的./?=1"所以收敛区间为:4<x+l<4即-5<v<3.例4.求幕级数£(-1严g广的收敛域./?=1=lim斗，所以幕级数的收敛半径解：这里Oil.因为lim|=lim斗，所以幕级数的收敛半径n tooan为/?=1,即当|x-l|<l,即0心<2时，幕级数收敛；当I兀-1|>1,时幕级数发散.x_1因为当x=0时，幕级数成为V—,是发散的；当42时，幕级数成为TOC\o"1-5"\h\z工 1yc-ir1-,是收敛的，所以幕级数的收敛域为(0,2).紅 n例5.求幕级数^2n+lx2„的收敛域及和函数蚣).n=0n・解：因为x2"=0,M2/?+3刀】+2/2戸+12nIi・2nx2"=0,“TH(az+1)1 /?! ；f->x2n+1n+1所以幕级数的收敛半径为R+,收敛域为(-叫+8).在收敛域内，有S⑴=[[心)d%]'=[£+己打n=0 •°°1-=[xY—(x2)"]'=[xex']f=eA_+2x2ex_.OOn=0°QCnx?T=1n=0°QCnx?T=1解：设心) (-l<x<l)?则原问题转化为求和函数在2寸处的值.00n=l n=L5（x）=n=l n=Ln=lh1-^ (1-x)25故所求值为乞计"加总•n=oa°（Q-1）例7.亠展开成兀的幕级数为 .1+X2[ [ co 00解:17音冃百小百心2"32.—x—x例8.函数f(x)=— 展开成x的幕级数，并指出收敛域.2.—x—x2-x-FTOC\o"1-5"\h\z他门、 3 1 1 1 1 1八'2-x-x2 1-x 2+x1-x 2l+x/200 1 00 X [=+5》(-1)"(訝=力[1+(-1)"存“，k=0 Zn=0 Z n=0 2由-1<Y<1及—1V今<1收敛域为(-1,1).例9.函数Ax>arctanx展开成x的幕级数，并指出收敛域.1 00解：/W=/W-/(0)=£广⑴d2匸——7d2匸Y(一疋)"dX1+兀 /?=0=匸£（j）X" 斗心+1（-1<X<1）,n=0 n=02/?+l显然当兀=-1和*1时，幕级数都收敛，幕级数的收敛域为[-1,1],加暫器严（—）•下列正项级数发散的是001 下列正项级数发散的是001 00/72(A)乞齐j； (B)工〒/?=13十/ 21Z下列级数条件收敛的是008(A)X(-1)，，+1—；(B)工(-1)(C)£^^；(D)工(―1)"=1)•(D)立sin(D)立sin召??=1z(C)Zry—-；“=1yin+1)•n-1_L;TOC\o"1-5"\h\z“=1 X+1'— 严12” 7'「住'「丿，则其收敛半径/?=将f(x)=-L-展成兀的幕级数为 ，则其收敛半径/?=1+2x级数£(-1)“处"的收敛域是( ).;j=1(A)[-l,1)； (B)(-l,1]; (C)(-l,1); (D)[-l,1].判别级数的敛散性：co oo9n_1 oc /~ oo(1)若3怜尹；⑵若丽;；⑶若占；⑷Jan站判别级数是否收敛，是绝对收敛还是条件收敛：^sin^£(_])“+】广(3)£(-1严幺2"小丿紆丿川^111(/7+1)求幕级数的半径和收敛域：(1)£〃(2)£(-1)心电粽4(〃+1丁铝