人口增长模型

人口增长模型：问题下表列出了中国1982—1998年的人口统计数据，取1982年为起始年（t=0）,…人口自然增长率14%，以36亿作为我国的人口容纳量，是建立一个较好的数学模型并给出相应的算法和程序，并与实际人口相比较：时间（年）198219831984198519861987人口（万人）101654103008104357105851107507109300时间198819891990199119921993人口111026112704114333115823117171118517时间19941995199619971998人口119850121121122389123626124810从图中我们可以看到人口数在1982—1998年是呈增长趋势的，而且我们很容易发现上述图像和我们学过指数函数的图像有很大的相似性，所以我们很自然想到建立指数模型，但是指数模型有个不妥之处就是没有考虑社会因素的，即资源的有限性，也就是人口不可能无限制的增长，所以有必要改进模型，这里我们假设人口增长率随人口增加而呈线性递减，从而建立起比较优越阻滞增长模型模型一：指数增长模型（马尔萨斯模型）.假设：人口增长率r是常数..建立模型：记时刻t=0时人口数为X0,时刻t的人口为X（t），由于量大，X（t）可以视为连续、可微函数，t到t+At时间段人口的增量为：X（t+At）-X（t） =rX（t）At'dx _—=rX于是X（t）满足微分方程：Jdt卜）X（0）=X0.模型求解：解得微分方程（1）得：X（t）=Xer（t-t0） （2）0表明：t >8时，X >8（r.>0）.t.模型的参数估计要用模型2对人口进行预报，必须对其中的参数r进行估计，这可以用表1通过Matlab拟合：程序：x=[19821983198419851986198719881989199019911992199319941995199619971998]';X=[ones(17,l),x]Y=[101654103008104357105851107507109300111026112704114333115823117171118517119850121121122389123626124810]';[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X);%回归分析b,bint,stats%输出这些值rcoplot(r,rint);%画出残差及其置信区间z=b(l)+b(2)*x;plot(x,Y,'k+',x,z,'r'),%预测及作图运行结果：b二1.0e+006*-2.84470.0015bint=1.0e+006*-2.9381 -2.75130.0014 0.0015stats=1.0e+005*0.0000 0.0455 0 1.9800

图1各数据点及回归方程的图形即回归模型为：y=-2844700+1500x从上图可用看出拟和得效果比较好。从拟和的结果我们得到在上图的拟和效果下：丫=0.014,X=101654，进而把它们代入式(2)我们计算得出如下表：这里用程序计算0程序：x=[19821983198419851986198719881989199019911992199319941995199619971998];y=101654.000*exp(0.014*(x-1982));digits(7);y1=vpa(y)%定义所求的值y1精确到小数点后7位；;表2：人口数\模型一(万人) \年份实际人口马萨尔模型Logistic模型1982101654101654.0101694.91983103008103087.2102719.61984104357104540.5103750.41985105851106014.4104787.31986107507107509.0105830.41987109300109024.7106879.51988111026110561.8107934.51989112704112120.6108995.51990114333113701.3110062.41991115823115304.3111135.11992117171116929.9112213.51993118517118578.5113297.71994119850120250.2114387.41995121121121945.6115482.81996122389123664.8116583.71997123626125408.3117690.01998124810127176.4118801.7模型结果分析：指数增长模型在一定的社会发展下反映了人口的发展情况，马尔萨斯模型很好反映了人口变化发展，人口增长趋势呈指数增长；但是由于资源及其其他因素的影响，人口增长不会一直按指数增长，所以人口的增长应该还受到其他因素的影响，这是指数模型无法反映和处理的,所以要更准确地预测1998的人口就必须对马尔萨斯模型进行改进。因此我们在马尔萨斯模型的基础上进行修改得到了模型二：阻滞增长模型(10亚5比模型)模型二：阻滞增长模型(10审51配模型)1、模型假设：人口的增长率不是常数，而是关于人口数量的线性递减函数2、模型变量和函数的定义:人口增长率r为人口X(t)的函数r(x)(减函数)，最简单假定：r(x)=r一5X,s>0，r叫做固有增长率;环境所能容纳的最大人口数量Xm3、模型建立：rTOC\o"1-5"\h\z当X=X时，增长率应为0，即r(X)=0，于是s=-—，代入r(x)=r一sx，得:m mXmX(3)r(x)=r(1(3)Xm(dx X1一二r(1-——)X将(3)代入(1)式得：＜dtX卜(4)mX(0)=X04、模型的求解：X解方程(4)得：X(t)=一厂— (5)1+(--1)e-r(t-10)X0dx根据方程(4)作出应-x曲线图，如图2,有该图可以看出人口增长率随人口增长的变化规律，根据结果(5)作出x-t曲线，如图3，由此图可以看出人口数随时间的变化规律:

dxdtdX- ,图2,竺-x曲线图dtX2mXdxdtdX- ,图2,竺-x曲线图dtX2mXX2mXm/2xXmXmxXXo0图3图3t.曲线图线t5、模型的参数估计：将r=0.014,Xm=360000(万)代入公式(5),求出用指数增长模型预测的1982—1998的人口见表2：这里用程序：x=[19821983198419851986198719881989199019911992199319941995199619971998];y=360000./(1+2.54*exp(-0.014*(x-1982)));digits(7)y1=vpa(y)运行结果：y1=[101694.9,102719.6,103750.4,104787.3,105830.4,106879.5,107934.5,108995.5,110062.4,111135.1,112213.5,113297.7,114387.4,115482.8,116583.7,117690.0,118801.7]6、模型结果分析：阻滞增长模型在某种程度上较好地反映了人口的增长规律，特别是在预测现代社会人口发展趋势有较高的科学性。因为现代社会人口已经达到一定的饱和程度，社会因素对人口的发展产生了很大的影响，比如粮食资源，水资源，环境问题已经对人类的可持续发展构成了约束作用。因此，作为中长期预测，阻滞增长模型比马尔萨斯模型要合理一些。配料问题：摘要：根据原料配比，对已给参数进行分析处理，求最优解。针对问题一，在总成本最低的情况下，根据配比需求，建立线性规划模型，用求解线性规划的基本方法单纯形法，求解。即根据决策变量，在给定的约束条件下求解使成本最低的最优化目标函数。一、问题的提出：为了适应市场经济发展，降低成本，追求最大利益。设用n种B1,B2……二、问题的假设、符号的约定：1问题的假设(1)原料的单价是不变的。(2)各种原料含有元素的百分含量标准并且是可靠准确的。(3)对于各种原料之间的反应及整体质量的变化忽略不计。(4)不考虑其他随机因素的影响。2.符号的约定：B:生产此产品所需的n种原料(n=1,2……n)；nA:此产品所含有的m种成分(m=1,2.……m)；ma:产品所含各个成分的量(m=1,2,……m)；mb:原料B的单价(j=1,2, n);jjc：B中含有A的数量；ijj ix:生产此产品中所需的B的量；nnS：生产此产品的总成本。三、问题的分析“根据假设原料在一定时期内单价是固定的,则以生产此产品的最低成本为最优目标,以各种原料的选取量为决策变量,此产品对各种原料所需要的百分含量和对各原料的需求范围以及国家对产品的规定为约束条件,建立议案性规划模型。模型的建立及求解：模型的建立我们的目标是成本最低,即使得在满足约束条件的前提下,使不同价格的原料得到充分利用并合理搭配达到成本最低,以使最后的各单价与原料选取数量乘积最小。在此问题中,产品所需原料的单价在一定时期内是稳定的,为：B=[b1,b2,b3,bn];各种原料的选取量为： X=(X,x,…x)n12n目标函数为：minS=xb+xb+xb+ +xb11 22 33 nn问题的数学模型为：⑴确立问题的决策变量：即x1,x2,…..xn.分别为第一到第n种原材料所需的质量。(2)确定问题的约束条件:xc+xc+xc+ + xc>a111 212 313 n1n1xc+xc+xc+ + xc>a121 222 323 n2n2xc+xc+xc+ + xc>a1m1 2m2 3m3 nmnm.用Matlab求解可得到最优解程序如下：TOC\o"1-5"\h\zc=[b,b,b, b];123nA=[c11,c12,c13, c1n;c21,c22,c23, c2n;cm1,cm2.cm3, cmn];b=[a1;a2;a3;a4; ;am];Aeq=[];beq=[];vlb=[0;0;0;0;……;0];vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub).模型的评价和改进1模型的评价：我们的模型完全建立在现有的数据基础上，由于时间紧迫，来不及去更多的试验数据来减少数据