上海真如中学2021年高三数学理下学期期末试卷含解析

上海真如中学2021年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知命题，若是真命题，则实数的取值范围为

A.

B.

C.

D.参考答案：D2.用半径为R的圆铁皮剪一个内接矩形，再以内接矩形的两边分别作为圆柱的高与底面半径，则圆柱的体积最大时，该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设圆柱的高为x，则其为内接矩形的一边长，那么另一边长为y=2，利用导数性质求出当x=时，此圆柱体积最大．由此能求出圆柱的体积最大时，该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比．【解答】解：设圆柱的高为x，则其为内接矩形的一边长，那么另一边长为y=2，∴圆柱的体积V（X）=πy2x==π（﹣x3+4R2x），（0＜x＜2R），∴V′（x）=π（﹣3x2+4R2），列表如下：x（0，）（，2R）V′（x）+0﹣∴当x=时，此圆柱体积最大．∴圆柱体体积最大时，该圆内接矩形的两条边长分别为和2=，∴圆柱的体积最大时，该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比为：=．故选：C．3.某班有50人，一次数学考试的成绩服从正态分布．已知，估计该班本次考试学生数学成绩在120分以上的有（

）A．5人

B．6人

C．7人

D．8人参考答案：D1、已知全集，集合，，则（

）A、

B、

C、

D、参考答案：：D5.实系数一元二次方程的两个实根为，若有，则的取值范围是A.

B.

C.

D.参考答案：D略6.已知是定义在上的函数，其图象是一条连续的曲线，且满足下列条件：①的值域为，且；②对任意不相等的，都有．那么，关于的方程在区间上根的情况是

（

）A．没有实数根

B．有且仅有一个实数根C．恰有两个不等的实数根

D．实数根的个数无法确定参考答案：B7.已知集合，则B中所含元素的个数为A.3

B.6

C.8

D.10参考答案：D当时，。当时，。当时，。当时，。所以B中所含元素的个数为10个，选D.8.在平行四边形中，点为的中点，与的交点为，设，则向量（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C9.已知倾斜角为的直线与直线x-2y十2=0平行，则tan2的值 A． B． C． D．参考答案：B直线的斜率为，即直线的斜率为，所以，选B.10.如图，E、F分别是三棱锥P-ABC的棱AP、BC的中点，PC＝10，AB＝6，EF＝7，则异面直线AB与PC所成的角为（

）A．60°B．45°C．0°D．120°参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f（x）=（sinx+cosx）cosx，则f（﹣）=

．参考答案：【考点】三角函数的化简求值．【分析】先根据二倍角公式和两角和的正弦公式f（x）=+sin（2x+），再代值计算即可．【解答】解：f（x）=（sinx+cosx）cosx=sinxcosx+cos2x=sin2x+（1+cos2x）=+sin（2x+），∴f（﹣）=+sin（2×+）=+×=故答案为：12.若函数的最小正周期为，则的值为

．参考答案：013.则

.参考答案：914.三角形ABC中，AB=2且AC=2BC，则三角形ABC面积的最大值为．参考答案：【考点】正弦定理．【分析】设A（﹣1，0），B（1，0），C（x，y），由AC=2BC，得C点轨迹为以（，0）为圆心，以为半径的圆，可求三角形高为时，S△ABC最大，即可得解．【解答】解：设A（﹣1，0），B（1，0），C（x，y），则由AC=2BC，得，=2，化简得：（x﹣）2+y2=，所以C点轨迹为以（，0）为圆心，以为半径的圆，所以S△ABC最大值为：=，所以三角形ABC面积的最大值为．故答案为：．【点评】本题主要考查了圆的轨迹方程，三角形面积公式的应用，可得了转化思想和数形结合思想，属于中档题．15.如果对于函数的定义域内任意两个自变量的值，当时，都有且存在两个不相等的自变量，使得，则称为定义域上的不严格的增函数．已知函数的定义域、值域分别为，，，且为定义域上的不严格的增函数，那么这样的函数共有________个．参考答案：9试题分析：由题意，若函数g（x）是三对一的对应，则有{1，2，3}对应1；{1，2，3}对应2；{1，2，3}对应3三种方式，故此类函数有三种，若函数是二对一的对应，则有{1，2}对1，3对2；；{1，2}对1，3对3，有两种；1对1，{2，3}对2；1对1，{2，3}对3，有两种；1对2，{2，3}对3，有一种；若函数是一对一的对应，则1对1，2对2，3对3，共一种；综上，这样的g（x）共有3+2+2+1+1=9种.考点：1.函数单调性的性质；2.分类讨论的思想方法16.设数列的前项和为，且，则___________参考答案：17.已知平面向量，．若，则_____________．参考答案：解析：因为，所以．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题12分）椭圆的方程为，其右焦点，右准线为，斜率为的直线过椭圆的右焦点，并且和椭圆相交于.（1）求椭圆的方程；（2）若，问点能否落在椭圆的外部，如果会，求出斜率的取值范围；不会，说明理由；（3）直线与右准线交于点，且，又有，求的取值范围.参考答案：解：（1）由条件，可得，所以椭圆的方程为；（2）设直线：，联立椭圆方程可得设，点，由韦达定理，，如果点在椭圆的外部，则有，解得，.所以，当时，点在椭圆的外部（3）根据条件，，又，所以，由韦达定理

，由整理得

，由，，解得

，且.略19.如图所示多面体中，AD⊥平面PDC，ABCD为平行四边形，E为AD的中点，F为线段BP上一点，∠CDP＝，AD=，AP=，PC=.（Ⅰ）若F为BP的中点，求证：EF∥平面PDC；（Ⅱ）若,求直线与平面所成角的正弦值.参考答案：解（Ⅰ）取PC的中点为O，连FO,DO，∵F,O分别为BP，PC的中点，∴∥BC，且,又ABCD为平行四边形,∥BC，且,∴∥ED，且∴四边形EFOD是平行四边形

---------------------------------------------2分即EF∥DO

又EF平面PDC

∴EF∥平面PDC．

---------------------------------------------4分（Ⅱ）以DC为轴，过D点做DC的垂线为轴，DA为轴建立空间直角坐标系，则有D(0,0,0)，C（2，0，0）,B（2，0，3），P（，A（0，0，3）

------------------------------6分设，∴则

-----------------------------8分设平面PBC的法向量为则

即

取得-----------------10分∴与平面所成角的正弦值为.

-------------------------12分

略20.已知集合

（I）当=3时，求；

（Ⅱ）若，求实数的值.参考答案：解：（1）（2）m=8略21.2017年9月，国务院发布了《关于深化考试招生制度改革的实施意见》.某地作为高考改革试点地区，从当年秋季新入学的高一学生开始实施，高考不再分文理科.每个考生，英语、语文、数学三科为必考科目，并从物理、化学、生物、政治、历史、地理六个科目中任选三个科目参加高考.物理、化学、生物为自然科学科目，政治、历史、地理为社会科学科目.假设某位考生选考这六个科目的可能性相等.（1）求他所选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率；（2）已知该考生选考的三个科目中有一个科目属于社会科学科目，两个科目属于自然科学科目.若该考生所选的社会科学科目考试的成绩获等的概率都是0.8，所选的自然科学科目考试的成绩获等的概率都是0.75，且所选考的各个科目考试的成绩相互独立.用随机变量表示他所选的三个科目中考试成绩获等的科目数，求的分布列和数学期望.参考答案：（1）记“某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科学科目”为事件，则，所以该位考生选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率为；（2）随机变量的所有可能取值有0，1，2，3，因为，，所以的分布列为0123所以.22.圆的两弦AB、CD