上海爱国学校2021-2022学年高三数学理下学期期末试卷含解析

上海爱国学校2021-2022学年高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设是共面的单位向量，且，则的最大值是（

）

A．

B． C． D．参考答案：D略2.下列说法错误的是A．命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”B．“”是“”的充分不必要条件C．若为假命题，则、均为假命题．D．若命题：“，使得”，则：“，均有”参考答案：C3.下列函数中，同时具有性质：(1)图象过点(0,1)；(2)在区间(0，＋∞)上是减函数；(3)是偶函数.这样的函数是

(

)

A.y＝x3＋1

B.y＝log2(|x|＋2)

C.y＝()|x|

D.y＝2|x|参考答案：C4.已知集合P={x|1＜x≤2}，Q={x|x2+x﹣2≤0}，那么P∩Q等于(

)A．? B．{1} C．{x|﹣2≤x≤2} D．{x|1＜x≤2}参考答案：A【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；分析法；集合．【分析】根据题意，Q为方程x2+x﹣6≤0的解集，由一元二次不等式的解法可得Q，由交集的运算可得答案．【解答】解：根据题意，结合一元二次不等式的解法可得，Q={x∈R|x2+x﹣2≤0}={x|﹣2≤x≤1}，而P={x|1＜x≤2}，又交集的意义，可得P∩Q=?故选：A．【点评】本题考查集合的交集运算，注意本题中P与Q的元素的范围的不同．5.（2015?威海模拟）已知复数z满足（2﹣i）2?z=1，则z的虚部为（） A． B． C． D．参考答案：D考点： 复数代数形式的乘除运算．专题： 数系的扩充和复数．分析： 利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．解答： 解：∵（2﹣i）2=3﹣4i，∴==，∴z的虚部为，故选：D．点评： 本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．6.已知,函数与函数的图象可能是(

)

A

B

C

D参考答案：C由于，故互为倒数，而，，故的单调性相同，四个选项中，单调性相同的是C选项，故选C.

7.函数的最小正周期为A．

B．

C． D．参考答案：A8.已知集合A={x∈N*|x2﹣5x﹣6＜0}，集合B={x|3≤x≤6}，则A∩B=（）A．{1，2，3，4，5} B．{3，4，5} C．{3，4，5，6} D．{1，2，3，4，5，6}参考答案：B【考点】交集及其运算．【分析】解不等式求出集合A，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A={x∈N*|x2﹣5x﹣6＜0}={x∈N*|﹣1＜x＜6}={1，2，3，4，5}，集合B={x|3≤x≤6}，所以A∩B={3，4，5}．故选：B．【点评】本题考查了解一元二次不等式与交集的基本运算问题，是基础题．9.已知是两条不同直线，是三个不同平面，则下列正确的是(

)A．若∥∥，则∥

B．若，则∥

C．若∥∥，则∥

D．若，则∥

参考答案：D略10.若存在，，使得成立，则实数的取值范围是(

)A.

B. C.

D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知等比数列｛an｝为递增数列，且，则数列｛an｝的通项公式an=______________。参考答案：【点评】本题主要考查等比数列的通项公式，转化思想和逻辑推理能力，属于中档题。12.已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线离心率的取值范围是

。参考答案：试题分析：因为，并且，所以，因为为双曲线左支上的一点，所以所以双曲线的离心率的范围考点：双曲线的性质13.在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=．参考答案：1【考点】余弦定理；二倍角的正弦；正弦定理．【分析】利用余弦定理求出cosC，cosA，即可得出结论．【解答】解：∵△ABC中，a=4，b=5，c=6，∴cosC==，cosA==∴sinC=，sinA=，∴==1．故答案为：1．14.已知函数是奇函数，当时，则当时，

▲

。参考答案：略15.命题“?x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命题，则a的取值范围是

．参考答案：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）【考点】特称命题．【分析】若命题“?x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命题，则函数y=x2﹣ax+1的图象与x轴有两个交点，故△=a2﹣4＞0，解不等式可得答案．【解答】解：若命题“?x∈R，使x2﹣ax+1＜0”是真命题，则函数y=x2﹣ax+1的图象与x轴有两个交点，故△=a2﹣4＞0，解得：a∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．16.已知函数则方程恰有两个不同的实根时，实数的取值范围是_______________.参考答案：[，）略17.定义在R上的偶函数满足：①对任意都有成立；②；③当且时，都有．则：（Ⅰ）；（Ⅱ）若方程在区间上恰有３个不同实根，则实数的取值范围是____．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，矩形中，，．，分别在线段和上，∥，将矩形沿折起．记折起后的矩形为，且平面平面．（1）求证：∥平面；（2）若，求证：；（3）求四面体体积的最大值．

参考答案：（1）证明：因为四边形，都是矩形，

所以∥∥，．

所以四边形是平行四边形，……………2分

所以∥，

………………3分

因为平面，所以∥平面．

………………4分（2）证明：连接，设．因为平面平面，平面平面且，平面所以平面，………………5分又平面，所以．……6分

又，所以四边形为正方形，所以．

…………7分

因，所以平面，

………………8分

又，所以．

………………9分

（3）解：设，则，其中．由（2）得平面，所以四面体的体积为．

…………11分所以．

………………13分当且仅当，即时，四面体的体积最大．

……………14分

19.设函数f（x）=sin（﹣）﹣2cos2+1．（Ⅰ）求函数y=f（x）的最小正周期，并求出函数y=f（x）对称中心的坐标；（Ⅱ）求函数y=f（x）在x∈[，2]时的最大值．参考答案：【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】（I）根据三角恒等变换化简f（x），利用正弦函数的性质求出周期和对称中心；（II）根据x的范围求出x﹣的范围，利用正弦函数的单调性得出最值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sinx﹣cosx﹣cosx=sinx﹣cosx=sin（x﹣），故f（x）的最小正周期为T==8，令x﹣=kπ，解得x=+4k，k∈Z，所以函数的对称中心为（+4k，0），k∈Z．（Ⅱ）当x∈[，2]时，x﹣∈[﹣，]，∴当x﹣=时，f（x）取得最大值=．20.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，得曲线的极坐标方程为（）．（Ⅰ）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）直线：(为参数)过曲线与轴负半轴的交点，求与直线平行且与曲线相切的直线方程.参考答案：解：（Ⅰ）曲线的普通方程为：；

………………2分由得，∴曲线的直角坐标方程为：

………………4分(或：曲线的直角坐标方程为：)（Ⅱ）曲线：与轴负半轴的交点坐标为，又直线的参数方程为：，∴，得，即直线的参数方程为：得直线的普通方程为：，

……………6分设与直线平行且与曲线相切的直线方程为：

………7分∵曲线是圆心为，半径为的圆，得，解得或

………………9分故所求切线方程为：或

……………10分略21.如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=，DF=2BE=2，BE∥DF，FC=AF=2．（Ⅰ）求证：EC∥平面ADF；（Ⅱ）求证：平面ACE⊥平面BDFE；（Ⅲ）求点F到平面ACE的距离．参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由AD∥BC，FD∥BE，得平面BCF∥平面ADF，由此能证明EC∥平面ADF．（Ⅱ）推导出DF⊥DC，DF⊥DA，从而DF⊥平面ABCD，进而DF⊥AC，再求出DB⊥AC，从而AC⊥平面BDFE，由此能证明平面ACE⊥平面BDFE．（Ⅲ）设F到平面ACE的距离为h，AC∩BD=O，连接OE、OF，由V三棱锥F﹣OEA=V三棱锥A﹣OEF，能求出F到平面ACE的距离．【解答】（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）∵AD∥BC，FD∥BE，AD∩FD=D，BE∩BC=B，∴平面BCF∥平面ADF，EC?平面BEC，∴EC∥平面ADF．…（Ⅱ）∵FC=2，DC=DF=2，∴FC2=DC2+DF2，∴DF⊥DC，同理DF⊥DA，∴DF⊥平面ABCD，∴DF⊥AC，又∵四边形ABCD是菱形，∴DB⊥AC，∵BD∩DF=D，∴AC⊥平面BDFE，∵AC?平面AEC，∴平面ACE⊥平面BDFE．…解：（Ⅲ）设F到平面ACE的距离为h，AC∩BD=O，连接OE、OF，由（2）可知，四边形BDFE是直角梯形，，又∵AO⊥平面BDFE，∴，又在△OBE中，，∴，V三棱锥F﹣OEA=V三棱锥A﹣OEF，解得，∴F到平面ACE的距离为…22.（本小题满分12分）设函数f（1）讨论函数f(x)的极值点；（2）求经过点(0,－1)且与函数g(x)的图象相切的直线方程；（3）令h(x)＝f(x)+g(x)，若不等式上恒成立，求实数t的取值范围。参考答案：（1）

……1分i）若，，则无极值点；

……2分ii）若令又，

则时，单调递减；时，单调递增，故的极小值点为；

……3分当时，单调递增；时，单调递减，故的极大值点为；

……4分

（2）设切点为，则则切线的方程为代入点得故切线的方程为