上海顾村中学2021年高一数学理期末试题含解析

上海顾村中学2021年高一数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.△ABC中，B=30°，，，那么△ABC的面积是（

）A. B. C.或 D.或参考答案：D试题分析：由正弦定理得时三角形为直角三角形，面积为，当时三角形为等腰三角形，面积为

2.函数的大致图象是()

参考答案：C3.（5分）若圆（x﹣3）2+（y+5）2=r2上有且只有两个点到直线4x﹣3y=17的距离等于1，则半径r的取值范围是（） A． （0，2） B． （1，2） C． （1，3） D． （2，3）参考答案：C考点： 直线与圆的位置关系．专题： 直线与圆．分析： 设圆心（3，﹣5）到直线4x﹣3y=17的距离为d，则由题意可得r﹣1＜d＜r+1，利用点到直线的距离公式求出d的值，解不等式求得半径r的取值范围．解答： 设圆心（3，﹣5）到直线4x﹣3y=17的距离为d，则由题意可得r﹣1＜d＜r+1．即r﹣1＜＜r+1，解得1＜r＜3，故选C．点评： 本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，属于中档题．4.下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为

（

）（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；（2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速。A、（1）（2）（4）

B、（4）（2）（3）

C、（4）（1）（3）

D、（4）（1）（2）参考答案：D略5.（3分）若，=（﹣2，4），=（4，6），则=（） A． ，（1，5） B． ，（3，1） C． ，（6，2） D． ，（﹣3，﹣1）参考答案：B考点： 平面向量的坐标运算．专题： 平面向量及应用．分析： 根据平面向量的线性运算以及坐标运算，求出即可．解答： ∵=（﹣2，4），=（4，6），∴=﹣=（4+2，6﹣4）=（6，2），∴=（3，1）．故选：B．点评： 本题考查了平面向量的线性运算以及坐标运算问题，是基础题目．6.（5分）已知全集U=R，集合A={x|x＞1}，集合B={x|3x﹣4≤0}，满足如图所示的阴影部分的集合是（） A． {x|x＞1} B． {x|1＜x≤} C． {x|x≤1} D． {x|x＞}参考答案：D考点： Venn图表达集合的关系及运算．专题： 集合．分析： 先确定阴影部分对应的集合为（?UB）∩A，然后利用集合关系确定集合元素即可．解答： 阴影部分对应的集合为（?UB）∩A，∵B={x|3x﹣4≤0}={x|x≤}，∴?UB={x|x＞}，∴（?UB）∩A={x|x＞}故选：D点评： 本题主要考查集合的基本运算，利用Venn图，确定阴影部分的集合关系是解决本题的关键．7.终边在直线y=x上的角α的集合是(

)．A.{α|α=k?360°+45°，k∈Z}

B.{α|α=k?360°+225°，k∈Z}

C.{α|α=k?180°+45°，k∈Z}

D.{α|α=k?180°-45°，k∈Z}

参考答案：C8.若集合，则集合A真子集的个数是（）

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个参考答案：C9.如图是某学校某年级的三个班在一学期内的六次数学测试的平均成绩y关于测试序号x的函数图象，为了容易看出一个班级的成绩变化，将离散的点用虚线连接，根据图象，给出下列结论：①一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好；②二班成绩不够稳定，波动程度较大；③三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，但在稳步提升．其中正确结论的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用．【分析】直接由散点图逐一分析三个选项得答案．【解答】解：由图可可知，一班成绩始终高于年级平均水平，整体成绩比较好，故①正确；二班的成绩有时高于年级整体成绩，有时低于年级整体成绩，特别是第六次成绩远低于年级整体成绩，可知二班成绩不够稳定，波动程度较大，故②正确；三班成绩虽然多数时间低于年级平均水平，只有第六次高于年级整体成绩，但在稳步提升，故③正确．∴正确结论的个数为①②③．故选：D．10.下列条件中，能判断两个平面平行的是（）A．一个平面内的两条直线平行于另一个平面B．一个平面内的无数条直线平行于另一个平面C．平行于同一个平面的两个平面D．垂直于同一个平面的两个平面参考答案：C【考点】平面与平面之间的位置关系．【分析】A中，一个平面内的两条直线平行线平行于另一个平面，则这两个平面相交或平行；在B中，一个平面内的无数条平行线平行于另一个平面，则这两个平面相交或平行；在C中，由平面平行的判定定理得平行于同一平面的两个平面互相平行；在D中，垂直于同一个平面的两个平面平行或相交．【解答】解：在A中，一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面，则这两个平面平行；一个平面内的两条直线平行线平行于另一个平面，则这两个平面相交或平行，故A错误；在B中，一个平面内的无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面相交或平行，故B错误；在C中，由平面平行的判定定理得平行于同一平面的两个平面互相平行，故C正确；在D中，垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故D错误．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的值域为___

▲

．参考答案：12.化简：+（π＜α＜）=．参考答案：﹣【考点】三角函数的化简求值．【分析】原式被开方数分子分母都等于分母，利用同角三角函数间的基本关系及二次根式性质化简，即可得到结果．【解答】解：∵π＜α＜，∴sinα＜0，则原式=+=+==﹣．故答案为：﹣．13.某工厂生产某种产品的固定成本为2000万元，每生产一单位产品，成本增加10万元，又知总收入k是产品数θ的函数，，则总利润L(θ)的最大值是________．参考答案：略 14.已知函数的图像与直线的三个交点的横坐标分别为，那么的值是__________.参考答案：15.若函数与互为反函数，则的单调递增区间是___________.参考答案：略16.已知0＜α＜β＜，且cosαcosβ+sinαsinβ=，tanβ=，则tanα=． 参考答案：【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数基本关系的运用． 【专题】三角函数的求值． 【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系求得tan（α﹣β）的值，再利用两角和差的正切公式求得tanα的值． 【解答】解：∵0＜α＜β＜，且cosαcosβ+sinαsinβ=，∴cos（α﹣β）=，α﹣β∈（﹣，0）， ∴sin（α﹣β）=﹣，∴tan（α﹣β）==﹣，即==﹣， 求得tanα=． 故答案为：． 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的正切公式，属于基础题．17.已知函数的图象上关于y轴对称的点恰有9对，则实数a的取值范围是．参考答案：【考点】3O：函数的图象．【分析】求出函数f（x）=sin（x）﹣1，（x＜0）关于y轴对称的解析式，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：若x＞0，则﹣x＜0，∵x＜0时，f（x）=sin（x）﹣1，∴f（﹣x）=sin（﹣x）﹣1=﹣sin（x）﹣1，则若f（x）=sin（x）﹣1，（x＜0）关于y轴对称，则f（﹣x）=﹣sin（x）﹣1=f（x），即y=﹣sin（x）﹣1，x＞0，设g（x）=﹣sin（x）﹣1，x＞0作出函数g（x）的图象，要使y=﹣sin（x）﹣1，x＞0与f（x）=logax，x＞0的图象恰有9个交点，则0＜a＜1且满足f（17）＞g（17）=﹣2，f（21）＜g（21）=﹣2，即﹣2＜loga17，loga21＜﹣2，即loga17＞logaa﹣2，loga21＜logaa﹣2，则17＜，21＞，解得＜a＜，故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知如表为“五点法”绘制函数f（x）=Asin（ωx+φ）图象时的五个关键点的坐标（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）x﹣f（x）020﹣20（Ⅰ）请写出函数f（x）的最小正周期和解析式；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅲ）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．参考答案：【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数f（x）的解析式，从而求得它的周期．（Ⅱ）利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调递减区间．（Ⅲ）利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由表格可得A=2，=+，∴ω=2，结合五点法作图可得2?+φ=，∴φ=，∴f（x）=2sin（2x+），它的最小正周期为=π．（Ⅱ）令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数f（x）的单调递减区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（Ⅲ）在区间[0，]上，2x+∈[，]，sin（2x+）∈[﹣，1]，f（x）∈[﹣，2]，即函数f（x）的值域为[﹣，2]．19.某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：后得到如图的频率分布直方图．（1）求图中实数a的值；（2）若该校高一年级共有学生1000人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数．（3）若从样本中数学成绩在两个分数段内的学生中随机选取2名学生，试用列举法求这2名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的槪率．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（1）由频率分布直方图的性质能求出a的值．（2）先求出数学成绩不低于60分的概率，由此能求出数学成绩不低于60分的人数．（3）数学成绩在的学生人数为4人，由此利用列举法能求出这2名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的槪率．【解答】解：（1）由频率分布直方图，得：0.05+0.1+0.2+10a+0.25+0.1=1，解得a=0.03．（2）数学成绩不低于60分的概率为：0.2+0.3+0.25+0.1=0.85，∴数学成绩不低于60分的人数为：1000×0.85=850（人）．（3）数学成绩在的学生人数为40×0.1=4（人），设数学成绩在的学生为a，b，c，d，从样本中数学成绩在两个分数段内的学生中随机选取2名学生，基本事件有：{AB}，{Aa}，{Ab}，{Ac}，{Ad}，{Ba}，{Bb}，{Bc}，{Bd}，{ab}，{ac}，{ad}，{bc}，{bd}，{c，d}，其中两名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的情况有：{Aa}，{Ab}，{Ac}，{Ad}，{Ba}，{Bb}，{Bc}，{Bd}，共8种，∴这2名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的槪率为．【点评】本题考查频率直方图的应用，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．20.（本小题满分12分）今日必看在中，今日必看边上的高所在直线方程为的平分线所在直线的方程为，若点的坐标为，求点和点的坐标.今日必看参考答案：解.

4分即]今日必看

6分又的平分线所在直线方程为今日必看今日必看

10分由今日必看即

12分略21.（本题满分14分）一个包装箱内有6件产品，其中4件正品，2件次品。现随机抽出两件产品，（1）求恰好有一件次品的概率。（2）求都是正品的概率。（3）求抽到次品的概率参考答案：将六件产品编号，ABCD(正品),ef（次品）,从6件产品中选2件，其包含的基本事件为：（AB）（AC）（AD）（Ae）（Af）（BC）（BD）（Be）（Bf）（CD）（Ce）（Cf）（De）（Df）（ef）.共有15种，

……………2分（1）设恰好有一件次品为事件A，事件A中基本事件数为：8则P（A）＝

……………6分（2）设都是正品为事件B，事件B中基本事件数为：6则P（B）＝

……………10分（3）设抽到次品为事件C，事件C与事件B是对立事件，则P（C）＝1－P(B)＝1－

……………14分22.（本小题满分12分）已知直三棱柱中，，是中点，是中点．（Ⅰ）求三棱柱的体积；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）求证：∥面．参考答案：（Ⅰ）

---------------------------------3分（Ⅱ）∵,∴为等腰三角形∵为中点