二次根式知识点总结及其应用

二次根式知识点及其应用二次根式的概念：（1）形如的式子叫做二次根式.（即一个的算术平方根叫做二次根式（2） 二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于零。如:显0（a>0）二次根式化简：（1）最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；③被开方数的每一个因数的指数都小于根指数2.（2） 用来判断一个二次根式是否是最简二次根式记忆：最简二次根式简记：最简根式三条件，号内不把字母含，幕指数根指数要互质，幕指数小于根指数。（3） 二次根式化简的一般步骤：①把带分数或小数化成假分数②把开方数分解成质因数或分解因式③把根号内能开尽的数移到根号外④化去根号内的分母，或者化去分母中的根号⑤约分几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。分母有理化（1）有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果他们的积不含有二次根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式。常用：。与如\a+b与/a+b\a-b与<a+寸b与Va--Jbgb+gd与（2）分母有理化：在分母含有根号的式子中，把分母中的根号化去。分母有理化方法：

例如:①分子与分母同乘以分母的有理化因式例如:a、；a专a•b、一ab丁=十=一 一=^— (aZ0,b>0)b <b <bfb b1\,'a+tb(1\,'a+tb(a>0,b>0,a丰b)(ta+\：b)(Va-\b)a-b②分子或分母分解因式，约去分母中含有二次根式的因式例如： ，—尤+2xy+y(侦x+p'y)2==-== =\’x+\.‘y(x>0,y>0)萼x+丫y 、；x+(y=志+W)0-5)=怎ry(x>0,y>0)vx+vy vx+\,・'y4.把因式移到根号内、外的方法：①当根号外的数是一个负数时，把负号留在根号外，然后把这个数平方后移到根号内；②当根号外数是一个正数时，把这个数平方后移到根号内。如：a<b= (a>0);a\b= (a<0)①当根号内的数是一个负数时，开方移到根号外后填上负号；②当根号内数是一个正数时，直接开方移到根号外。如：\：a2b= (a>0);\/a2b= (a<0)三.二次根式的性质：非负性：a>0(a>0)(va)2= (a>0)\?a2=问：(2)与(3)的异同点？(4)v'(4)v'ab=(a>0,b>0)(5)(a= (a>0 b>0)四.二次根式的运算：二次根式乘法法则加X’b=二次根式除法法则二次根式的加减：(一化，二找，三合并)(1)将每个二次根式化为最简二次根式；注意：化简二次根式的方法：如果被开方数是整数或整式，先将其分解因数或分解因式，然后把开的尽方的因数或因式开出来。E2= (a2b3= J(X2+1)3=、；ca-2ab+b2=如果被开方数中含有分数或分式，就利用分数或分式的基本性质将分母化成平方然后开出来。TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"4帝 1= /1有 辛—\12=1 ―1 _=行+7- 、心7找出其中的同类二次根式；合并同类二次根式。Ps:类似于合并同类项，关键是把同类二次根式合并。二次根式的混合运算：原来学习的运算律(结合律、交换律、分配律)仍然适用二、二次根式的应用对二次根式的认识一个自然数的算术平方根为a(a>0)，则与这个自然数相邻的两个自然数的

算术平方根为（（A）a—1,a+1（B）、：a—1,a+1（C）七02—1,\：a2+1（D）a2—1,a2+1若2x+1的平方根是±5,则J4x+1=.已知：最简二次根式*0+1与a—b23的被开方数相同，则a+b=若x是t8的整数部分，y是<8的小数部分，则x=,y=已知很丽=4X+也，且0<x<y，则满足上式的整数对（乙〉）有_2、根据二次根式有意义的条件确定未知数的值1：使七百二+—二有意义的x的取值范围2.若tx—12.若tx—1+v'1—x=（x+y）2，贝。x一y=3.当x时，式子H有意义时，式子次一苴有意义3.当xyl3x-24.若代数式I砰一3有意义，则工的取值范围是（）2 侦..2 .2X>— _ 乂旦一 乂旦一 _ XS— _A. 3且"3B. 3C. 3且&芋3D. 3且有_35.等式+2血+2成立的条件是（A.&丑0 B.白n—2 C.5.等式+2血+2成立的条件是（A.&丑0 B.白n—2 C.白者—2D.口十2例1.已知：。x一4+w2x+y=0，求x-y的值.w2x+y=0，求x-y的值.3、非负性的运用等于（则，等于（D.D.13、若尤，y为实数，且卜+2|+Jy-2=0，则住］20C的值为( )Iy)A.1B.-1 C.2D.-24、二次根式估算⑴如右图，在数轴上A，B两点之间表示整数的点有个.TOC\o"1-5"\h\zA li3 韦⑵估计、.：30的值( )A.在3到4之间B.在4到5之间C.在5到6之间D.在6到7之间⑶5-遍的整数部分是4估算而+2的值( )A.在5和6之间 B.在6和7之间C.在7和8之间D.在8和9之间5、运用数形结合，进行二次根式化简把因式移到根号内、外TOC\o"1-5"\h\z若a<0,b>0，则4-a3b化简得( )(A)-a、：一ab (B)-gab(C)a、<-ab (D)a^Jab已知ab>0,bc<0，化简j一^bL的结果( )(A)竺床(B)竺F(C)-竺F (D)-Lacb2 b2 b2 b2(a-1)：-——中根号外的(a-1)移入根号内()Va一1

(A)v'a—1 (B)p'1—a(C)―丹a—1 (D)—七1—a把式子m<_—中根号外的槛移到根号内，得（）A.-扁B. C.-D.-插5.若xy。0,且JX3y2=—xy\[x成立的条件是.6.当壬《°,化简M 卫二（2）识别最简二次根式和同类二次根式TOC\o"1-5"\h\z下列二次根式是最简二次根式的是（ ）A.2£3B.（8X3C.*D.*2、 下列根式中不是最简二次根式的是（ ）.A.拒B.而C.V8 D.应在下列二次根式中，与、方是同类二次根式的是（）A. <'3aB. \；3A. <'3aB. \；3a3C.D.、'a4在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）A.<3B.崩2C.、8D.七2—15.若45.若4化成最简二次根式后的被开方数相同，则m的值为(A)(A)20(B)旦3 2613(C)立815(D)—8利用二次根式的性质来化简若x<0，则|TX2—X等于( )(A)0 (B)—2x (C)2x (D)0或2x若—1<x<1，^U\：'(x—1)2+|x+1|=3.当a<2时，化简寸1—4a+4a2+|2a—1|等于( )(A)2 (B)2—4a (C)a(D)0

4.5.-4.5.-4等于化简\：'4x2-4x+1一2x一3/得( )(A)2 (B)-4x+4(C)-2 (D)4x-46.已知下列命题：①JG-寿1=2-必； ②』(3-兀)2-3-叫=6；③a2+(-3)2=(a+3)(a-3)； ④*。2+b2=a+b.TOC\o"1-5"\h\z其中正确的有( )(A)0个(B)1个 (C)2个(D)3个已知a,b是实数，且<a2-2ab+b2=b-a，则a与b的大小关系是( )(A)a<b (B)a>b (C)a>b(D)a<b若化简1-x|-Jx2—8x+16=2x-5，则x的取值范围以一有'=-2a当就时， I实数a、b在数轴上的位置如图所示.化简、云E+,.•萨而2=ab

II"III■II■0 1濯综合化简题已知x,y都是实数,且满足y<J7—1+ 1+0.5，化简l1-^y-12.已知x,y是实数，且y=、*2-9+泌-x2一2，求5x+6y的值x+3

3.若5-上=m，则F的结果为（y(A)(A)m2+2(B)m2-2(D)Vm-24.化简2巨—%+18的结果是（）4.化简2巨—%+18的结果是（）S.的值为（）C.A.就B.一廿C.石D.-扁6.若x=Vm一加，y=<m+<n，则xy的值是（ ）.A.2揭B.2插C.m+nD.m一n7.化简。方-宜=a+、；ab8.计算,用+[3一2、：'2=(5)1、下列计算正确的是：（).A.&-还=、3 B..、3-C=iC.巨+切=云 D2石=*2、下列运算正确的是（).a.*+42=・、3B.十3x通=十6C.(3-1)2=3-1D.\/52—32=5—33、下面计算正确的是（)A.3+3=3打B. v27+、3=3C.v'2..春=<5 D.4=±24、设a>0,b>0,则下列运算错误的是（ ）

A.VOb=插,A.VOb=插,用B•Va+b='/a+\b C•(Ja)2=a D.5、下列各数：-,0,9,0.23,cos60。,22,0.303003•••,1-巨中，无理数的个数是()2 7A2个B3个C4个D5个6、下列各数中，与6、下列各数中，与2-^3的积为有理数的是（ ）7、(A)2+* (B)2f3 (C)-2+* (D)<37、已知：、.顽是整数，则满足条件的最小正整数n为（）(A)2(B)3(A)2(B)3(C)4(D)8.已知＜12二是正整数，则实数n的最大值为（8.已知＜12二是正整数，则实数n的最大值为（A.12B.11C.8D.6・二次根式的混合运算1.计算下列各题：(1)海x6・二次根式的混合运算1.计算下列各题：(1)海x-22：+2：2?;(2)(372+显)(718-4*3)(3)n+*尸+n+2-'亍(n>2)(4)k；2707

n+2-(n2-4n+2+扑2-4 3-a2；-+3a；3-3<108a.(5)48-g-^6+33-2)0+^^1(6)(可)-1-(寸5—2)o+瑚18-(-2)2,J22.已知a=(2+5)006<5-2)。。7-2(3+2)+(顷，求a2+4a的值.若|2x-y-4与G-2"1）2互为相反数，求代数式Jx3+x2y+4y3的值.(由-崩)"+4&S已知：必'+护一物-次+5=。,求口+&?的值.已知实数a，b，c满足1|a-b+5b+c+c2-2c+1=0，求a(b+c)2先化简在求值：(1)已知x=2,y=百，求(二--^)：里的值。x-yx2-y2x+y其中x= ,y= =2-必2+、'3(2)(x-y -xy其中x= ,y= =2-必2+、'3x2-2xy+y2x2-y2y-17、二次根式的大小比较1.比较下列各组中两个数的大小.⑴2^7与332 ⑵-232与-13202比较大小：扬-&与搏-、耳比较大小：<2+3与岳+*5设a=百-Jl,b=2-3,c=