超声层析成像的理论与实现

会计学1超声层析成像的理论与实现主要内容一.超声层析成像技术的发展历史二.超声层析成像技术的基本模型及方法三.问题的不适定性及其正则化四.模型噪声的判断方法——Picard准则五.静态正则化技术在超声层析技术中的应用六.迭代正则化技术在超声层析技术中的应用七.总结与展望

第1页/共48页一.超声层析成像的发展历史1.折射系数层析成像方法2.衰减系数层析成像方法3.射线跟踪方法4.透射式衍射层析成像及反射式衍射层析成像方法5.基于精确场描述的层析成像方法

第2页/共48页1.折射系数层析成像方法Refractive-indextomography

第3页/共48页2.超声衰减系数层析成像

Attenuationtomography

衰减系数

综合衰减系数

第4页/共48页3.射线跟踪方法

RayTracingMethod

第5页/共48页4.透射式衍射层析成像及反射式衍

射层析成像方法物体傅里叶变换频域空域入射波前向散射场第6页/共48页从不同方向照射物体时,前向散射场数据的傅里叶变换第7页/共48页5.基于精确场描述的层析成像方法第8页/共48页二.超声层析成像技术的基本模型

及方法非齐次亥姆霍兹方程(HelmholtzEquation)1.波动方程及其解第9页/共48页全场方程(TotalFieldEquation)

(第二类Fredholm积分方程)

散射场方程(ScatteringFieldEquation)探测器方程(DetectorEquation)第10页/共48页2.积分方程的离散化─矩量法第11页/共48页向量形式:

第12页/共48页3.波动方程的近似

①Born近似

Born逆解O

应满足的条件:第13页/共48页②Rytov近似

应满足的条件:第14页/共48页4.基本方法Born迭代算法(BI)

Levenberg-Marquardt和Newton-Kantorovich方法变形Born迭代方法(DBI)

第15页/共48页Born迭代算法(BI)

求Born逆解O由全场方程

确定全场

由散射场方程求散射场,并计算

由方程求改变量求第16页/共48页求Born逆解O由全场方程

确定全场

由散射场方程求散射场,并计算

变形Born迭代算法(DBI)

根据最新求得的Ok改变散射方程的系数矩阵D求由方程求改变量第17页/共48页Levenberg-Marquardt和

Newton-Kantorovich方法

代入第18页/共48页三.问题的不适定性及其正则化

适定性问题是指：对于连续算子方程Kx=y，如果解x满足：

(1).存在；

(2).唯一；

(3).连续地依赖于数据y。否则，即上述三个条件有一个不满足，则称其为不适定的（Ill-posed）。

第19页/共48页离散不适定问题

(DiscreteIll-PosedProblem)

若:

(1).矩阵A的条件数非常大，或者说矩阵A的最大奇异值和最小奇异值之比非常大；

(2).矩阵A的奇异值逐渐下降趋于零。对于线性方程组Ax=b

或最小二乘问题:第20页/共48页Tikhonov正则化

L=In，x0=0时，称为Tikhonov正则化的标准形式,其解可表示为:第21页/共48页四.模型噪声的判断方法:Picard准则离散Picard准则：若方程组Ax=b的傅里叶系数趋于零的速度在平均意义下快于矩阵A的奇异值趋于零的速度的话，则称该方程组满足离散Picard准则(条件)。

最小二乘解:Tikhonov正则化解:第22页/共48页受噪声污染和无噪声污染的Picard图

污染严重

污染较轻

第23页/共48页A

对比度为30％时对比度为20％时对比度为10％时第24页/共48页五.静态正则化技术1.截断奇异值分解正则化方法

TruncatedSingularValueDecomposition(TSVD)2.截断完全最小二乘正则化方法

TruncatedTotalLeastSquares(TTLS)

第25页/共48页1.截断奇异值分解正则化方法(TSVD)

对于线性方程组Ax=b

或最小二乘问题最小二乘解:Tikhonov正则化解:TSVD正则化解:第26页/共48页正则化参数的选取方法

离差原理(DiscrepancyPrinciple)方法广义交叉验证(GCV)方法

L曲线(L-Curve)方法

减小时

增加时

由L曲线方法确定k’采用一维搜索的方法确定更精确的k第27页/共48页TSVD方法的数值仿真结果

BACDE对比度为10％时对比度为20％时对比度为30％时原始图像第28页/共48页迭代过程的相对误差和相对残差曲线第29页/共48页迭代过程的相对误差和相对残差曲线第30页/共48页2.截断完全最小二乘正则化方法满足：最小二乘问题：完全最小二乘问题：满足：第31页/共48页截断完全最小二乘的步骤1.首先，计算增广矩阵(A，b)的奇异值分解：2．确定截断参数k≤min(n，rank(A，b))使得：

3.记q=n-k+1,将矩阵分块4.则完全最小二乘问题的解为：

第32页/共48页TTLS方法的数值仿真结果

原始图像对比度为10％时对比度为20％时对比度为30％时第33页/共48页迭代过程的相对误差和相对残差曲线第34页/共48页六.迭代正则化技术1.求解最小二乘问题的共轭梯度方法(cgls)2.LSQR方法第35页/共48页1.求解最小二乘问题的共轭梯度

方法(cgls)

将共轭梯度法应用于法方程

相当于在Krylov子空间：产生的序列xk，使得：第36页/共48页cgls方法的解可表示为:的k-1次多项式，其系数的确定是

其中：

依赖于：(1).方程的右侧项b的特征；(2).矩阵A的奇异值的分布；(3).迭代的次数

第37页/共48页迭代次数增加，残差变化不大，但解的范数受影响较大第38页/共48页正则化参数对迭代的影响第39页/共48页cgls方法的数值仿真结果BACDE对比度为10％时原始图像对比度为20％时对比度为30％时第40页/共48页迭代过程的相对误差和相对残差曲线图5.15采用clgs方法，五种不同图像在对比度为30％时的相对残差(RRE)曲线，cgls迭代次数为10第41页/共48页LSQR迭代方法

Lanczos三对角过程

Lanczos应用于将矩阵A双对角化Golub和Kahan(1965)

Paige和Saunders(1982)

线性方程组Ax=b和应用于第42页/共48页LSQR方法的优点:

1.速度快

2.对不适定性问题数值稳定

3.从迭代过程很容易求得数值分析的数值第43页/共48页BACDE原始图像LSQR方法的数值仿真结果对比度为10％时对比度为20％时对比度为30％时第44页/共48页七.总结与展望首先利用Picard理论，分析了超声层析成像问题的中的模型噪声问题，给出了入射波的确定方法、以及正则化方法的适用范围的判断方法。采用了两类四种正则化方法对超声层析成像问题中的不适定性问题进行了研究，通过对正则化参数选择的修正，完成了较大对比度物体的成像问题。结论：静态正