一类抛物线与多直线相交的中考压轴题解法

一类抛物线与多直线相交的中考压轴题解法张佑胜舒新咏翁先兰纵观近十年来全国各地中考数学压轴题，大多数是以抛物线为背景的综合性问题.这类问题，综合性强，解法灵活，是对学生分析问题和解决问题能力的综合考查，具有较好的区分度和选拔功能.因此，很多考生不知所措，望而却步！本文选取近年来几例武汉市中考或调考数学压轴题，探讨一类抛物线与多直线相交问题的解题通法与教学启示先看几个问题：问题1（2022武汉中考压轴题第（3）问）如图1,AMNE的顶点M,N在抛物线y=x2上，点M在N右边，两条直线ME，NE与抛物线y=x2均有唯一公共点，ME,NE均与y轴不平行.若△MNE的面积为2，设M,N两点的横坐标分别为m,n，求m与n的数量关系口图1图2图3问题2（2022武汉中考压轴题第（3）问）如图2,抛物线y二ax2+c与x轴交于A,B两点，顶点为C,点P在抛物线上，且位于x轴下方，直线PA,PB与y轴分别交于E,F两点.当点P运动时，OE+OFOC是否为定值？问题3（2022武汉中考压轴题第（3）问）如图3,将抛物线y=x2+4x+3平移，当顶点至原点时，过Q（0,3）作不平行于x轴的直线交抛物线于E,F两点，问在y轴的负半轴上是否存在一点P,使APEF的内心在y轴上？问题4（2022武汉元调压轴题第（3）问）如图4,抛物线y=x2+（1-m）x-m交x轴于A,B两点（A在B的左边），交y轴负半轴于点C.过点E(m,2)作一直线交抛物线于P,Q两点，连接AP,AQ分别交y轴于M,N两点，求证：OM・ON是一个定值口问题5(2022武汉四调压轴题第(3)问)如图5,点C为抛物线y=12x2-3x+92的顶点，直线y二kx(k>0)与抛物线相交于A，D兩点(点D在点A的下方)，若B是抛物线上点A的对称点，直线BD交对称轴于点M，求证：PC二CM图4图5这些都是抛物线与多直线相交的压轴题,类似的,还有很多,不一一列出.为了有效的解决这类问题,先看如下基本命题基本命题：直线l与抛物线y二ax2+bx+c交于A,B两点，点A,B的横坐标分别为xA,xB，则直线l的解析式是y=[a(xA+xB)+b]x+c-axAxBD略证：设直线l：y=mx+n,联立y=ax2+bx+c,y=mx+n,得ax2+(b-m)x+c-n=0,所以xA+xB二m-ba,xA・xB二c-na,所以m=a(xA+xB)+b,n二c-axAxB,口所以直线l：y=[a(xA+xB)+b]x+c-axAxB推论直线l与抛物线y=ax2+bx+c有唯一公共点A,点A的横坐标为xA,则直线l的解析式是y=(2axA+b)x+c-ax2A运用上述基本命题及推论,我们可以按照统一的思维方式,有效地解决上述一类抛物线与多直线相交的压轴题.现从问题1至问题5中选3个简解如下问题1简解作EH〃y轴交MN于H,由前面基本命题可得：口NE：y=2nx-n2,ME：y=2mx-m2,MN：y=(m+n)x-mn,联立y=2nx-n2,y=2mx-m2，解得xE=m+n2,yE=mn,口所以SAMNE=12HE・(m-n)=12[(m+n)・m+n2-mn-mn](m-n)=14(m-n)3=2，所以m-n=2问题2简解由前面基本命题可得：PA：y=[a(xA+xP)+c]x+c-axAxP，PB：y=[a(xB+xP)+c]x+c-axBxP，因为点A，B关于y轴对称，所以xA+xB=0，所以OE+OF二(-c+axA・xP)+(-c+axB・xP)口=-2c+a(xA+xB)xP=-2c=2OC，所以0E+0F0C=2问题4简解由x2+(1-m)x-m=0，得x1=-1,x2=m,□所以A(-1，0)，由前面基本命题可得：PQ：y=(xP+xQ+1-m)x-m-xPxQ，AQ：y=(-1+xQ+1-m]x-m+xQ，AP：y=(-1+xP+1-m]x-m+xP，因为点E(m,2)在直线PQ上,□所以2=(xP+xQ+1-m)m-m-xPxQ，所以m2-m（xP+xQ）+xPxQ=-2，所以OM・ON=|-m+xP|・|-m+xQ|口=|m2-m（xP+xQ）+xPxQ|=2口点评在上述解法中，都是选取抛物线与直线交点（公共点）的横坐标为参数，表达直线解析式y二kx+b中的k与b,进而表示出各条直线的解析式，顺利地解决相关问题.为了以后称呼的方便，不妨将这种解法冠名为“交点横坐标参数法”3.上述几个问题除了运用“交点横坐标参数法”外，每个问题都有自身独有的解法.但对于绝大多数学生而言，面对一个个独特的解题方法，犹如一盘散沙，不知所云，难以驾驭，再遇到类似的问题时依然是束手无策.运用“交点横坐标参数法”这一“通法”，对于“抛物线与多直线相交”的一类问题，都可以顺利解决.且看如下一例问题6抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C,平移直线BC分别交抛物线图6于M,N两点（M在N的左侧），若抛物线上存在一定点P（P与M不重合），使得ZPMN-ZPNM=90°，求点P的坐标口简解如图6,过P作PH丄y轴于H,设PM交y轴于点D所以ZMDO=ZNEO,□所以EH=HD,所以yD+yE=2yP由前面基本命题可得：PN：y=(2-xp-xN)x+xPxN+3，PM：y=（2-xp-xM）x+xPxM+3，MN：y=（2-xM-xN）x+xMxN+3，因為MN〃BC,□所以2-xM-xN=-l,所以xM+xN=3,口所以yD+yE=（xPxN+3）+（xPxM+3）=xP（xM+xN）+6=3xP+6，又2yP=2（-x2P+2xP+3），所以3xP+6=2（-x2P+2xP+3），所以xP=0（舍），或xP=12，口所以点P（12,154）□点评对于问题6，笔者曾请就读于985高校的几个往届学生来做，四人中只有一人解答出来了，可见本题杀伤力还是有点大.运用“交点横坐标参数法”能够较为顺利地解决，就在于这种方法选取的参数少，每个参数之间又易于建立关联问题6除了运用上述“通法”外，至少还有两种特殊方法.第一种方法：在证明了等腰三角形PDE后，构造以PM和PN为斜边的两个直角三角形相似，进而建立点P,M，N坐标之间的等量关系，求出P点坐标.这种构造方法对于初中生来讲，难度就有点大，难以把握.第二种方法，运用高中知识，在证明了等腰三角形PDE后，得出直线PM和PN的斜率之和为零，建立等量关系求解对于“抛物线与多直线相交”一类问题，运用“交点横坐标参数法”这一“通法”，都可以顺利解决.下面不妨提供几个练习问题问题7抛物线y=-x2+1的顶点M在y轴上，与x轴交于A,B两点图7图8如图7，若向上平移直线y=12x交抛物线于P，Q两点，直线BPBQ分别交y轴于C,□D两点，求OC+OD的值如图8,直线y=-2x+b与抛物线交于P,Q两个不同的点，直线AP,AQ分别交y轴于C,D两点，求证:OC=OD.□问题8如图9，已知A(-2，t)为抛物线y=14x2上一点，B(-2，3),P为点A左侧抛物线上一动点，直线PA交直线y=-x-3于点M，直线PB交抛物线于点N,连接MN，求证：AB〃MN图9图10图11问题9已知直线y二kx-2k+3(k#0)与抛物线y=a(x-2)2(a>0)相交于A，B两点(点A在点B的左侧)口不论k取何值，直线y二kx-2k+3必经过定点P，直接写出点P的坐标;如图10，已知B，C两点关于抛物线y=a(x-2)2的对称轴对称.当a=12时，口求证：直线AC必经过一定点;如图11，抛物线y二a(x-2)2的顶点记为点D，过点A作AE丄x轴，垂足为E，与直线BD交于点F，求线段EF的长.教学启示1.数学是人类思维的体操，在培养人的聪明才智方面起着巨大的作用.所以，数学教学实质上是数学思维活动的教学.也就是说，在数学教学中除了要使学生掌握基础知识、基本技能外，还要注意培养学生的思维能力应把培养学生的思维能力贯穿在教学的全过程已故著名数学家华罗庚曾说：要真正打好基础，有两个必经的过程即“由薄到厚”和“由厚到薄”的过程.“由薄到厚”是学习、接受的过程，“由厚到薄”是消化、提炼的过程.笔者认为，多题一解，使众多一大类问题，在统一简单的思维方式下便可获得解题思路，是让学