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2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.在我国传统文化“五行”中,有“金、木、水、火、土”五个物质类别,在五者之间,有一种“相生”的关系,具体是:金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.从五行中任取两个,这二者具有相生关系的概率是()A.0.2 B.0.5 C.0.4 D.0.82.泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称,登泰山的路线有四条:红门盘道徒步线路,桃花峪登山线路,天外村汽车登山线路,天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时,发现三人走的线路均不同,且均没有走天外村汽车登山线路,三人向其他旅友进行如下陈述:甲:我走红门盘道徒步线路,乙走桃花峪登山线路;乙:甲走桃花峪登山线路,丙走红门盘道徒步线路;丙:甲走天烛峰登山线路,乙走红门盘道徒步线路;事实上,甲、乙、丙三人的陈述都只对一半,根据以上信息,可判断下面说法正确的是()A.甲走桃花峪登山线路 B.乙走红门盘道徒步线路C.丙走桃花峪登山线路 D.甲走天烛峰登山线路3.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a–1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是A. B.C. D.4.已知点为双曲线的右焦点,直线与双曲线交于A,B两点,若,则的面积为()A. B. C. D.5.如图在直角坐标系中,过原点作曲线的切线,切点为,过点分别作、轴的垂线,垂足分别为、,在矩形中随机选取一点,则它在阴影部分的概率为()A. B. C. D.6.关于函数有下述四个结论:()①是偶函数;②在区间上是单调递增函数;③在上的最大值为2;④在区间上有4个零点.其中所有正确结论的编号是()A.①②④ B.①③ C.①④ D.②④7.已知函数的零点为m,若存在实数n使且,则实数a的取值范围是()A. B. C. D.8.秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入的值为2,则输出的值为A. B. C. D.9.已知等差数列的前项和为,,,则()A.25 B.32 C.35 D.4010.已知实数x,y满足,则的最小值等于()A. B. C. D.11.《周易》是我国古代典籍,用“卦”描述了天地世间万象变化.如图是一个八卦图,包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦(每一卦由三个爻组成,其中“”表示一个阳爻,“”表示一个阴爻).若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦,这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为()A. B. C. D.12.双曲线的右焦点为,过点且与轴垂直的直线交两渐近线于两点,与双曲线的其中一个交点为,若,且,则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在等差数列()中,若,,则的值是______.14.为了抗击新型冠状病毒肺炎,某医药公司研究出一种消毒剂,据实验表明,该药物释放量与时间的函数关系为(如图所示),实验表明,当药物释放量对人体无害.(1)______;(2)为了不使人身体受到药物伤害,若使用该消毒剂对房间进行消毒,则在消毒后至少经过______分钟人方可进入房间.15.已知集合,若,则__________.16.已知(且)有最小值,且最小值不小于1,则的取值范围为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知椭圆:的离心率为,左、右顶点分别为、,过左焦点的直线交椭圆于、两点(异于、两点),当直线垂直于轴时,四边形的面积为1.(1)求椭圆的方程;(2)设直线、的交点为;试问的横坐标是否为定值?若是,求出定值;若不是,请说明理由.18.(12分)已知函数有两个零点.(1)求的取值范围;(2)是否存在实数,对于符合题意的任意,当时均有?若存在,求出所有的值;若不存在,请说明理由.19.(12分)为迎接2022年冬奥会,北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动,并在培训结束后对学生进行了考核.记表示学生的考核成绩,并规定为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果,在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩,并作成如下茎叶图:(Ⅰ)从参加培训的学生中随机选取1人,请根据图中数据,估计这名学生考核优秀的概率;(Ⅱ)从图中考核成绩满足的学生中任取2人,求至少有一人考核优秀的概率;(Ⅲ)记表示学生的考核成绩在区间的概率,根据以往培训数据,规定当时培训有效.请根据图中数据,判断此次中学生冰雪培训活动是否有效,并说明理由.20.(12分)已知函数.(1)求不等式的解集;(2)若正数、满足,求证:.21.(12分)一年之计在于春,一日之计在于晨,春天是播种的季节,是希望的开端.某种植户对一块地的个坑进行播种,每个坑播3粒种子,每粒种子发芽的概率均为,且每粒种子是否发芽相互独立.对每一个坑而言,如果至少有两粒种子发芽,则不需要进行补播种,否则要补播种.(1)当取何值时,有3个坑要补播种的概率最大?最大概率为多少?(2)当时,用表示要补播种的坑的个数,求的分布列与数学期望.22.(10分)已知函数(1)求函数的单调递增区间(2)记函数的图象为曲线,设点是曲线上不同两点,如果在曲线上存在点,使得①;②曲线在点M处的切线平行于直线AB,则称函数存在“中值和谐切线”,当时,函数是否存在“中值和谐切线”请说明理由
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】
利用列举法,结合古典概型概率计算公式,计算出所求概率.【详解】从五行中任取两个,所有可能的方法为:金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土,共种,其中由相生关系的有金水、木水、木火、火土、金土,共种,所以所求的概率为.故选:B【点睛】本小题主要考查古典概型的计算,属于基础题.2.D【解析】
甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,再分情况讨论即可.【详解】若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确.综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路,丙走红门盘道徒步线路故选:D【点睛】本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型.3.B【解析】
依照偶函数的定义,对定义域内的任意实数,f(﹣x)=f(x),且定义域关于原点对称,a﹣1=﹣2a,即可得解.【详解】根据偶函数的定义域关于原点对称,且f(x)是定义在[a–1,2a]上的偶函数,得a–1=–2a,解得a=,又f(–x)=f(x),∴b=0,∴a+b=.故选B.【点睛】本题考查偶函数的定义,对定义域内的任意实数,f(﹣x)=f(x);奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称,定义域区间两个端点互为相反数.4.D【解析】
设双曲线C的左焦点为,连接,由对称性可知四边形是平行四边形,设,得,求出的值,即得解.【详解】设双曲线C的左焦点为,连接,由对称性可知四边形是平行四边形,所以,.设,则,又.故,所以.故选:D【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质,考查余弦定理解三角形和三角形面积的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5.A【解析】
设所求切线的方程为,联立,消去得出关于的方程,可得出,求出的值,进而求得切点的坐标,利用定积分求出阴影部分区域的面积,然后利用几何概型概率公式可求得所求事件的概率.【详解】设所求切线的方程为,则,联立,消去得①,由,解得,方程①为,解得,则点,所以,阴影部分区域的面积为,矩形的面积为,因此,所求概率为.故选:A.【点睛】本题考查定积分的计算以及几何概型,同时也涉及了二次函数的切线方程的求解,考查计算能力,属于中等题.6.C【解析】
根据函数的奇偶性、单调性、最值和零点对四个结论逐一分析,由此得出正确结论的编号.【详解】的定义域为.由于,所以为偶函数,故①正确.由于,,所以在区间上不是单调递增函数,所以②错误.当时,,且存在,使.所以当时,;由于为偶函数,所以时,所以的最大值为,所以③错误.依题意,,当时,,所以令,解得,令,解得.所以在区间,有两个零点.由于为偶函数,所以在区间有两个零点.故在区间上有4个零点.所以④正确.综上所述,正确的结论序号为①④.故选:C【点睛】本小题主要考查三角函数的奇偶性、单调性、最值和零点,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.7.D【解析】
易知单调递增,由可得唯一零点,通过已知可求得,则问题转化为使方程在区间上有解,化简可得,借助对号函数即可解得实数a的取值范围.【详解】易知函数单调递增且有惟一的零点为,所以,∴,问题转化为:使方程在区间上有解,即在区间上有解,而根据“对勾函数”可知函数在区间的值域为,∴.故选D.【点睛】本题考查了函数的零点问题,考查了方程有解问题,分离参数法及构造函数法的应用,考查了利用“对勾函数”求参数取值范围问题,难度较难.8.C【解析】
由题意,模拟程序的运行,依次写出每次循环得到的,的值,当时,不满足条件,跳出循环,输出的值.【详解】解:初始值,,程序运行过程如下表所示:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,跳出循环,输出的值为其中①②①—②得.故选:.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用,正确依次写出每次循环得到,的值是解题的关键,属于基础题.9.C【解析】
设出等差数列的首项和公差,即可根据题意列出两个方程,求出通项公式,从而求得.【详解】设等差数列的首项为,公差为,则,解得,∴,即有.故选:C.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式的求法和应用,涉及等差数列的前项和公式的应用,属于容易题.10.D【解析】
设,,去绝对值,根据余弦函数的性质即可求出.【详解】因为实数,满足,设,,,恒成立,,故则的最小值等于.故选:.【点睛】本题考查了椭圆的参数方程、三角函数的图象和性质,考查了运算能力和转化能力,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11.B【解析】
基本事件总数为个,都恰有两个阳爻包含的基本事件个数为个,由此求出概率.【详解】解:由图可知,含有两个及以上阳爻的卦有巽、离、兑、乾四卦,取出两卦的基本事件有(巽,离),(巽,兑),(巽,乾),(离,兑),(离,乾),(兑,乾)共个,其中符合条件的基本事件有(巽,离),(巽,兑),(离,兑)共个,所以,所求的概率.故选:B.【点睛】本题渗透传统文化,考查概率、计数原理等基本知识,考查抽象概括能力和应用意识,属于基础题.12.D【解析】
根据已知得本题首先求出直线与双曲线渐近线的交点,再利用,求出点,因为点在双曲线上,及,代入整理及得,又已知,即可求出离心率.【详解】由题意可知,代入得:,代入双曲线方程整理得:,又因为,即可得到,故选:D.【点睛】本题主要考查的是双曲线的简单几何性质和向量的坐标运算,离心率问题关键寻求关于,,的方程或不等式,由此计算双曲线的离心率或范围,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.-15【解析】
是等差数列,则有,可得的值,再由可得,计算即得.【详解】数列是等差数列,,又,,,故.故答案为:【点睛】本题考查等差数列的性质,也可以由已知条件求出和公差,再计算.14.240【解析】
(1)由时,,即可得出的值;(2)解不等式组,即可得出答案.【详解】(1)由图可知,当时,,即(2)由题意可得,解得则为了不使人身体受到药物伤害,若使用该消毒剂对房间进行消毒,则在消毒后至少经过分钟人方可进入房间.故答案为:(1)2;(2)40【点睛】本题主要考查了分段函数的应用,属于中档题.15.1【解析】
分别代入集合中的元素,求出值,再结合集合中元素的互异性进行取舍可解.【详解】依题意,分别令,,,由集合的互异性,解得,则.故答案为:【点睛】本题考查集合元素的特性:确定性、互异性、无序性.确定集合中元素,要注意检验集合中的元素是否满足互异性.16.【解析】
真数有最小值,根据已知可得的范围,求出函数的最小值,建立关于的不等量关系,求解即可.【详解】,且(且)有最小值,,的取值范围为.故答案为:.【点睛】本题考查对数型复合函数的性质,熟练掌握基本初等函数的性质是解题关键,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)(2)是为定值,的横坐标为定值【解析】
(1)根据“直线垂直于轴时,四边形的面积为1”列方程,由此求得,结合椭圆离心率以及,求得,由此求得椭圆方程.(2)设出直线的方程,联立直线的方程和椭圆方程,化简后写出根与系数关系.求得直线的方程,并求得两直线交点的横坐标,结合根与系数关系进行化简,求得的横坐标为定值.【详解】(1)依题意可知,解得,即;而,即,结合解得,,因此椭圆方程为(2)由题意得,左焦点,设直线的方程为:,,.由消去并整理得,∴,.直线的方程为:,直线的方程为:.联系方程,解得,又因为.所以.所以的横坐标为定值.【点睛】本小题主要考查根据椭圆离心率求椭圆方程,考查直线和椭圆的位置关系,考查直线和直线交点坐标的求法,考查运算求解能力,属于中档题.18.(1);(2).【解析】
(1)对求导,对参数进行分类讨论,根据函数单调性即可求得.(2)先根据,得,再根据零点解得,转化不等式得,令,化简得,因此,,最后根据导数研究对应函数单调性,确定对应函数最值,即得取值集合.【详解】(1),当时,对恒成立,与题意不符,当,,∴时,即函数在单调递增,在单调递减,∵和时均有,∴,解得:,综上可知:的取值范围;(2)由(1)可知,则,由的任意性及知,,且,∴,故,又∵,令,则,且恒成立,令,而,∴时,时,∴,令,若,则时,,即函数在单调递减,∴,与不符;若,则时,,即函数在单调递减,∴,与式不符;若,解得,此时恒成立,,即函数在单调递增,又,∴时,;时,符合式,综上,存在唯一实数符合题意.【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题,首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题.19.(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)见解析【解析】
(Ⅰ)根据茎叶图求出满足条件的概率即可;(Ⅱ)结合图表得到6人中有2个人考核为优,从而求出满足条件的概率即可;(Ⅲ)求出满足的成绩有16个,求出满足条件的概率即可.【详解】解:(Ⅰ)设这名学生考核优秀为事件,由茎叶图中的数据可以知道,30名同学中,有7名同学考核优秀,所以所求概率约为(Ⅱ)设从图中考核成绩满足的学生中任取2人,至少有一人考核成绩优秀为事件,因为表中成绩在的6人中有2个人考核为优,所以基本事件空间包含15个基本事件,事件包含9个基本事件,所以(Ⅲ)根据表格中的数据,满足的成绩有16个,所以所以可以认为此次冰雪培训活动有效.【点睛】本题考查了茎叶图问题,考查概率求值以及转化思想,是一道常规题.20.(1);(2)见解析【解析】
(1)等价于(Ⅰ)或(Ⅱ)或(Ⅲ),分别解出,再求并集即可;(2)利用基本不等式及可得,代入可得最值.【详解】(1)等价于(Ⅰ)或(Ⅱ)或(Ⅲ)由(Ⅰ)得:由(Ⅱ)得:由(Ⅲ)得:.原不等式的解集为;(2)
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