2012年-2016考研数学2真题解析答案版

2010年入学统一考试数学二试 2011年入学统一考试数学二试 2012年入学统一考试数学二试 2013年入学统一考试数学二试 2014年入学统一考试数学二试 2015年入学统一考试数学二试 2016年入学统一考试数学二试 2010年入学统一考试数学二试题答 2011年入学统一考试数学二试题答 2012年入学统一考试数学二试题答 2013年入学统一考试数学二试题答 2014年入学统一考试数学二试题答 2015年入学统一考试数学二试题答 2016年入学统一考试数学二试题答 2010年入学统一考试数学二试x2x2x2x21fx

(A) (C)

微分方程ypx

y1

1,1 2,1

1,1 2,2 曲线yx2与曲线ya 相切，则a 设

是正整数，则反常积分

dx的收敛 1mln21 n1mln21 n(C)与

(D)与

zz(xy,Fy,z)0FF0x xz

x

z

x

z n

j1nin

j

x dy 01x dy

x dy 01 dy11

0dx01

0dx01x1 1I:1,2,1

II12,

s线性表示，下列命题正确的是 若向量组I线性无关，则rs (B)若向量组I线性相关，则rs(C)若向量组II线性无关，则rs (D)若向量组II线性相关，则rs设A为4阶实对称矩阵，且A2AO，若A的秩为3，则A相似 11

0 0 二、填空题：9-14424分，请将答案写在答题纸指定位置上3阶常系数线性微分方程y2yy2y0的通解为y y

x2

函数yln12x在x0处的n阶导数yn0= 已知一个长方形的长l2cmsw以3cms的速率增加.

= 三、解答题：15－2394分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证(10分x2xf(x)

(x2

t)et2dt的单调区间与极值(10分0000

的大小，说明理1n记un0lntln1t1n

dtn1,

，求极限limu (17)(11分)yf

x2t由参数方程y

(t1所确定，其中

(t)2(1)

d2y

2

4(1t)，求函 (10分一个高为l的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a，短 为2b 图)，2算油的质量kg/m3(11分f(x,

设函

0a,的值，使等式在变换x

下化简为 0(10分

r2D

1r2cosdrdDr,|0rsec0 4 (10分f

在闭区间0,1上连续，在开区间0,1内可导，且f(0)=0,f(1)=13证明：存在01 1

f(f()=2， 2 (11分 aA01，b1

1 Axb2求aAxb的通解(11分16 416设A a，正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵，若Q的第1列

0 2011年入学统一考试数学二试一、选择题：1~8432分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合x0fx

与cxk是等价无穷小，则 k=1,c k=1,c= k=3,c k=3,c=x2fx2fx3已知f

x=0处可导，且f0=0，则

2f

f

f

0函数f(x)ln(x1)(x2)(x3)的驻点个数为 (A) (B) (C) y2yexex(

a(exex

ax(exex

x(aexbex

x2(aexbexf(xg(x)f(0)

f'(0

Zf(x)g(y)在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是

f''(0)

f''(0)

f''(0)0,g''(0)

f''(0)0,g''(0) 000I4lnsinxdxJ4lncotxdxK4lncosxdxI,J,K000

IJ

IK

JI

KJA3A21BB23 0阵，记P 0，

0 1,则A= 1

PP 2 PP 2

设A(,,,)是4阶矩阵，A*为A的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T是方程组Ax=0的一个基础解系，则A*x

2,3,4二、填空题：9~14424分，请将答案写在指定位置上12x )x 微分方程y'yexcosx满足条件y(0)0的解为y 曲线yxtantdt(0x)的弧长s ex,x f(x

0,x

0,则xf(x)dx 设平面区域D由直线 圆x2y22y及y轴所组成，则二重积xyd D二次型f(xxxx23x2x22xx2xx2x

f1, 1 1 2 三、解答题：15~2394分.请将解答写在指定的位置上.解答应写出文字说明、证明(10F(x)

limF

试求a的取值范围(11分

x1t3tyy(x)由参数方程y

3yy(x)yy(x1t3t (9分设函数Zf(xy,yg(x))fgx)x12Zg2Z(10分

y

具有二阶导数，且曲线l:yy(x)

相切于原点，记为曲线l(x,yddy

的表达式(10分

1n

ln(11)

成立设a11 1lnn(n1, )，证明数列a收敛 (11分yx2y22yy1)2x2y21y1)2y2xy21 y2xy21 xy(11分f(x,y)f(x,1)0f(xy)dxdya，其DD(xy|0x1,0y1，计算二重积分ID

xyf''(x,y)dxdy

x(11分设向量组10,1)T,0,1,1)T,1,3,5)T，不能由向量组1,1,1)T

334a)T线性表示3a将1,2,3用1,2,3线性表示(11分

1 11 A为三阶实对称矩阵，A的秩为2，即RA2，且A 0 11 2012年入学统一考试数学二试一、选择题:18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题x2（1）y

x2

（A） （B） （C） （D）（2）设函数f(x)(ex1)(e2x (enxn),其中n为正整数,则f(0) （A）(1)n1(n

（D）(1)n设an0(n1, )，Sna1a2a3 an，则数列Sn有界是数列an收敛的 设IK

kex2sinxdx(k1,2,3)则有 0I1

I3

I2

I2f(xy)

都有f(xy)0f(xy)0 f(x2,y2)成立的一个充分条件是 （A）x1，y1 （B）x1 ，y1（C）x1，y1 （D）x1 ，y1 (x5y1)dxdyD（A） （D）

， ，y1围成 2设

0 20, 2

0

,

1

,

,其中c1c2c3

c

c

c

c1

2

3

4 （A）1,2

1,2

（C）1,3

（D）2,3 0设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且p1AP 0.若P=（,, 2

(,,)，则Q1AQ

0 0 1

0 0 0 2

2 0 0 0 2

0 （D） 20 01 二、填空题 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在指定位置上yyxx2y1ey

d2d2n nn1 22zf

f

xz 微分方程ydx(x3y2)dy0满足条件 1的解为yyx2xx0

2A3A3A*AAB则BA* fx1xsin

alimfx求a的值x0fxaxkk的值x2求函数f(x,y) 的极值ABxDDx轴旋转一周所得旋转体的体积计算二重积分xydDr1cos(0与极轴围成Df(xf(xf(x2f(x)0f(xf(xf(xyf(x2xf(t2dt的拐点01

1

cosx

,(1x2证明：方程xnxn1 x1（n为大于1的整数）在区间

记（Ⅰ）x，证明limx A 1 A当实数aAx有无穷多解，并求其通解00A

，二次型f(xxxxTATA)x的秩为00 求实数axQyf化为标准形2013年入学统一考试数学二试一、选择题:1～8432分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合1、设cosx1xsin(x)，(x)，当x0时， （2x高阶的无穷x低阶的无穷x同阶但不等价的无穷x是等价无穷2y

由方程cos(xylnyx1确定，则limnf21（ C.- D.-3f(x)

x x

，F(x)

f(t)dt，则（xFxF

FF

x处连续不可导x处可导 1x(x1)4f(x

f(x)dx收敛，则（ x

xln1

2

05zyf(xyfxzz（x2yf

y2fx

2fx6

D(xy)x2y21位于第kIkyx)dxdy(k1234)，则（I1

I2

I3

I47A、B、CnAB=CB（ 1 08、矩阵 a与 0相似的充分必要条件是（ 1 0 aa

aa

二、填空题：9～14小题,424分.请将答案写在9lim(2

ln(1x)

1)x x10f(xx

1etdt，则y

xf1yy0 11L的极坐标方程方程为rcos3(L 12、曲线yln1

上对应于t1点处的法线方程 13

e3xxe2x，

exxe2x，

xe2x是某二阶常系数 3 2 0， 1的解为y3 214、设A(aij)是3阶非零矩阵，A为A的行列式，Aij为aij的代数式，aijAij0(i,j1,2,3)，则A x0时，1cosxcos2xcos3xaxnna1Dyx3xa(a0)x轴所围成的平面图形，Vx，VyDxy旋转一周所得旋转体的体积，若Vy

，求a的值17（10）设平面区域Dx

，y

，x

Df

在[1,1f(11（Ⅰ）存在0,1f(1（Ⅱ）存在(1,1)，使得f() x3xyy31(x0y0上的点到坐标原点的最长距离和最短距离.20（11）设函数f(xlnxxf

设数列xn满足lnxn

，证明limxnnLy1x21lnx(1xe LDLx1xexD22（11）1A1

，B11

abCACCAB，并求所有矩阵

设二次型f(xxx2(a

a

ax)2(b

b

bx，记

，b 1 2 3 1 2 3

2

2a bf2TT

3

3 若 正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y2 2014年入学统一考试数学二试一、选择题:1～8432分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合11x0时，若ln12x)(1cosx)x高阶的无穷小，则的取值范围是（（A）(2,

(2

(0,22、下列曲线中有渐近线的是（yxsinyxsinx

yx2sin（D）yx2sinx3f

2g(x)f(0)(1xf(1)x，则在区间[0,1]上（（A）f(x)0f(x)g(x)（B）f(x)0f(x)g(x)f(x0时f(xg(x)f(x0时f(xg(x)4、曲线yt24t

上对应于t1的点处的曲率半径是（

55f(x)arctanxf(x)

(，则x0

（1

3

2

36、设函数u(xyDD2xy02u2u

0，则（u(x,yDu(x,yDu(x,yDu(x,y)Du(x,yDu(x,y)D0 7、行列 （ （A）(ad （B）(ad（C）a2d2 （D）b2c2a2d8、设1,2,3为3维向量，则对任意1,2,3线性无关的（

，向量组1k3,2l3线性无关是向量二、填空题：9～14小题,424分.请将答案写在9、1 dx x22x10、设f(x)是周期为4的可导奇函数，且f(x)2(x1),x[0,2]，则f(7) 11zz(x,y是由方程e2yzxy2z7确定的函数，则4

11(,)22.12L的极坐标方程是rL在点(r,.2 131x轴的区间[0,1(xx22x1心坐标x 14f(xxxx2x22axx4x

的负惯性指数为1a的取值范围 1 2 x1x[t2(et1)lim

x2ln(11xx x2x x2y2x

x2y2y1yy(2)0

D(xy1

2

4x0y0，计算D

f

2zf(excosy

2

2z(4z

xcosy)e2xf(00f(00，求f

f

，g

在区间[ab]f

单调增加，0g( x（I）0ag(t)dtxax[ab]；xbb（II）aag(t)dtf(x)dxbf f(x)

1

x[0,1]f1(x)f(x)，f2(x)

，fn(x)

Sny

x1x轴所围平面图形的面积，求极限limnSnnf(x,y)f

fyyy1)22ylnyf(x,y)0y11

设A 1,E为3阶单位矩阵120 120ABEB11

1 n阶矩阵11

与

2相似 11

n2015年入学统一考试数学二试一、选择题:1～8432分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合2、函数f(x)=lim(1

)𝑡在内（A）（B）（C）(D)2016年入学统一考试数学二试一、选择题:1～8432分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合2010年入学统一考试数学二试题答BACDBDADCe2xCcosxCsin y2nn23f 的单调递减区间为(, [0,1)；f

的单调递增区间为[1

.f

01(1e1)2（17）t3t2t3(t1)（18）2 3 4 （19）(ab为(22),(2 （20）13

1，a2；

xk

k（23）a1；2011年入学统一考试数学二试题答CBCCABDD2exsinln 2172（15）1a ( 1（16）y 的极小值 ,)凹区间为(,)拐 ( 1 3d2

2x（18）y(x)arcsin 2x4（20）(I)94

278I

a5

1 A 0 0 2012年入学统一考试数学二试题答CDBDDDCB140xy2（或y x（--（15（I）alimfxlim1x1limxsinx

01

x0sin

sin（II）limfxalim1x11limxsinxxsinxx0

x0sin

x0

xsin

sin limxsin x0

xsin

limfxa

x0 fx,y

x2

x22

x

x22

1x2

x2fx,yxe

y 2fx,y

x22

x2

1x2x 2fx,y

x2

1x2y 2fx,y

x22

y2 1 把P1,01 f1,0e2 把P2 f1,0e解析：y1，设切点坐标x, xxylnxoxo又切线过点(0,1

e2y

x切线与x轴交点为Be2,00 A2eye2y1dye0 2 2

V 3

xdx 3

xrcosyrsin，D的极坐标表示是00r1cos， D 411t1t4dt4 （19（I）所以fxfx

代入fxf(x2ex，得到fx（II）yex2xet20y2xex2xet2dt10 y2ex2xet2dt4x2ex2xet2dt2x y(x)0x0 x0y2ex2xet2dt4x2ex2xet2dt2x x0y2ex2xet2dt4x2ex2xet2dt2x 因此(0,y(0))00)fxx

x x

(1x1)1 fxln1xx 1 1

1x

1 2(1x2) f(x) cosx1 cosx11

(1x2

(1x21，又cosx12f(x)0f(xf(0)0x(1,0f(x)0f(xx(0,1f(x)0f(x单点递增；x(1,1时f(x)f(0)0，1 x

1

cosx

(1x1)2x（21（Ⅰ）fxxnxxf(x)nxn1(n1)xn2 2x10f

在[,2

1又f(1)n10，f(1)11

1

10f(xf

121所 在(,1)上存在零点且唯一，即x2

x1在(,1内只有一个根2（Ⅱ）根 日中值定理，存在点1 f有

f12 21

xn所以0xn2 1 1因为limfxnf2limf2n由定理知lim

n

n （22（I） A1

aa(1)41

01 （Ⅱ）Ax1a0 1

0 1 1 01a0 a 0 1 001 0 1 0 0 a00 0 0 01 00 1aa2 01

a Ax有无穷多解，则有1a40且aa20a 1 此时，方程组Ax的增广矩阵变为 0 0 11可知导出组的基础解系为11

， 方程的特解为 00 11故其通解为k （23（1）由二次型的秩为2，知rATA)2，故rA)rATA) 1 1

1 1 1 a a a1 a

1

0rA)2a 2 （2）令BATA 2

EB

(0

(2)0

(2)(6)B10223对于0，解(EBX0得对应的特征向量为1,1 对于22，解(2E

得对应的特征向量为12对于6，解(E2

得对应的特征向量为 1 1 1将,

单位化可得11,

11,

11

3

2

6 1312 113126 61312 1312正交矩阵

1，则QTAQ 6 62 36 36 因此，作正交变换xQy，二次型的标准形为f(x)xT(ATA)xyTAy 2013年入学统一考试数学二试题答CACDABBB1e11yxln24ye3xex-lim1cosxcos2xcos

lim3cos6xcos4xlim

4an(nn20，即n2时，上式极限存在.n2时，由题意得lim1cosxcos2xan2,a

根据题意，Vx7a7Va2xx3dx6x

767 a677 7

0 7因Vy10Vx7

a3

a3ay

x

y1

x

xy8

y6，

y x 26 x2dxdy2dx3xx2dy6 x 26

2 (8x31x4

（18（Ⅰ）

在[1,1f(0)F(x

，则F

[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且

F(0)f(000.由罗尔定理，存在0,1F()0f()1（Ⅱ）f(xf(x1exf(xf(x))exexf(x))[exf(x)ex]g(x)exf(xexf

f

是偶函数，由（）的结论可知，f()

，g()

.由罗尔定理可知，存在(1,1)g()0即f() x2（19）M(x,x2构 日函

Fx2y2(x3xyy3F2x(3x2y) x由F2y(3y2x0得 yFx3xyy31122点(1,1)到原点的距离为d 1222 2（20（Ⅰ）f(xlnx1x0

f(x)1

xxf(x)0x

当0x1f(x)0x1f(x)0x1f(xf(11n（Ⅱ）由（Ⅰ）知lnx11，又由已知lnxn

111xnxn故数列xn单调递增

x又由lnxnx

，故lnxn1

，所以数列xn有上界n所以limxn在lnxn在lnxn

lnA1AlnA1A所以lnA11A1即lim

n（21（Ⅰ）S

1(y)2dx

1(1x1)2dx

1(1x1)2dx

12 x 12e e

e

1

x

)dx

x2

lnx)

1x21ln1dx 1

1

1lne12x 0 e121e1e

1x21lndx

(1

1ln

1 1e4

1(e21e21)

42e23)(e37) 由题意可知矩阵C为2阶矩阵，故可设C x2.由ACCAB可 x 4

x2ax3 a

1 1

axaax 2

0

b b

xxx

4

4

00a00010110a1 0 0010110a000a010b000b000b 方程组有解，故a10b0，即a1b a1b0

x31,

，代入相 方程组，得x21令x30, 方程组，得x20故11,10)T100,1)Tx

xk

k

(k

1,k,k,

)T（k

所以Ck1k2

1 2 1 k1. k2（23（Ⅰf(x,x,x)2(axaxax)2(bxbxbx 1 2 3 1 2 3 2(x,x,x)a(a,a,a)x(x,x,x)b(b,b,b)x 32 32 32 32a x b x3 3 3 3xxx)(2TTxxTAxA2T

2x3所以二次型f2TT（Ⅱ）由于 正交，故TT因,均为单位向量，故 1，即T1.同理TA2TTA(2TT)2TT由于0A122A2TT)0A2又因为rAr(2TTr(2Tr(T)r(Tr(T)1123，所以A030. A2，1，0.因此，f2y2y2 2014年入学统一考试数学二试题答BCCCDABA3811(dxdy)y2x

lim

(t2(et1)

lim

(t2(et1) x2(ex1)

limx2(ex11

x2ln(11

x2

et1 et 令

1 x t2 x 1x2y2y'1y1y'y2(y21)dy(1x2积分得y21)dy(1x21y3yx1x3 又y(2)0c31y3yx1x3 1令y' 0,得xy2x(1)时y0,函数单调递减由函数方程解得：y(1)0,y(1)1Dyxx x2x x2y2xy x2y2x

x x x2y21

y

x2y22212D

x xx2y22212dsin(r)rdr1rdcos(2222 421rcos(r)|2

cos(r)d 11

4令uexcosz

f(u)ecosy,x

f(u)e2xcos2yf(u)

cosz

f(u)

(sin

2z

f(u)

y

(u)

cos2

2

(4z

cosf(u)e2xcos2yf(u)e2xsin2y[4f(u)即f(u4f(u对应的微分方程的特征方程为：r24 微分方程的通解为：f(u)Ce2uC 设f(u)aub，则f(u)a, (u)0a1b0f*(u)1 f(uCe2xCe2x1 所以f(u2Ce2u2Ce2u1,f(u4Ce2u4C f(0)0f(0)0

1,

f(u)

1e2x1e2x1 （19（I）gx在区间[ab上连续，且0g(x)1 x0ag(t)dtxx （II）F(xxf(u)g(u)duaag(t)dtf F'(x)

f(