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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知等差数列的前项和为,若,,则数列的公差为()A. B. C. D.2.已知的内角、、的对边分别为、、,且,,为边上的中线,若,则的面积为()A. B. C. D.3.赵爽是我国古代数学家、天文学家,大约在公元222年,赵爽为《周髀算经》一书作序时,介绍了“勾股圆方图”,亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的).类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形,它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设,若在大等边三角形中随机取一点,则此点取自小等边三角形(阴影部分)的概率是()A. B. C. D.4.设i为虚数单位,若复数,则复数z等于()A. B. C. D.05.设函数(,为自然对数的底数),定义在上的函数满足,且当时,.若存在,且为函数的一个零点,则实数的取值范围为()A. B. C. D.6.已知函数的一条切线为,则的最小值为()A. B. C. D.7.在平面直角坐标系中,若不等式组所表示的平面区域内存在点,使不等式成立,则实数的取值范围为()A. B. C. D.8.函数的部分图像如图所示,若,点的坐标为,若将函数向右平移个单位后函数图像关于轴对称,则的最小值为()A. B. C. D.9.已知集合,,若,则()A. B. C. D.10.已知双曲线(,)的左、右焦点分别为,以(为坐标原点)为直径的圆交双曲线于两点,若直线与圆相切,则该双曲线的离心率为()A. B. C. D.11.若直线与圆相交所得弦长为,则()A.1 B.2 C. D.312.甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷,四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个,每个景点去一人.已知:①甲不在远古村寨,也不在百里绝壁;②乙不在原始森林,也不在远古村寨;③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件;④丁不在百里绝壁,也不在远古村寨.若以上语句都正确,则游玩千丈瀑布景点的同学是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.从分别写有1,2,3,4的4张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为__________.14.已知抛物线的焦点为,过点且斜率为1的直线交抛物线于两点,,若线段的垂直平分线与轴交点的横坐标为,则的值为_________.15.,则f(f(2))的值为____________.16.已知椭圆的左右焦点分别为,过且斜率为的直线交椭圆于,若三角形的面积等于,则该椭圆的离心率为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知椭圆:()的左、右焦点分别为和,右顶点为,且,短轴长为.(1)求椭圆的方程;(2)若过点作垂直轴的直线,点为直线上纵坐标不为零的任意一点,过作的垂线交椭圆于点和,当时,求此时四边形的面积.18.(12分)已知直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;(2)设点,直线与曲线交于,两点,求的值.19.(12分)已知函数.(1)若不等式有解,求实数的取值范围;(2)函数的最小值为,若正实数,,满足,证明:.20.(12分)在四边形中,,;如图,将沿边折起,连结,使,求证:(1)平面平面;(2)若为棱上一点,且与平面所成角的正弦值为,求二面角的大小.21.(12分)已知函数.(1)若曲线存在与轴垂直的切线,求的取值范围.(2)当时,证明:.22.(10分)健身馆某项目收费标准为每次60元,现推出会员优惠活动:具体收费标准如下:现随机抽取了100为会员统计它们的消费次数,得到数据如下:假设该项目的成本为每次30元,根据给出的数据回答下列问题:(1)估计1位会员至少消费两次的概率(2)某会员消费4次,求这4次消费获得的平均利润;(3)假设每个会员每星期最多消费4次,以事件发生的频率作为相应事件的概率,从会员中随机抽取两位,记从这两位会员的消费获得的平均利润之差的绝对值为,求的分布列及数学期望
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】
根据等差数列公式直接计算得到答案.【详解】依题意,,故,故,故,故选:D.【点睛】本题考查了等差数列的计算,意在考查学生的计算能力.2.B【解析】
延长到,使,连接,则四边形为平行四边形,根据余弦定理可求出,进而可得的面积.【详解】解:延长到,使,连接,则四边形为平行四边形,则,,,在中,则,得,.故选:B.【点睛】本题考查余弦定理的应用,考查三角形面积公式的应用,其中根据中线作出平行四边形是关键,是中档题.3.A【解析】
根据几何概率计算公式,求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可.【详解】在中,,,,由余弦定理,得,所以.所以所求概率为.故选A.【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题,是基础题.4.B【解析】
根据复数除法的运算法则,即可求解.【详解】.故选:B.【点睛】本题考查复数的代数运算,属于基础题.5.D【解析】
先构造函数,由题意判断出函数的奇偶性,再对函数求导,判断其单调性,进而可求出结果.【详解】构造函数,因为,所以,所以为奇函数,当时,,所以在上单调递减,所以在R上单调递减.因为存在,所以,所以,化简得,所以,即令,因为为函数的一个零点,所以在时有一个零点因为当时,,所以函数在时单调递减,由选项知,,又因为,所以要使在时有一个零点,只需使,解得,所以a的取值范围为,故选D.【点睛】本题主要考查函数与方程的综合问题,难度较大.6.A【解析】
求导得到,根据切线方程得到,故,设,求导得到函数在上单调递减,在上单调递增,故,计算得到答案.【详解】,则,取,,故,.故,故,.设,,取,解得.故函数在上单调递减,在上单调递增,故.故选:.【点睛】本题考查函数的切线问题,利用导数求最值,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.7.B【解析】
依据线性约束条件画出可行域,目标函数恒过,再分别讨论的正负进一步确定目标函数与可行域的基本关系,即可求解【详解】作出不等式对应的平面区域,如图所示:其中,直线过定点,当时,不等式表示直线及其左边的区域,不满足题意;当时,直线的斜率,不等式表示直线下方的区域,不满足题意;当时,直线的斜率,不等式表示直线上方的区域,要使不等式组所表示的平面区域内存在点,使不等式成立,只需直线的斜率,解得.综上可得实数的取值范围为,故选:B.【点睛】本题考查由目标函数有解求解参数取值范围问题,分类讨论与数形结合思想,属于中档题8.B【解析】
根据图象以及题中所给的条件,求出和,即可求得的解析式,再通过平移变换函数图象关于轴对称,求得的最小值.【详解】由于,函数最高点与最低点的高度差为,所以函数的半个周期,所以,又,,则有,可得,所以,将函数向右平移个单位后函数图像关于轴对称,即平移后为偶函数,所以的最小值为1,故选:B.【点睛】该题主要考查三角函数的图象和性质,根据图象求出函数的解析式是解决该题的关键,要求熟练掌握函数图象之间的变换关系,属于简单题目.9.A【解析】
由,得,代入集合B即可得.【详解】,,,即:,故选:A【点睛】本题考查了集合交集的含义,也考查了元素与集合的关系,属于基础题.10.D【解析】
连接,可得,在中,由余弦定理得,结合双曲线的定义,即得解.【详解】连接,则,,所以,在中,,,故在中,由余弦定理可得.根据双曲线的定义,得,所以双曲线的离心率故选:D【点睛】本题考查了双曲线的性质及双曲线的离心率,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.11.A【解析】
将圆的方程化简成标准方程,再根据垂径定理求解即可.【详解】圆的标准方程,圆心坐标为,半径为,因为直线与圆相交所得弦长为,所以直线过圆心,得,即.故选:A【点睛】本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法,属于基础题.12.D【解析】
根据演绎推理进行判断.【详解】由①②④可知甲乙丁都不在远古村寨,必有丙同学去了远古村寨,由③可知必有甲去了原始森林,由④可知丁去了千丈瀑布,因此游玩千丈瀑布景点的同学是丁.故选:D.【点睛】本题考查演绎推理,掌握演绎推理的定义是解题基础.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
基本事件总数,抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数包含的基本事件有10种,由此能求出抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率.【详解】从分别写有1,2,3,4的4张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,基本事件总数,抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数包含的基本事件有10种,分别为:,,,,,,,,,,则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为.故答案为:【点睛】本题考查古典概型概率的求法,考查运算求解能力,求解时注意辨别概率的模型.14.1【解析】
设,写出直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理求得,由抛物线定义得焦点弦长,求得,再写出的垂直平分线方程,得,从而可得结论.【详解】抛物线的焦点坐标为,直线的方程为,据得.设,则.线段垂直平分线方程为,令,则,所以,所以.故答案为:1.【点睛】本题考查抛物线的焦点弦问题,根据抛物线的定义表示出焦点弦长是解题关键.15.1【解析】
先求f(1),再根据f(1)值所在区间求f(f(1)).【详解】由题意,f(1)=log3(11–1)=1,故f(f(1))=f(1)=1×e1–1=1,故答案为:1.【点睛】本题考查分段函数求值,考查对应性以及基本求解能力.16.【解析】
由题得直线的方程为,代入椭圆方程得:,设点,则有,由,且解出,进而求解出离心率.【详解】由题知,直线的方程为,代入消得:,设点,则有,,而,又,解得:,所以离心率.故答案为:【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系,三角形面积计算与离心率的求解,考查了学生的运算求解能力三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)(2)【解析】
(1)依题意可得,解方程组即可求出椭圆的方程;(2)设,则,设直线的方程为,联立直线与椭圆方程,消去,设,,列出韦达定理,即可表示,再根据求出参数,从而得出,最后由点到直线的距离得到,由即可得解;【详解】解:(1)∵,∴解得,∴椭圆的方程为.(2)∵,∴可设,∴.∵,∴,∴设直线的方程为,∴,∴,显然恒成立.设,,则,,∴.∴,∴,∴解得,解得,∴,,∴.∵此时直线的方程为,,∴点到直线的距离为,∴,即此时四边形的面积为.【点睛】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质,直线与椭圆的综合应用,考查计算能力,属于中档题.18.(1);(2)【解析】
(1)利用参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化公式即可;(2)将直线参数方程代入圆的普通方程,可得,,而根据直线参数方程的几何意义,知,代入即可解决.【详解】(1)直线的参数方程为(为参数),消去;得曲线的极坐标方程为.由,,,可得,即曲线的直角坐标方程为;(2)将直线的参数方程(为参数)代入的方程,可得,,设,是点对应的参数值,,,则.【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化,直线参数方程的几何意义,是一道容易题.19.(1)(2)见解析【解析】
(1)分离得到,求的最小值即可求得的取值范围;(2)先求出,得到,利用乘变化即可证明不等式.【详解】解:(1)设,∴在上单调递减,在上单调递增.故.∵有解,∴.即的取值范围为.(2),当且仅当时等号成立.∴,即.∵.当且仅当,,时等号成立.∴,即成立.【点睛】此题考查不等式的证明,注意定值乘变化的灵活应用,属于较易题目.20.(1)证明见详解;(2)【解析】
(1)由题可知,等腰直角三角形与等边三角形,在其公共边AC上取中点O,连接、,可得,可求出.在中,由勾股定理可证得,结合,可证明平面.再根据面面垂直的判定定理,可证平面平面.(2)以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,由点F在线段上,设,得出的坐标,进而求出平面的一个法向量.用向量法表示出与平面所成角的正弦值,由其等于,解得.再结合为平面的一个法向量,用向量法即可求出与的夹角,结合图形,写出二面角的大小.【详解】证明:(1)在中,为正三角形,且在中,为等腰直角三角形,且取的中点,连接,,,平面平面平面..平面平面(2)以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,设.则设平面的一个法向量为.则,令,解得与平面所成角的正弦值为,整理得解得或(含去)又为平面的一个法向量,
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