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八年级数学第十八章平行四边形18.2.2菱形的判定新课导入
用菱形的定义,我们容易得到,一组邻边相等的平行四边形是菱形,除此之外还有没有其他判定方法?学习目标学习重、难点1.能从研究菱形性质的逆命题正确性中得到菱形的判定.2.能运用菱形的判定方法判定一个四边形是菱形.重点:菱形的判定的推导与归纳.难点:菱形的判定的正确运用.推进新课知识点菱形的判定定理与研究平行四边形、矩形的判定方法相似,我们研究菱形的性质定理得逆命题,看看他们是否成立.命题1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.已知:四边形ABCD是平行四边形,且AC⊥BD,求证:平行四边形ABCD是菱形.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO,又∵AC⊥BD,∴AB=BC(线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等)∴ABCD是菱形.(菱形的定义)命题2:四条边都相等的四边形是菱形.已知:四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD.求证:四边形ABCD是菱形.证明:平移BD到A交CB的延长线于E,∵BD∥AE且BD=AE,∴四边形ADBE为平行四边形,∴∠1=∠3,∴∠1=∠2,∴∠2=∠3,∴AD∥BC,
又AD=BC,∴四边形ABCD为平行四边形.又AB=BC,∴ABCD是菱形.E123四条边都相等的四边形是菱形.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.菱形的判定定理例4如图,ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AB=5,AO=4,BO=3.求证:ABCD是菱形.证明:∵AB=5,AO=4,BO=3,∴AB2=AO2+BO2.∴△OAB是直角三角形,AC⊥BD.∴
ABCD是菱形.练习1.一个平行四边形的一条边长是9,两条对角线的长分别是12和6,这是一个特殊的平行四边形吗?为什么?求出它的面积.解:这是一个菱形.AO=CO=AC=6,BO=DO=BD=3.在△ABO中,∵AO2+BO2=(3)2+62=81,AB2=92=81,∴△ABO是直角三角形,∴AC⊥BD,∴ABCD是菱形.S菱形ABCD=AC·BD
=36误区诊断误区不能准确把握菱形的判定方法而导致错误如图所示,下列条件中能说明四边形ABCD是菱形的有()ABCDO②OA=OC,OB=OD,AB=BC;①BD⊥AC③AC=BD,④AB=BC,AB∥CDA.① B.①② C.②
D③④错解:B正解:C错因分析:①是错误的,原因是片面认为对角线满足互相垂直就可以判定此四边形是菱形,而忽略了此判定方法的前提应是平行四边形.随堂演练1.ABCD的对角线AC平分∠BAD,则
ABCD____(填“是”或“不是”)菱形.
是2.四边形ABCD是平行四边形,请补充一个条件:________,使它是菱形.AB=BC3.如图,AE∥BF,AC平分∠BAD,且交BF于点C,BO平分∠ABC,且交AE于点D,连接CD,求证:四边形ABCD是菱形.证明:∵AE∥BF,∴∠EAC=∠ACB.
又∵AC平分∠BAD,
∴∠ACB=∠BAC=∠EAC,∴AB=BC.
同理:AB=AD,∴AD=BC,而AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.又AB=AD,
∴平行四边形ABCD是菱形.课堂小结四条边都相等的四边形是菱形.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.菱形的判定定理拓展延伸如图,已知四边形ABCD,对角线AC、BD交于点O.现给出四个条件:①AC⊥BD;②AC平分BD;③AD∥BC;④∠OAD=∠ODA.请你以其中的三个作为题设,以“四边形ABCD是菱形”作为结论.(1)写出一个真命题,并证明;(2)写出一个假命题,并举出一个反例加以说明.解:(1)若①②③,则四边形ABCD是菱形.∵AC⊥BD,AC平分BD,∴∠BOC=∠DOA=90°,BO=OD.又∵AD∥BC,∴∠OBC=∠ODA.∴△BOC
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