2004年普通高等学校招生全国统一考试文科全国卷Ⅱ

2004年一般高等学校招生全国一致考试Ⅱ本试卷分第I卷（选择题）和第II第I卷参照公式：假如事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）假如事件A、B互相独立，那么P（A·B）=P（A）·P（B）

(四川、吉林、黑龙江、云南等地)文科数学卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟.球的表面积公式S=4R2此中R表示球的半径，球的体积公式假如事件A在一次试验中发生的概率是P，那么V=4R3，n次独立重复试验中恰好发生k次的概率3此中R表示球的半径kkn－knP(k)=CnP(1－P)一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的.1．已知会集M{x|x24|,N{x|x22x30}，则会集MN=（）A．{x|x2}B．{x|x3}C．{x|1x2}D．{x|2x3}2．函数y1(x5)的反函数是（）x5A．y15(x0)B．yx5(xR)xC．y15(x0)D．yx5(xR)x3．曲线yx3x21在点（1，－1）处的切线方程为（）3A．y3x4B．y3x2C．y4x3D．y4x54．已知圆C与圆(x1)2y21关于直线yx对称，则圆C的方程为（）A．(x1)2y21B．x2y21C．x2(y1)21D．x2(y1)215．已知函数ytan(2x)的图象过点(,0)，则可以是（）12A．6B．6C．12D．126．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（）A．75°B．60°C．45°D．30°7．函数yex的图象（）A．与yex关于y轴对称Byex的图象的图象关于坐标原点对称．与C．与yex的图象关于y轴对称D．与yex的图象关于坐标原点对称8．已知点A（1，2）、B（3，1），则线段AB的垂直均分线的方程是（）A．4x2y5B．4x2y5C．x2y5D．x2y59．已知向量a、b满足：||=1，||=2，|－|=2，则|+|=（）abababA．1B．2C．5D．610．已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则2球心O到平面ABC的距离为（）A．1B．3C．2D．6333311．函数ysin4xcos2x的最小正周期为（）A．B．C．D．24212．在由数字1，2，3，4，5构成的全部没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（）A．56个B．57个C．58个D．60个第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．已知a为实数，(xa)10睁开式中x7的系数是－15，则a.14．设x,y满足拘束条件：x0,xy,则z3x2y的最大值是.2xy1,15．设中心的原点的椭圆与双曲线2x22y2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是.16．下边是关于四棱柱的四个命题：①如有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱此中，真命题的编号是（写出全部正确结论的编号）.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（本小题满分12分）

.已知等差数列

{an}，a2

9,a5

21.（Ⅰ）求

{an}的通项公式；（Ⅱ）令bn2an，求数列{bn}的前n项和Sn.18．（本小题满分12分）已知锐角三角形ABC中，sin(AB)3,sin(AB)1.（Ⅰ）求证tanA2tanB；55（Ⅱ）设AB=3，求AB边上的高.19．（本小题满分12分）已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A、B两组，每组4支.求：（Ⅰ）A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率；（Ⅱ）A组中最少有两支弱队的概率.20．（本小题满分12如图，直三棱柱

分）ABC—A1B1C1中，∠

ACB=90°，AC=1，CB=

2，侧棱

AA1=1，侧面

AA1B1B的两条对角线交点为

D，B1C1的中点为M.（Ⅰ）求证CD⊥平面BDM；（Ⅱ）求面B1BD与面CBD所成二面角的大小.21．（本小题满分12分）若函数f(x)1x31ax2(a1)x1在区间（1，4）内为减函数，在区间26，+∞）上为增函数，试务实数a的取值范围.22．（本小题满分

14分）给定抛物线

C：

y2

4x,F是

C的焦点，过点

F的直线

l

与C订交于

A、B两点.（Ⅰ）设

l

的斜率为

1，求

OA与OB夹角的大小；（Ⅱ）设

FB

AF,若

[4,9]，求

l

在

y轴上截距的变化范围

.2004年一般高等学校招生全国一致考试文科数学（必修+选修Ⅱ）参照答案一、选择题CABCACDBDBBC二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分.把答案填在题中横线上.13．114．515．x2y2116．②④22三、解答题17．本小题主要观察等差、等比数列的看法和性质，观察运算能力，满分12分.解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，依题意得方程组a1d9,解得a15,d4.a14d21,因此{an}的通项公式为an4n1.（Ⅱ）由an4n1得bn24n1,因此{bn}是首项b125，公式q24的等比数列.于是得{bn}的前n项和25(24n1)32(24n1)Sn24115.18．本小题主要观察三角函数看法，两角和、差的三角函数值以及应用、分析和计算能力，满分12分.（Ⅰ）证明：sin(AB)3,sin(AB)1,55sinAcosBcosAsinB3,sinAcosB2,tanA55112.sinAcosBcosAsinBcosAsinBtanB.55因此tanA2tanB.（Ⅱ）解：AB2即tanAtanB1tanAtanB

，sin(AB)3,tan(AB)3,543，将tanA2tanB代入上式并整理得42tan2B4tanB10.26，舍去负值得26解得tanBtanB，22tanA2tanB26.设AB边上的高为CD.则AB=AD+DB=CDCD2CD.tanAtanB26由AB=3，得CD=2+6.因此AB边上的高等于2+6.19．本小题主要观察组合、概率等基本看法，互相独立事件和互斥事件等概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分.（Ⅰ）解法一：三支弱队在同一组的概率为C51C531.C84C847故有一组恰有两支弱队的概率为116.77解法二：有一组恰有两支弱队的概率C32C52C32C526.C84C847（Ⅱ）解法一：A组中最少有两支弱队的概率C32C52C33C511C84C842解法二：A、B两组有一组最少有两支弱队的概率为1，因为对A组和B组来说，最少有两支弱队的概率是同样的，因此A组中最少有两支弱队的概率为1.220．本小题主要观察线面关系和直棱柱等基础知识，同时观察空间想象能力和推理运算能力.满分12分.解法一：（Ⅰ）如图，连结CA、AC、CM，则CA=2.111CB=CA1=2，∴△CBA1为等腰三角形，又知D为其底边A1B的中点，CD⊥A1B.∵A1C1=1，C1B1=2，∴A1B1=3又BB1=1，A1B=2.∵△A1CB为直角三角形，D为A1B的中点，112，DM=C1M.∴CD=A1B=1，CD=CC1，又DM=AC1=222∴△CDM≌△CC1M，∠CDM=∠CC1M=90°，即CD⊥DM.因为A1B、DM为平在BDM内两条订交直线，因此CD⊥平面BDM.（Ⅱ）设F、G分别为BC、BD的中点，连结11121FG=，FG⊥BD.2由侧面矩形BB1A1A的对角线的交点为D知BD=BD=1AB=1，2因此△BB1D是边长为1的正三角形.于是B1G⊥BD，B1G=3.∴∠B1GF是所求二面角的平面角，2又B1F2=B1B2+BF2=1+（2)2=3，2232123∴cosB1G2FG2B1F2(2)(2)23.B1GF2B1CFG313222即所求二面角的大小为arccos3.3解法二：如图，以C为原点建立坐标系.（Ⅰ）B（2，0，0），B1（2，1，0），A1（0，1，1），D（2,1,1)，M（2，1，0），2222CD(2,1,1),A1B(2,1,1),222DM(0,1,1),22则CDA1B0,CDDM0,∴⊥1，⊥CDABCDDM.因为AB、DM为平面BDM内两条订交直线，因此CD⊥平面BDM.1（Ⅱ）设BD中点为G，连结B1G，则G（32,1,1），BD(2、1、1），B1G(2,3,1),444222444BDB1G0,BDB1G.又CDBD,BD与B1G的夹角等于所求的二面角的平面角.cosCDB1G3.|CD||B1G|3因此所求的二面角等于arccos3.321．本小题主要观察导数的看法的计算，应用导数研究函数单调性的基本方法，观察综合运用数学知识解决问题的能力.满分12分.解：函数f(x)的导数()21.令，解得fxxaxaf(x)0x1或xa1.当a11即a2时,函数f(x)在(1,)上是增函数,不合题意当a即时函数在上为增函数,在内为减函数在(a1,)11a2,f(x)(,1)(1,a1),为增函数.依题意应有当x(1,4)时,f(x)0,当x(6,)时,f(x)0.因此4a16.解得5a7.因此a的取值范围是[5，7].22．本小题主要观察抛物线的性质，直线与抛物线的关系以及分析几何的基本方法、思想和综合解题能力。满分14分。解：（Ⅰ）C的焦点为F（1，0），直线l的斜率为1，因此l的方程为yx1.将yx1代入方程y24x，并整理得x26x10.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1x26,x1x21.OAOB(x1,y1)(x2,y2)x1x2y1y22x1x2(x1x2)13.|OA||OB|x12y12x22y22x1x2[x1x24(x1x2)16]41.cos(OA,OB)OAOB314.|OA||OB|41因此OA与OB夹角的大小为arccos314.41（Ⅱ）由题设FBAF得(x21,y2)