解三角形1.1.1正弦定理 课件

第一章解三角形

1.1.1正弦定理1、边的关系：2、角的关系：3、边角关系：1）两边之和大于第三边；两边之差小于第三边2）在直角三角形中：a2+b2=c21）A+B+C=18001）大边对大角，大角对大边，等边对等角一、回顾三角形中的边角关系:ABCabc斜三角形中这一关系式是否仍成立呢?2）在直角三角形ABC中,C=900,则可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图，当△ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=,则同理可得从而当△ABC是钝角三角形时，以上等式是否也成立？大家课后讨论证明。

在一个三角形中,各边的长和它所对角的正弦的比相等,即正弦定理证明：∵BACDabc而∴同理∴ha证法二：(面积法)证法三：(外接圆法)如图所示,作△ABC外接圆则∴同理∴（R为△ABC外接圆半径）ABCabcOD∠A=∠D1、当△ABC为锐角三角形时，如图（1）证明:过A作单位向量垂直,则的夹角为_______,

的夹角为________,

的夹角为________.已知:△ABC中，CB=a,AC=b,AB=c.求证:ACBabcj证法四：(向量法)由向量的加法可得则所以所以下略ACBabcj

在钝角三角形中，怎样将三角形的边用向量表示？怎样引入单位向量？怎样取数量积？在钝角中，过A作单位向量j垂直于，

j

与的夹角为.

同样可证得：jACB则有j

与的夹角为，变式:

在一个三角形中,各边的长和它所对角的正弦的比相等,即正弦定理（R为△ABC外接圆半径）1、在中，一定成立的等式是（）随堂练习C一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫解三角形。解三角形

利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题呢？正弦定理在解三角形中的两类应用:(1)、已知两角和任一边,求一角和其他两条边.(2)、已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角(进而求其他的角和边)ABaCAaabB例1.已知在ΔABC中，c=10,A=450,C=300,求a,b和B

解：∵c=10A=450,C=300

∴B=1800-(A+C)=1050

由=得a===由=得b===20sin750=20×

=5+5例题讲解：2、△ABC中，B=30°，c=150，b=50，则△ABC的形状是（）A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰或直角三角形随堂练习D例2、在ΔABC中，b=,B=600,c=1,求a和A，C

解：∵

=∴sinC===

∴

A=900

a==2

∵b>c,B=600

∴C<B,C为锐角，∴C=300例3.ΔABC中,c=,A=450a=2,求b和B、C.解：∵

=

∴sinC=

=

=

b===+1∴C=600∴当C=600时，B=750

或C=1200∴当C=1200

时，B=150

，b===-1

∴b=+1,B=750

，C=600

或b=-1，B=150

，C=1200请同学们思考两个问题：1.为什么会出现两个解？2.当a=1时C有几个解；当a=时C有几个解；当a=3时C有几个解ACaba<bsinA无解ACaba=bsinA一解ACabbsinA<a<b两解BB1B2BACba一解aABabCABabCABabCa<b

无解a=b

无解a>b

一解练习1．在△ABC中，若，a=2，且三角形有解，则A的取值范围是（）（A）0°<A<30°（B）0°<A≤45°（C）0°<A<90°（D）30°<A<60°B2．在△ABC中，若则△ABC一定是（）（A）等腰三角形（B）等腰直角三角形（C）直角三角形（D）等边三角形D3．在△ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）（A）a=7，b=14，A=30°（B）a=30，b=25，A=150°（C）a=72，b=50，A=135°（D）a=25，b=30，A=30°D4．在△ABC中，已知a=5，B=120°，C=15°,则此三角形最大边的长为

。5.已知△ABC，根据下列条件求相应的三角形中其他边和角的大小（保留根号或精确到0.1）:(1)∠A=60°,∠B=45°,a=10；(2)a=3，b=4，∠A=30°；(3),c=6，∠B=120°.(1)∠A=60°,∠B=45°,a=10；解：因为∠C=180°－(60°+45°)=75°,所以由正弦定理得(2)a=3，b=4，∠A=30°；由正弦定理得因此∠B=41.8°或∠B=138.2°，当∠B=41.8°时，∠C=108.2°，当∠B=138.2°时，∠C=11.8°，(3),c=6，∠B=120°.由正弦定理得因此∠C=45°或∠C=135°,因为∠B=120°，所以∠C<60°，∠C=45°.∠A=180°－(∠B+∠C)=15°再由正弦定理求得a≈2.2例4.如图在△ABC中，∠A的平分线AD与边BC相交于点D，求证：证明：在△ABD和△CAD中，由正弦定理，得两式相除得例5.在△ABC