第 关系数据理论

会计学1第关系数据理论2/48第六章关系数据理论6.1问题的提出6.2规范化

6.2.1函数依赖

6.2.2码

6.2.3范式

6.2.42NF6.2.53NF……

6.3数据依赖的公理系统第1页/共70页3/48

如何才能构造一个良好的关系模式？要回答这个问题就必须要解决以下问题：什么是不好的关系模式，一个不好的关系模式存在哪些弊病？区分一个关系模式设计的优劣程度的标准是什么？如何将一个不好的关系模式转换为一个好的关系模式？

关系数据理论借助于数学工具规定了一套关系数据库设计的理论和方法。是数据库逻辑设计（应用数据库应该由多少个表组成？每个表有哪些字段？等等）的有力工具。6.1问题的提出－－什么是不好的数据库设计第2页/共70页4/48一、关系模式的形式化定义二、什么是数据依赖三、关系模式的简化定义四、数据依赖对关系模式影响6.1问题的提出第3页/共70页关系模式由五部分组成，即它是一个五元组：

R（U，D，dom，F）例：上图的关系模式R(U,D,DOM,F）R—学生U—{学号,姓名,性别,年龄}D—{整数,字符串}DOM—{学号:(snoINT6),年龄:(ageINT2[15-45]),

性别:(sexCHAR2[男,女]),姓名:(nameCHAR20)}F—{学号决定所有其他属性}域名集属性名集属性间的依赖关系集属性向域的映像集学号学生性别年龄9901李勇男249902刘晨女25关系名学生一、关系模式的形式化定义第4页/共70页6/48二、什么是数据依赖

数据依赖是通过一个关系中属性间值的相等与否体现出来的数据间的相互关系。它是现实世界属性间相互联系的抽象，是数据内在的性质，是语义的体现。

现在人们已经提出了许多种类型的数据依赖，其中最重要的是函数依赖(FunctionalDependency,FD)和多值依赖(MultivaluedDependency,MVD)。第5页/共70页7/48函数依赖函数依赖极为普遍地存在例如，描述学生的关系，有学号(Sno)，姓名(Sname)，系别(Sdept)等几个属性。由于一个学号只对应一个学生，一个学生只在一个系学习。因而当“学号”值确定之后，姓名和该生所在系的值也就被唯一地确定了。上述值的确定就象数学函数：自变量x确定之后，相应

的函数值f(x)也就唯一地确定。我们说Sno函数决定Sname和Sdept，或者说Sname，

Sdept函数依赖于Sno，记为：

Sno→Sname，Sno→Sdept第6页/共70页8/48

关系模式R（U,D,DOM,F）中，F是本章开始引入的数据依赖集。

由于D和DOM对模式设计关系不大,因此我们在本章中把关系模式看作是一个三元组：R<U,F>

，本章的主要是围绕着属性和属性间的数据依赖来讨论问题。四、关系模式的简化表示第7页/共70页9/48五、数据依赖对关系模式的影响[例1]

描述学校的数据库： 学生的学号（Sno）、姓名（Sname）、所在系（Sdept）、系主任姓名（Mname）、课程号（Cno）、成绩（Grade）语义（功能要求）：

1)一个系有若干学生，一个学生只属于一个系；

2)一个系只有一名主任；

3)一个学生可以选多门课，每门课有若干学生选修；

4)每个学生所学的每门课程都有一个成绩。一个可能的关系模式：Student<U、F>U＝｛Sno,Sname,Sdept,Mname,

Cno,Grade｝第8页/共70页10/48Student(Sno,Sname,Sdept,Mname,Cno,Grade)SnoSnameSdeptMnameCnoGradeS01杨明D01李一C0190S02李婉D01李一C0187S01杨明D01李一C0292S03刘海D02王二C0195S04安然D02王二C0278S05乐天D03赵三C0182………………………………五、数据依赖对关系模式的影响上述模式存在什么问题该模式存在的主要问题是冗余。第9页/共70页11/48冗余带来的问题冗余是不可避免的。在一定程度内也是合理的。但是，过度的冗余则会给数据库带来三类大的问题：插入异常：如果一个系刚成立没有学生，或者有了学生但尚未选修课程，那么就无法将这个系及其负责人的信息插入数据库。删除异常：如果某个系的全部学生都毕业了，则删除该系学生及其选修课程的同时，把这个系及其负责人的信息也丢掉了。更新异常：学生及其所选课程很多，而系主任只有一个，但其却要和学生及其所选课程出现的次数一样多。此外，如果某个系要更换系主任，就必须修改这个系学生所选课程的每个元组，修改其中的系主任信息。若有疏忽，就会造成数据的不一致，从而造成更新异常。第10页/共70页12/48解决冗余的方法问题产生的原因：Student中存在多余的数据依赖（不够规范）解决的方法将一个大关系分解为若干个小关系（消除数据依赖）。如前面的Student大关系分解为新的S，SC和Dept三个小关系，即可消除三类异常。SnoSnameSdeptS01杨明D01S02李婉D01S03刘海D02S04安然D02S05乐天D03DeptMnameD01李一D02王二D03赵三SnoCnoGradeS01C0190S02C0187S01C0292S03C0195S04C0278S05C0182SDeptSC第11页/共70页13/48

从上面的分解观察到：如果在一个关系模式内，函数依赖形式上如果只有：

码→非主属性

的形式，冗余就较小，三类异常就没有了。S(Sno,Sname,Sdept,Sno→Sname,Sno→Sdept)Dept(Dept,Mname,Dept→Mname)SC(Sno,Cno,(Sno,Cno)→Grade)解决冗余的方法第12页/共70页14/48

为什么上面的例子经过改造以后会变得比改造前好？还能不能继续改造？

或者说如何得到最优的关系模式？标准是什么？是我们下面要讨论的问题。五、数据依赖对关系模式的影响第13页/共70页15/486.2规范化规范化理论正是用来改造关系模式，通过分解关系模式来消除其中不合适的数据依赖，以解决插入异常、删除异常、更新异常和数据冗余问题。

6.2.1函数依赖

6.2.2码

6.2.3范式

6.2.42NF6.2.53NF6.2.6BCNF6.2.7多值依赖

6.2.84NF6.2.9规范化小结第14页/共70页16/486.2.1函数依赖一函数依赖二平凡函数依赖与非平凡函数依赖三完全函数依赖与部分函数依赖四传递函数依赖五函数依赖集与关系模式第15页/共70页17/48一、函数依赖（FunctionalDependency)在关系模式中，属性之间可能存在着决定关系，如：每个学生只有一个学号，学号决定了该学生的姓名、所在系等；每个学生所学的每门课程只能有一个总评成绩…在关系模式中，有些属性之间不存在这种决定关系，如：学生年龄与所在系学号与成绩为了反映属性间的这种决定关系，用函数依赖这一术语表示这种决定关系。6.2.1函数依赖第16页/共70页18/481、函数依赖的定义(注意：现在还不能用到码的概念。)定义6.1设R(U)是属性集U上的关系模式。X，Y是U的子集。若对于R的任何一个可能的关系r，r中不可能存在两个元组在X属性值上相等而在Y属性值上不等，则称X函数确定Y或Y函数依赖于X，记作：X→Y。对t,sr，若t[X]=s[X]，则t[Y]=s[Y]，其中，X称为这个函数依赖的决定属性集(Determinant)。若Y不函数依赖于X，则记作XY。6.2.1函数依赖→\第17页/共70页19/48例2：设R(U，F)是选修关系模式U＝｛学号，课号，成绩｝F＝｛(学号，课号)→成绩｝下列关系是否是R(U，F)的关系？rl是，r2否6.2.1函数依赖SnoCnoGrade9502C1809503C2759502C285r1SnoCnoGrade9502C1809502C1759503C285r2对于当前关系r的任意两个元组，如果X值相同，则要求Y值也相同第18页/共70页20/48例3：设Dl＝D2＝D3＝{1，2，3}U＝{A,B,C}F＝{A→B，B→C}试判断下列关系中哪些是R(U，F)的关系，哪些不是。6.2.1函数依赖ABC121321221R1是ABC123211321R2否ABC113312123R3否ABC123213413R4否第19页/共70页21/482、关于函数依赖的说明（1）函数依赖反映属性之间的一般规律，不是指关系模式R的某个或某些关系实例满足的约束条件，而是指R的所有关系实例均要满足的约束条件。当且仅当U上的一个关系r满足F时，r称为关系模式R（U,F）的一个关系。

6.2.1函数依赖第20页/共70页22/48（2）函数依赖是语义范畴的概念，只能根据现实世界的数据语义确定，函数依赖的确定实际上是对现实世界数据的联系的论断，要根据数据的客观存在的联系和企业(组织)的管理规章制度来确定。例：“区域主管→所在区域”只有在不允许有同名人的条件下成立6.2.1函数依赖第21页/共70页23/48（３）函数依赖与函数的区别１）在数学中，函数值通常可通过数学式计算，与时间无关；而函数依赖的决定性（右部的值）可以随时间改变例如，在商品代码→库存数量的函数依赖中，随着某些商品被卖出，拥有数量随之下降。２）函数依赖只强调决定性（属性值相同），不意味着能通过决定因素计算出函数依赖右部的值。6.2.1函数依赖第22页/共70页24/483、函数依赖图(FD图)关系中函数依赖关系可以用函数依赖图表示[例1]

Student(Sno,Sname,Sdept,Mname,Cno,Grade)6.2.1函数依赖属性组U上的一组函数依赖F：F=｛Sno→Sname,Sno→Sdept,Sdept→Mname,Sno→Mname,(Sno,Cno)→Grade｝

SnoCnoSdeptMnameGradeSname第23页/共70页25/48二、平凡函数依赖与非平凡函数依赖定义：在关系模式R(U)中，对于U的子集X和Y，如果X→Y，但YX，则称X→Y是平凡的函数依赖(必然成立)若X→Y，但Y⊈X,则称X→Y是非平凡的函数依赖例：在关系SC(Sno,Cno,Grade)中，平凡函数依赖：(Sno,Cno)→

Sno(Sno,Cno)→Cno

非平凡函数依赖：(Sno,Cno)→

Grade6.2.1函数依赖整体一致，部分一致第24页/共70页26/48

对于任一关系模式，平凡函数依赖都是必然成立的。不可能在一个关系中存在两个元组，在X上相等，而在X的某个子集上不相等。整体一致，部分一致，没有特殊意义（过于“平凡”）

平凡函数依赖不反映新的语义，只有非平凡的函数依赖才和“真正的”完整性约束条件相关。

因此若不特别声明，总是讨论非平凡函数依赖。6.2.1函数依赖第25页/共70页27/48三、完全函数依赖与部分函数依赖定义6.2：在关系模式R(U)中，如果X→Y，并且对于X的任何一个真子集X’

，都有X’Y,则称Y完全函数依赖于X，记作X→Y。若X→Y，但Y不完全函数依赖于X，则称Y部分函数依赖于X，记作X→Y。通俗地说：X→Y，就是X的一部分就能决定Y。6.2.1函数依赖fpp→\第26页/共70页28/481)当决定因素是单属性时，无非空真子集，因此，肯定是完全函数依赖集。2)当决定因素是多属性时，须根据语义进行判断。例：在关系SC(Sno,Cno,Sdept,Grade)中，｛Sno,Cno｝有两个非空真子集｛Sno｝，｛Cno｝，根据对模式属性语义的规定，它们均不能分别决定考试成绩。SnoGrade，CnoGrade，｛Sno，Cno｝→Grade成立。

{Sno，Cno}→Sdept是部分函数依赖。6.2.1函数依赖→\→\fpSnoSdeptCnoGrageS01D01C0190S02D01C0187S01D01C0292S03D02C0195……………………第27页/共70页29/48四、传递函数依赖定义6.3：在关系模式R(U)中，如果X→Y，YX(且YX)，Y→Z，则称Z传递函数依赖于X，记作X→Z。例1：设Student(Sno，Sname，Sdept，Mname，Cno,Grade)

中，存在函数依赖：SnoSdept，SdeptMname，根据传递依赖的定义，可知SnoMname是传递依赖。6.2.1函数依赖→\传递SnoSnameSdeptMnameCnoGradeS01杨明D01李一C0190S02李婉D01李一C0187S01杨明D01李一C0292S03刘海D02王二C0195………………………………第28页/共70页30/48注:

（1）如果Y→X，即XY，则Z直接依赖于X。（2）Y不包含于X：该条件排除了部分函数依赖是传递

函数依赖的可能。（3）可能出现Z是X子集的传递函数依赖。如：(A，B，C)→(C，D)，(C，D)→A

构成了一个传递函数依赖(A，B，C)→A。6.2.1函数依赖传递第29页/共70页31/48五、函数依赖集与关系模式关系模式R(U,D,DOM,F)简化为一个三元组：R(U,F)

（1）当R(U)确定，符合R(U)的所有关系是

Dl×D2×…×Dn的笛卡尔积子集。（2）当R(U，F)确定以后，符合R(U，F)的所有关系只是

Dl，D2，…，Dn的笛卡尔积的部分子集、即那些满

足函数依赖集的D1×D2×…×Dn的子集。6.2.1函数依赖ABC121321221r1ABC123211321r2例：设Dl＝D2＝D3＝{1，2，3}U＝{A,B,C}F＝{A→B，B→C}问r1，r2是R(U)的关系？问r1，r2是R(U,F)的关系？第30页/共70页32/486.2.2码定义6.4

设K为R<U,F>中的属性或属性组，若K→U，则K为R的候选码(CandidateKey)。若候选码多于一个，则选定其中一个作为主码(PrimaryKey)。主属性(Primeattribute)：包含在任何候选码中的属性。非主属性(Nonprimeattribute)

：不包含在任何候选码中的属性。也称非码属性(Non-keyattribute)。全码(AllKey)：关系模式的码由整个属性组构成。fK完全函数决定关系中的所有属性第31页/共70页33/481)对于任意关系r∈R(u)，若X是R(Ｕ)的码，则对任何元组

t，s∈r，有t(x)≠s(x)（t≠s）码在关系r中是唯一的。如：｛Sno｝是唯一区分学生的属性，构成码2)若X是码，则X→U是完全函数依赖，这是码的最小性。它的任一真子集都不构成码。如：SC｛Sno，Cno，Grade｝中｛Sno，Cno｝构成码，而其真子集｛Sno｝，｛Cno｝不单独构成码6.2.2码—说明第32页/共70页34/486.2.2码定义6.5

关系模式R中的属性或属性组X并非R的码，但X是另一个关系模式的码，则称X是R的外部码，简称外码。如在SC（Sno，Cno，Grade）中，Sno不是码，但Sno

是关系模式Student（Sno，Sname,Sdept，Sage）的码，则Sno是关系模式SC的外码主码和外码一起提供了表示关系间联系的手段。第33页/共70页35/48

规范化的关系简称范式。范式是对关系的不同数据依赖程度的要求。

通过模式分解将一个低级范式转换为若干个高级范式的过程称作规范化。

某一关系模式R为第n范式，可简记为R∈nNF。1NF2NF3NF4NFBCNF5NF各种范式之间的联系：5NF4NFBCNF3NF2NF1NF6.2.3范式符合某一级别的关系模式的集合第34页/共70页36/48一、1NF1NF的定义如果一个关系模式R的所有属性都是不可分的基本数据项，则R∈1NF。第一范式是对关系模式的最起码的要求。不满足1NF的表不属于关系在关系数据库中不允许这种表存在。但是满足第一范式的关系模式并不一定是一个好的关系模式。第35页/共70页37/48例5：

A1,A2,A3,…，Ak,…,An

Ak1Ak2例6：工资(工号,姓名,工资(基本工资,年绩津贴,煤电补贴))△转化方法：1)A1,A2,A3,…，Ak1，Ak2，…,An2)工资(工号,姓名,基本工资,年绩津贴,煤电补贴)一、1NF第36页/共70页38/48例7:

关系模式SLC(Sno,Sdept,Sloc,Cno,Grade)Sloc为学生住处，假设每个系的学生住在同一个地方。函数依赖包括：

(Sno,Cno)→GradeSno→Sdept(Sno,Cno)→SdeptSno→Sloc(Sno,Cno)→SlocSdept→Sloc二、2NFfpp第37页/共70页39/48*SLC满足第一范式。*SLC的码为(Sno,Cno)*非主属性Sdept和Sloc部分函数依赖于码(Sno,Cno)SnoCnoGradeSdeptSlocSLC(1)插入异常未选课学生无法插入(2)删除异常

删除选课信息将导致该学生信息整个元组删除(3)数据冗余度大

Sdept和Sloc值重复存储(4)修改复杂学生转系，修改K个元组中全部Sdept、Sloc信息二、2NFSLC(Sno,Sdept,Sloc,Cno,Grade)第38页/共70页40/48SnoCnoGradeSCSLSnoSdeptSloc

原因:Sdept、Sloc部分函数依赖于码。

解决方法:

SLC分解为两个关系模式，以消除这些部分函数依赖SC（Sno，Cno，Grade）

SL（Sno，Sdept，Sloc）函数依赖图：二、2NF第39页/共70页41/48定义6.6

若关系模式R∈1NF，并且每一个非主属性都完全函数依赖于R的码，则R∈2NF。

例：SLC(Sno,Sdept,Sloc,Cno,Grade)∈1NFSLC(Sno,Sdept,Sloc,Cno,Grade)∈2NF

SC（Sno，Cno，Grade）∈2NF

SL（Sno，Sdept，Sloc）∈2NF

2NF在1NF基础上消除了非主属性对码的部分函数依赖。

采用投影分解法将一个1NF的关系分解为多个2NF的关系，可以在一定程度上减轻原1NF关系中存在的插入异常、删除异常、数据冗余度大、修改复杂等问题。二、2NF第40页/共70页42/48

将一个1NF关系分解为多个2NF的关系，并不能完全消除关系模式中的各种异常情况和数据冗余。上例：

SL(Sno,Sdept,Sloc)中函数依赖：

Sno→SdeptSdept→SlocSno→Sloc Sloc传递函数依赖于Sno，即SL中存在非主属性对码的传递函数依赖。SLSnoSdeptSloc三、3NFS1CSB01S2CSB01S3CSB01S100MAB02第41页/共70页43/48解决方法采用投影分解法，把SL分解为两个关系模式，以消除传递函数依赖：SD（Sno，Sdept）DL（Sdept，Sloc）

SD的码为Sno，DL的码为Sdept。SnoSdeptSDSdeptSlocDL三、3NF第42页/共70页44/48定义6.7：关系模式R<U，F>

中若不存在这样的码X、属性组Y及非主属性Z（Z⊈Y）,使得X→Y，Y→X，Y→Z，成立，则称R<U，F>∈3NF。如果关系R的任何一个非主属性都不传递函数依赖于它的任何一个候选码，则R∈3NF。（即3NF在2NF的基础上消除了非主属性对码的传递函数依赖。）例，SL(Sno,Sdept,Sloc)∈2NFSD（Sno，Sdept）∈3NFDL（Sdept，Sloc）∈3NF三、3NF第43页/共70页45/48

若R∈3NF，则R的每一个非主属性既不部分函数依赖于主码也不传递函数依赖于主码。

采用投影分解法将一个2NF的关系分解为多个3NF的关系，可以在一定程度上解决原2NF关系中存在的插入异常、删除异常、数据冗余度大、修改复杂等问题。

将一个2NF关系分解为多个3NF的关系后，并不能完全消除关系模式中的各种异常情况和数据冗余三、3NF第44页/共70页46/48例1

属性组U上的一组函数依赖F：F＝｛Sno→Sdept,Sdept→Mname,(Sno,Cno)→Grade｝

SnoCnoSdeptMnameGrade三、3NFSC(Sno，Cno，Grade)SD(Sno，Sdept)DM(Sdept，Mname)第45页/共70页47/48第6章小结第46页/共70页48/48四、BC范式（BCNF）定义6.8：设关系模式R<U，F>∈1NF，如果对于R的每个函数依赖X→Y，若Y不属于X，则X必含有候选码，那么R∈BCNF，即：若R∈BCNF每一个决定属性集（因素）都包含（候选）码R中的所有属性（主、非主属性）都完全函数依赖于码，不存在决定因素不包含码的函数依赖

BCNF范式和第三范式的区别在于：第三范式只对非主属性消除了操作异常；而BCNF范式则是针对U中任何属性，包括了主属性。第47页/共70页49/48

BCNF的关系模式所具有的性质

1）所有非主属性都完全函数依赖于每个候选码

2）所有主属性都完全函数依赖于每个不包含它的候选码

3）没有任何属性完全函数依赖于非码的任何一组属性

BCNF满足3NF(BCNF3NF2NF1NF)

如果R∈3NF，且R只有一个候选码，则R必属于BCNF

BCNF范式是基于函数依赖集的最高级别的范式四、BC范式（BCNF）第48页/共70页50/48例：在关系模式STJ（S，T，J）中，S表示学生，T表示教师，J表示课程。

每一教师只教一门课，每门课由若干教师教。某一学生选定某门课，就确定了一个固定的教师。某个学生选修某个教师的课就确定了所选课的名称。

(S，J)→T，(S，T)→J，T→J教师学生课程王红李明数据库王红刘晨数据库王红王敏数据库刘军张立C语言刘军刘晨C语言候选码有哪些四、BC范式（BCNF）第49页/共70页51/48函数依赖：

(S，J)→T，(S，T)→J，T→J

SJTSTJSTJ四、BC范式（BCNF）

STJ∈3NF(S，J)和(S，T)都可以作为候选码S、T、J都是主属性

STJ∈BCNFT→J，T是决定属性集，T不是候选码第50页/共70页52/48解决方法——还是分解分解为两个小关系模式(都是BCNF的)ST(学生,教师)TJ(教师,课程)或SJ(学生,课程)TJ(教师,课程)两种分解都损失了：“一个学生选定某门课程，就对应一个固定的教师”语义函数依赖“(学生,课程)->教师”在分解后没有保持！四、BC范式（BCNF）第51页/共70页53/48事实上，关系模式即使到了BCNF，还可能存在由于非函数依赖带来的冗余及三类异常。这些数据依赖有多值依赖和连接依赖。我们只简单要求多值依赖。在多个实体间联系为1对多联系时可能出现多值依赖带来的问题。四、BC范式（BCNF）第52页/共70页54/486.2.7多值依赖例:

学校中某一门课程由多个教师讲授，他们使用相同的一套参考书。 关系模式Teaching(C,T,B)

课程C、教师T和参考书B课程C教员T参考书B物理李勇王军普通物理学

光学原理

物理习题集数学李勇张平数学分析微分方程高等代数计算数学张平周峰数学分析……………….……表6.3非规范化关系示例第53页/共70页55/48

Teaching∈BCNF:

Teach具有唯一候选码(C，T，B)，即全码

Teaching模式中存在的问题

(1)数据冗余度大：有多少名任课教师，参考书就要存储多少次(2)插入操作复杂：当某一课程增加一名任课教师时，该课程有多少本参照书，就必须插入多少个元组。例如物理课增加一名教师周英，需要插入3个元组：（物理，周英，普通物理学）;（物理，周英，光学原理）;（物理，周英，物理习题集）(3)删除操作复杂：某一门课要去掉一本参考书，该课程有多少名教师，就必须删除多少个元组(4)修改操作复杂：某一门课要修改一本参考书，该课程有多少名教师，就必须修改多少个元组

产生原因：存在多值依赖表6.4Teaching(二维表表示)课程C教员T参考书B物理物理物理物理物理物理数学数学数学数学数学数学

…李勇李勇李勇王军王军王军李勇李勇李勇张平张平张平

…普通物理学光学原理物理习题集普通物理学光学原理物理习题集数学分析微分方程高等代数数学分析微分方程高等代数…6.2.7多值依赖第54页/共70页56/486.2.7多值依赖定义6.9

设R(U)是一个属性集U上的一个关系模式，X、Y和Z是U的子集，并且Z＝U－X－Y，多值依赖

X→→Y成立当且仅当对R的任一关系r，r在（X，Z）上的每个值对应一组Y的值，这组值仅仅决定于X值而与Z值无关

例

Teaching（C,T,B）*在关系模式Teaching中,对于一个(物理,光学原理)有一组T值{李勇,王军},这组值仅仅决定于课程C上的值(物理)。也就是说对于另一个(物理,普通物理学)它对应的一组T值仍是{李勇,王军},尽管这时参考书B的值已经改变了。因此T多值依赖于C,即C→→T。课程C教员T参考书B物理物理物理物理物理物理数学数学数学数学数学数学

…李勇李勇李勇王军王军王军李勇李勇李勇张平张平张平

…普通物理学光学原理物理习题集普通物理学光学原理物理习题集数学分析微分方程高等代数数学分析微分方程高等代数…第55页/共70页57/48形式化定义：关系模式R(U)，X、Y、ZU，Z=U–X–Y，对于R(U)的任一关系r，若存在元组t1，t2，使得t1[X]=t2[X]，那么就必然存在元组t3，t4(可以与t1,t2相同)，使得：

t3[X]=t4[X]=t1[X]=t2[X]t3[Y]=t1[Y]，t4[Y]=t2[Y]t3[Z]=t2[Z]，t4[Z]=t1[Z]

则称Y多值依赖于X，记作XY（交换t1和t2的Y值所得两个新元组必在r中）例:

若(C#,T#,B#)满足C#T#，含有元组

t1=(C1,T1,B1)，t2=(C1,T2,B2)，则也一定含有元组

t3=(C1,T1,B2)，t4=(C1,T2,B1)。6.2.7多值依赖第56页/共70页58/48ABCa1b1c1a1b1c2a2b1c1a2b1c3CB？若使CB成立，需加入哪些元组？ABCa1b1c1a2b1c1t1t2ABCt2.At1.Bt1.Ct1.At2.Bt2.Ct3t4t3t46.2.7多值依赖ABCa2b1c1a1b1c1第57页/共70页59/48平凡多值依赖和非平凡的多值依赖： 若X→→Y，而Z=；则称X→→Y是平凡的多值依赖（否则称为非平凡的多值依赖）。多值依赖的性质：1.对称(互补)性：若X→→Y，则X→→Z，其中Z=U-X-Y。2.传递性：若X→→Y，Y→→Z；则X→→Z-Y。3.函数依赖是多值依赖的特殊情况：若X→Y，则X→→Y。6.2.7多值依赖第58页/共70页60/48多值依赖vs函数依赖区别函数依赖规定某些元组不能出现在关系中，也称为相等产生依赖多值依赖要求某种形式的其它元组必须在关系中，称为元组产生依赖有效性范围XY的有效性仅决定于X、Y属性集上的值，它在任何属性集W（XYWU）上都成立 若XY在R(U)上成立，则对于任何Y′Y，均有XY′成立6.2.7多值依赖第59页/共70页61/48多值依赖vs函数依赖有效性范围XY的有效性与属性集范围有关 *XY在属性集W（XYWU）上成立，但在U上不一定成立 *XY在U上成立

XY在属性集W（XYWU）上成立 *若在R(U)上，XY在属性集W(XYWU)上成立，则称XY为R(U)的嵌入式多值依赖 *若XY在R(U)上成立，则不能断言对于Y′Y，是否有XY′成立6.2.7多值依赖第60页/共70页62/48ABCDa1b1c1d1a1b1c1d2a1b2c2d1a1b2c2d2AB在{ABC}上成立，而在{ABCD}上不成立ABC成立AB