2023年高考数学一轮复习（艺考）第02讲 排列与组合 高频考点（解析版）

文档来源网络仅供参考侵权删除第02讲排列与组合(精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：典型例题剖析题型一：排列问题题型二：组合问题题型三：排列组合综合问题角度1：相邻与相间问题角度2：分组与分配问题①不等分问题②整体均分问题③部分均分问题题型四：相同元素分配问题第一部分：知识点精准记忆第一部分：知识点精准记忆知识点一：排列与组合的概念名称定义排列从个不同元素中取出（）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从个元素中取出个元素的一个排列组合作为一组，叫做从个元素中取出个元素的一个组合知识点二：排列数与组合数（1）排列数：从个不同元素中取出取出（）个元素的所有不同排列的个数，叫做从个元素中取出个元素的一个排列数，用符号表示（2）组合数：从个不同元素中取出（）个元素的所有不同组合的个数，叫做从个元素中取出个元素的一个组合数，用符号表示知识点三：排列数、组合数的公式及性质（1）（2）（3）（4）；第二部分：典型例题剖析第二部分：典型例题剖析题型一：排列问题典型例题例题1．（2022·云南省楚雄第一中学高二阶段练习）从3，5，7，11这四个质数中，每次取出两个不同的数分别为，共可得到的不同值的个数是（

）A．6 B．8 C．12 D．16【答案】C【详解】由于，所以从3，5，7，11中取出两个不同的数分别赋值给和共有种，并且计算结果不会重复，所以得到不同的值有12个.故选：C.例题2．（2022·浙江·青田县船寮综合高级中学高三期中）某职校计算机专业开设两类不同选修课，其中专业类选修课有6门不同课程，公共基础类选修课有5门不同课程.若从两类选修课中各选一门学习，则不同的选修方案有（

）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】B【详解】依题意，专业类选修课有6门不同课程，公共基础类选修课有5门不同课程，从两类选修课中各选一门学习，根据分步计数原理，不同的选修方案有种.故选：B例题3．（2022·全国·高二课时练习）某大学的两名教授带领四名学生外出实习，实习前在学院门口合影留念．若站成两排合影，两名教授站在前排，四名学生站在后排，则不同的排法种数为______（用数字作答）．【答案】48【详解】第一步：先排两名教授，不同的排法有（种）．第二步：排四名学生，不同的排法有（种）．故由分步乘法计数原理，可得不同的排法共有（种）．故答案为：48例题4．（2022·全国·高三专题练习）第24届冬季奥运会于2022年2月4日在北京市和河北省张家口市举行.现要安排5名志愿者去四个场馆参加活动，每名志愿者只能去一个场馆.且每个场馆只能安排一名志愿者，则不同的分配方法有___________个.（空格处填写数字）【答案】120【详解】解：从5名志愿者中选4人排列个.故答案为：120同类题型归类练1．（2022·福建省福州华侨中学高二期末）甲乙丙丁4名同学站成一排拍照，若甲不站在两端，不同排列方式有（

）A．6种 B．12种 C．36种 D．48种【答案】B【详解】甲站位的排列数为，其余三位学生的全排列数为，所有的排列方式有：.故选：B.2．（2022·全国·高二课时练习）“总把新桃换旧符”是指在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有3名顾客都领取一件礼品，则他们3人领取的礼品种类都不相同的方法种数是（

）A．3 B．6 C．9 D．27【答案】B【详解】根据题意，3名顾客都领取一件礼品，且领取的礼品种类都不相同的方法种数为．故选:B．3．（2022·全国·高三专题练习）现从6名学生干部中选出3名同学分别参加全校资源、生态和环保3个夏令营活动，则不同的选派方案的种数是（

）A．20 B．90 C．120 D．240【答案】C【详解】共有种不同的选派方案．故选：C.4．（2022·广东广州·高二期末）2022年北京冬奥会期间，需从5名志愿者中选3人去为速度滑冰､花样滑冰､冰球三个竞赛项目服务，每个项目必须有志愿者参加且每名志愿者只服务一个项目，不同的安排方法种数为（

）A．10 B．27 C．36 D．60【答案】D【详解】依题意，从5名志愿者中选3人服务3个不同项目，不同的安排方法有（种）．故选：D题型二：组合问题典型例题例题1．（2022·甘肃·兰州市第二十七中学高二期中）在含有3件次品的50件产品中，任取2件，则恰好取到1件次品的不同方法数共有（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】在50件产品中含有3件次品,所以有47件不是次品,任取2件，则恰好取到1件次品的不同方法数共有.故选:A.例题2．（2022·全国·高三专题练习）某小组九名学生在一次数学测验中的得分（单位：分）如下：83，84，86，86，87，88，90，93，96，这九人成绩的第70百分位数是.若在该小组随机选取两名学生，则得分一个比高，另一个比低的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，第70百分位数是从小到大的第七位数，所以第70百分位数是90，所以在该小组随机选取两名学生，则得分一个比90高，另一个比90低的概率为.故选:A.例题3．（2022·山东聊城·高二期末）第二届消博会暨中国国际消费品博览会于2022年5月在海南举办.某展馆将5件相同的纪念品分别赠送给前来参观的3位游客，每人至少1件，则不同的赠送方案数共有（

）A．6 B．9 C．12 D．24【答案】A【详解】因为纪念品的相同的，而游客不同，所以以游客为对象分类：第一种情况，一位游客得一个纪念品，其余两位游客每人二个纪念品，共有种.第二种情况，一位游客得三个纪念品，其余两位游客各一个纪念品，共有种.共计6种赠送方案.故选：A.例题4．（2022·上海市嘉定区安亭高级中学高二期中）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有______种不同的取法．【答案】21【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，不同的取法有.故答案为：21.同类题型归类练1．（2022·浙江·青田县船寮综合高级中学高三期中）某职校计算机专业开设两类不同选修课，其中专业类选修课有6门不同课程，公共基础类选修课有5门不同课程.若从两类选修课中各选一门学习，则不同的选修方案有（

）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】B【详解】依题意，专业类选修课有6门不同课程，公共基础类选修课有5门不同课程，从两类选修课中各选一门学习，根据分步计数原理，不同的选修方案有种.故选：B2．（2022·山东·临朐县实验中学高三阶段练习）某市新冠疫情封闭管理期间，为了更好的保障社区居民的日常生活，选派名志愿者到甲、乙、丙三个社区进行服务，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（

）A．种 B．种 C．种 D．种【答案】A【详解】首先将名志愿者分成组，再分配到个社区，可分为种情况，第一类：名志愿者分成，共有（种）选派方案，第二类：名志愿者分成，共有（种）选派方案，第三类：名志愿者分成，共有（种）选派方案，所以共（种）选派方案，故选：A.3．（2022·黑龙江·哈尔滨市剑桥第三高级中学有限公司高三阶段练习）新课程改革后，普通高校招生方案规定：每位考生从物理、化学、生物、地理、政治、历史六门学科中随机选三门参加考试，某省份规定物理或历史至少选一门，那么该省份每位考生的选法共有（

）A．14种 B．15种 C．16种 D．17种【答案】C【详解】解：由题意得：物理或历史中选一门：种选法；物理和历史都选：种选法；物理或历史至少选一门，那么该省份每位考生的选法共有种选法；故选：C4．（2022·浙江·杭州市长河高级中学高二期中）北京冬奥会期间，小苏抢购了3个冰墩墩和4个雪容融且造型不一的吉祥物，现抽取3个吉祥物送给一位朋友，其中至少有冰墩墩雪容融各1个，则不同的送法有________种.（用数字作答）【答案】30【详解】若选1个冰墩墩和2个雪容融，则有种；若选2个冰墩墩和1个雪容融，则有种；综上可得一共有种；故答案为：题型三：排列组合综合问题角度1：相邻与相间问题典型例题例题1．（2022·江西·南昌十中高二阶段练习（理））有互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，现要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，则共有摆放方法（

）A．120种 B．32种 C．24种 D．16种【答案】D【详解】红色左边放一盆白色，一盆黄色，右边放一盆白色，一盆黄色，先选左边，白色二选一，黄色二选一，再进行排列，故有种选法，再考虑后边，剩余的白色和黄色进行排列即可，有种选法，综上：一共有摆放方法=16种.故选：D例题2．（2022·辽宁·育明高中一模）一张节目单上原有8个节目，现临时再插入，，三个新节目，如果保持原来8个节目的相对顺序不变，节目B要排在另外两个新节目之间（也可以不相邻），则有__________种不同的插入方法．（用数字作答）【答案】330【详解】法1：第一步，从11个位置中选3个位置，共有种方法；第二步，三个位置中节目B位置确定，节目A，C的顺序为，由分步计数原理可得共有种方法.法2：先插入节目A，再插入节目B，最后插入节目C，共有：种，其中节目B与两个新节目的位置关系有3种，由消序法可得总数为.故答案为：330例题3．（2022·全国·高三专题练习）将编号为，，，的个小球放入个不同的盒子中，每个盒子不空，若放在同一盒子里的个小球编号不相邻，则共有__________种不同的放法．【答案】18【详解】解：先把4个小球分为一组，其中2个不连号小球的种类有，，为一组，分组后分配到三个不同的盒子里，故共有种不同的放法；故答案为：18．同类题型归类练1．（2022·全国·高三专题练习）某班主任准备请2016年毕业生作报告，要从甲、乙等8人中选4人发言，要求甲、乙两人至少一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有____________（种）.（用数字作答）【答案】1080【详解】若甲乙同时参加，有种，若甲乙有一人参与，有种，从而总共的发言顺序有种.2．（2022·贵州·高三阶段练习（理））2名老师和3名学生站成一排照相，则3名学生中有且仅有2人相邻的站法有________种.【答案】72【详解】第一步：先取两个学生捆绑，则有种；第二步：两名老师全排列，则有种；第三步：两名老师有3个空，将两组学生安排在3个空中的两个，则有种，则一共有种.故答案为：723．（2022·全国·高二单元测试）7名同学，在下列情况下，各有多少种不同安排方法？（答案以数字呈现）（1）7人排成一排，甲、乙、丙三人必须在一起．（2）7人排成一排，甲、乙、丙三人两两不相邻．（3）7人排成一排，甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序（不一定相邻）．【答案】(1)720种；(2)1440种；3)840种；【详解】(1)(2)；(3)角度2：分组与分配问题①不等分问题典型例题例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知有6本不同的书.分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？【答案】(2)60从6本书中，先取1本作为一堆，再从剩下的5本中取2本作为一堆，最后3本作为一堆，所以不同的分堆方法的种数为.例题2．（2022·全国·高三专题练习）有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方法？(1)分成1本、2本、3本三组；(2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；【答案】(1)60(2)360（1）根据分步计算原理可知，共有种方法；（2）由（1）可知：分成1本、2本、3本三组，共有60种方法，再分给甲、乙、丙三人，所以有种方法；例题3．（2022·全国·高三专题练习）6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？(1)一堆1本，一堆2本，一堆3本；(2)甲得1本，乙得2本，丙得3本；【答案】(1)60(2)60（1）先从6本书中任取1本，作为一堆，有种取法，再从余下的5本书中任取2本，作为一堆，有种取法，最后从余下的3本书中取3本作为一堆，有种取法，故共有分法种.（2）由（1）知，分成三堆的方法有种，而每种分组方法仅对应一种分配方法，故甲得1本，乙得2本，丙得3本的分法亦为种.例题4．（2022·重庆市永川北山中学校高二期中）有6本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法．甲得1本，乙得2本，丙得3本；【答案】(1)60分三步完成：甲选1本、乙选2本、丙选剩下的3本，共有种；②整体均分问题典型例题例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知有6本不同的书.(1)分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？【答案】(1)156本书平均分成3堆，所以不同的分堆方法的种数为.例题2．（2022·全国·高三专题练习）6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？(1)平均分给甲、乙、丙三人；(2)平均分成三堆.【答案】(1)90(2)15（1）3个人一个一个地来取书，甲从6本不同的书中任取出2本的取法有种，乙再从余下的4本书中取2本书，有种取法，丙从余下的2本中取2本书，有种取法，所以一共有种取法.（2）把6本不同的书分成三堆，每堆2本与把6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本的区别在于，后者相当于把6本不同的书平均分成三堆后，再把书分给甲、乙、丙三人，因此，设把6本不同的书，平均分成三堆的方法有x种，那么把6本不同的书分给甲、乙、丙三人每人2本的分法就应有种，由（1）知，把6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本的方法有种.所以，则.例题3．（2022·全国·高三专题练习）有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方法？(1)分成每组都是2本的三组；(2)分给甲、乙、丙三人，每个人2本．【答案】(1)15(2)90（1）先分成三部分，则为种方法，但是这里面出现了重复.不妨记六本书为A、B、C、D、E、F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则种分法中还有(AB，EF，CD)、(CD、AB、EF)、(CD、EF，AB)、(EF，CD，AB)、(EF，AB，CD)，共种情况，而且这种情况仅是AB，CD，EF的顺序不同，因此，只能作为一种分法，故分配方法有＝15(种)．（2）在问题（1）的基础上再分配即可，共有分配方法(种)．例题4．（2022·重庆市永川北山中学校高二期中）有6本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法．甲、乙、丙各得2本；【答案】90分两步完成：先均匀分组，再分给甲、乙、丙三名同学，有种，故共有种.③部分均分问题典型例题例题1．（2022·全国·高三专题练习）按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？分成三份，1份4本，另外两份每份1本.【答案】15【详解】无序均匀分组问题，种，故答案为：15例题2．（2022·重庆市永川北山中学校高二期中）有6本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法．(3)一人得4本，另两人各得1本．【答案】90部分均匀分组问题，先部分均匀分组，再分给甲乙丙三名同学，有种，故共有种．同类题型归类练1．（2022·黑龙江·宾县第二中学高二期末）现有6本不同的书，如果满足下列要求，分别求分法种数．(1)分成三组，一组3本，一组2本，一组1本；(2)分给三个人，一人3本，一人2本，一人1本；(3)平均分成三个组每组两本．【答案】(1)60；(2)360；(3)15.（1）根据题意，第一组3本有种分法，第二组2本有种分法，第三组1本有1种分法，所以共有种分法.（2）根据题意，先将6本书分为1、2、3的三组，有种分法，再将分好的三组分给3人，有种情况，所以共有种分法.（3）根据题意，将6本书