计数原理 课件

第一章计数原理章末高效整合知能整合提升1．两个计数原理的区别与联系分类加法计数原理分步乘法计数原理定义完成一件事有n类不同方案，每一类方案中分别有m1，m2，…，mn种不同的方法，则完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法完成一件事需要n个步骤，做每一个步骤分别有m1，m2，…，mn种不同的方法，则完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法共同点回答的都是有关做一件事的不同方法的总数问题区别针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事针对的是“分步”问题，各步中的方法互相依存，只有各步都完成才算做完这件事注意点分类要做到“不重不漏”分步要做到“步骤完整”2.排列与组合概念及公式(1)定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，若按照一定的顺序排成一列，则叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；若合成一组，则叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．即排列和顺序有关，组合与顺序无关．3．排列与组合的应用(1)认真分析题目的条件和结论，明确“完成一件事”的具体含义，及完成这件事需要“分类”还是“分步”，还要搞清楚问题的解决与“顺序”有无关系，以确定是排列问题还是组合问题，解题时，可以借助示意图，表格等．(2)常用解题策略如下：①包含特殊元素或特殊位置的问题，采用优先法，即先考虑特殊元素或特殊位置，特殊位置对应“排”与“不排”问题，特殊元素对应“在”与“不在”问题．②某些元素要求“相邻”的问题，采用捆绑法，即将要求“相邻”的元素捆绑为一个元素，注意内部元素是否有序．③某些元素要求“不相邻”的问题，采用插空法，即将要求“不相邻”的元素插入其他无限制条件的元素之间的空位或两端．④直接计数困难的问题，采用间接法，即从方法总数中减去不符合条件的方法数．⑤排列和组合的综合题，采用“先组后排”，即先选出元素，再排序．

[说明]

①二项式系数与项的系数是不同的概念，前者只与项数有关，而后者还与a，b的取值有关．②运用通项求展开式的特定值(或特定项的系数)，通常先由题意列方程求出r，再求所需的项(或项的系数)．

[说明]

与二项展开式各项系数的和或差有关的问题，一般采用赋值法求解．热点考点例析两个计数原理的应用点拨：基本原理提供了“完成某件事情”是“分类”进行，还是“分步”进行．在分类或分步中，针对具体问题考虑是与“顺序”有关，还是无关，来确定排列与组合．

有3封信，4个信简．(1)把3封信都寄出，有多少种寄信方法？(2)把3封信都寄出，且每个信简中最多一封信，有多少种寄信方法？[思维点击]

本题关键是要搞清楚以“谁”为主研究问题．解决这类问题，切忌死记公式，应清楚哪类元素必须应该用完，就以它为主进行分析，再用分步计数原理求解．1．有7名女同学和9名男同学，组成班级乒乓球混合双打代表队，共可组成(

)A．7队 B．8队C．15队 D．63队解析：由分步乘法计数原理，知共可组成7×9＝63队．答案：D2.如图，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有(

)A．400种 B．460种C．480种 D．496种解析：从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D，A同色1种，D，A不同色3种，∴不同涂法有6×5×4×(1＋3)＝480种，故选C.答案：C点拨：解决排列组合应用题的处理方法与策略①特殊元素优先安排的策略；②合理分类和准确分步的策略；③排列、组合混合问题先选后排的策略；④正难则反、等价转化的策略；⑤相邻问题捆绑处理的策略；⑥不相邻问题插空处理的策略；排列组合应用题的处理方法与策略⑦定序问题除法处理的策略；⑧分排问题直排处理的策略；⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；⑩构造模型的策略．特别提醒：分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏．

用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，则其中数字2,3相邻的偶数有________个．(用数字作答)[思维点击]

“个位”是特殊位置或“偶数数字”是特殊元素，应优先考虑．3．甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有(

)A．36种 B．30种C．12种 D．6种4．从1,3,5,7,9五个数字中选2个，0,2,4,6,8五个数字中选3个，能组成多少个无重复数字的五位数？

点拨：

1.区分“项的系数”与“二项式系数”．项的系数与a，b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正．2．切实理解“常数项”、“有理项(字母指数为整数)”、“系数最大的项”等概念．二项式定理3．求展开式中的指定项，要把该项完整写出，不能仅仅说明是第几项．4．赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1.5．在化简求值时，注意二项式定理的逆用，要用整体思想看待a，b.

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本题各项系数的变化，除注意负号外，还要注意i的运算性质，各项系数的绝对值为二项式系数．5．设(1＋x)8＝a0＋a1x＋…＋a8x8，则a0，a1，…，a8中奇数的个数为(

)A．2 B．3C．4 D．51．书架上有不同的语文书10本，不同的英语书7本，不同的数学书5本，现从中任选一本阅读，不同的选法有(

)A．22种 B．350种C．32种 D．20种解析：由分类加法计数原理得，不同的选法有10＋7＋5＝22种．答案：A2．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为(

)A．3×3! B．3×(3！)3C．(3！)4 D．9!解析：把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种．答案：C3．(2013·山东卷)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(

)A．243 B．252C．261 D．279解析：能够组成三位数的个数是9×10×10＝900，能够组成无重复数字的三位数的个数是9×9×8＝648，故能够组成有重复数字的三位数的个数是900－648＝252.答案：B4．3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是(

)A．360 B．288C．216 D．967．某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．(1)任选1个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？(2)三个年级各选1个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？(3)选2个班的学生参加社会实践，要求这2个班不同年级，有多少种不同的选法？解析：(1)分三类：第一类从高一年级选1个班，有6种不同方法；第二类从高二年级选1个班，有7种不同方法；第三类从高三年级选1个班，有8种不同方法．由分类计数原理可得，共有6＋7＋8＝21种不同的选法．(2)每种选法分三步：第一步从高一年级选1个班，有6种不同方法；第二步从高二年级选1个班，有7种不同方法；第三步从高三年级选1个班，有8种不同方法．由分步计数原理，共有6×7×8＝336种不同的选法．(3)分三类，每类又分两步．第一类从高一、高二两个年级各选1个班，有6×7种不同方法；第二类从高一、高三两个年级各选1个班，有6×8种不同方法；第三类从高二、高三年级各选一个班，有7×8种不同的方法，故共有6×7＋6×8＋7×8＝146种不同选法．8．设(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，求下列各式的值．(1)a0＋a1＋a2＋…＋a10；(2)a6.1．(2014·福建卷)用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球．由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1＋a)(1＋b)的展开式1＋a＋b＋ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取，“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是(

)A．(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5B．(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5C．(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5)D．(1＋a5)(1＋b)5(1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5)解析：运用加法原理与乘法原理的基本方法(穷举法)解决．由题意可知：5个无区别的红球取出若干球可表示为1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5；5个无区别的蓝球都取出或都不取出可表示为1＋b5；5个有区别的黑球取出若干球可表示为(1＋c)(1＋c)(1＋c)(1＋c)(1＋c)＝(1＋c)5.由乘法原理可得所有取法可表示为(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)·(1＋c)5.故选A.答案：A2．(2014·北京卷)把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．3．(2014·福建卷)若集合{a，b，c，d}＝{1,2,3,4}，且下列四个关系：①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4.有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________．解析：运用集合和排列组合的有关知识解题．由题意知①②③④中有且只有一个正确，其余三个均不正确，下面分类讨论满足条件的有序数组(a，b，c，d)的个数：(1)若①正确，即a＝1，则②，③，④都错误，即b＝1，c≠2，d＝4.其中a＝1与b＝1矛盾，显然此种情况不存在；(2)若②正确，即b≠1，则①，③，④都错误，即a≠1，c≠2，d＝4，则当b＝2时，有a＝3，c＝1；当b＝3时，有a＝2，c＝1，此时有2种有序数组．(3)若③正确，即c＝2，则①，②，④都错误，即a≠1，b＝1，d＝4，则a＝3，即此种情况有1种有序数组．(4)若④正确，即d≠4，则①，②，③都错误，即a≠1，b＝1，c≠2，则当d＝2时，有a