等比数列的概念课件【高效备课精研】 高二数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3等比数列4.3.1等比数列的概念【第1课时

等比数列的概念及通项公式】

高中数学（选择性必修第二册）第四章数列本章学习流程图实际概念递推通项前n项和1.理解等比数列的概念：能用文字语言、符号语言和图形语言描述等比数列，并能根据定义判断数列是否为等比数列。2.理解等比数列的通项公式：能根据定义归纳出通项公式，掌握推导方法（累乘法）；能说出等比数列的通项公式的特征，会用通项公式解决一些简单问题。3.了解等比数列与指数函数的关系：能说出等比数列的通项公式与指数函数之间的共性与差异；会用函数的观点解决一些与等比数列有关的简单问题。学习目标活动一：寻爱2、等差数列的符号表示（定义式）若

an-an-1=d(常数)(n≥2)

{an}为等差数列.或:若an+1-an=d(常数)

(n∈N*)

{an}为等差数列

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.1、等差数列的概念：复习回顾新课导入实际概念递推通项前n项和情景导入1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列:

2.《庄子·天下》中提到:“一尺之锤，日取其半，万世不竭.”如果把“一尺之锤”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，每天得到的“锤”的长度依次是④

9,92,93，…，910；①

100,1002,1003，…，10010；

②5,52,53，…，510.

③请看下面几个问题中的数列.情景导入

3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是2，4，8，16，32，64，….⑤

4.某人存入银行a元，存期为5年，年利率为r，那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是⑥导入新课

9,92,93，…，910；①

100,1002,1003，…，10010；

②5,52,53，…，510.

③④2，4，8，16，32，64，….

⑤

⑥思考：类比等差数列你能通过运算发现以下数列的取值规律吗？

各式取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数.思考:类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，

你能抽象出等比数列的概念吗？如果用{an}表示数列①，那么有新课流程实际概念递推通项前n项和新知讲解

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个不为0常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q(q≠0)表示.

例如数列①~⑥的公比依次为9,100,5,0.5,2,1+r.等比数列的符号语言：注意:(1)从第2项起每一项与它的前一项之比为常数q;(2)任意一项an≠0且q≠0;(3)q=1时，{an}为非零常数列，且非零常数列既是等差又是等比数列1.等比数列的概念

课堂练习1.

判断下列数列是否是等比数列．如果是，写出它的公比．(1)1，3，9，27，81；(2)5，5，5，5，5；(3)1，-1，1，-1，1；(4)1，0，1，0，1；(5)0，0，0，0，0；

(6)

1，a，a2，a3

，

a4

；

(7)

x0，x，

x2，x3

，

x4

；

不一定判定等比数列的方法：各项

an≠0；依据等比数列的定义新知讲解与等差中项类似，如果三个数a,G,b组成等比数列，那么G叫做a和b的等比中项.2.等比中项只有同号的两数，才存在等比中项不唯一，等比中项有两个值.不一定，若a＝G＝b＝0

时，不满足．课堂练习2、思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)

(1)若数列{an}满足an+1=2an

(n∈N*)，那么{an}是等比数列.(

)

(2)

常数列b，b，b，……，一定为等比数列.(

)

(3)任意两个非零常数a，b都有等比中项.(

)

(4)

G2=ab是a，G，b成等比数列的充要条件.()××××

±4-4新课流程实际概念递推通项前n项和合作探究小组合作探究

你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？有几种方法？设一个等比数列{an}的首项为a1,公差为q,根据等比数列的定义,可得∴a2=a1q，a3=a2q

=a1q2，a4=a3q=a1q3，‧‧‧‧‧‧∴an=a1qn-1

(n≥2).又a1=a1q1-1，这就是说，当n=1时上式也成立.因此，首项为a1,公差为q的等比数列{an}的通项公式为不完全归纳法an=a1qn-1(n∈N﹡,q≠0)3.等比数列的通项公式合作探究……累乘法思路2：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，

q≠0根据等比数列的定义：

an+1=an∙q递推公式n-1个n-1个an=a1qn-1(n∈N﹡,q≠0)且当n=1时上式也成立3.等比数列的通项公式深入探究探究：已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，试讨论该数列的类型.an=a1qn-1指数型函数4.等比数列的函数特征及图像表示举例：若数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则用通项公式表示是：

＿＿＿＿＿＿an=2n－1上式还可以写成:可见，表示这个等比数列的各点都在函数的图象上，如右图所示.o12345612345678深入探究单调性分析：（1）当q<0时，{an}为摆动数列；（2）当0<q<1时:①若a1>0，则{an}为递减数列；

②若a1<0，则{an}为递增数列；（3）当q=1时，{an}为常数列；（4）当q>1时，

①若a1>0，则{an}为递增数列；

②若a1<0，则{an}为递减数列；通过等比数列的通项公式，分析它的单调性an=a1qn-1例题讲解例1若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12，求{an}的第5项.变式练习变式1

在等比数列{an}中，(1)a1＝1，a4＝8，求an；(2)an＝625，n＝4，q＝5，求a1；(3)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.深入探究等比数列的通项公式的推广例2已知等比数列{an}的公比为q，试用{an}的第m项am表示an.等比数列{an}的通项公式：复习：等差数列{an}的

通项公式：变式2

已知:等比数列{an}中，a3=20,

a6=160,求an.解法1：设等比数列{an}的公比为q,等比数列{an}通项公式解法2：设等比数列{an}的公比为q,22变式练习例题讲解例3

数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80,第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132.求这个数列.总结规律变式练习变式3有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是－8；后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求出这四个数．课堂小结等差数列等比数列定义（符号表示）an

-an-1=d公差与公比d可以是0等差中项与等比中项2A=a+b通项公式

an=a1+(n－1)dan=am+(n－m)d

函数类型一次函数q≠0G2=aban=a1qn-1

an=amqn-m指数型函数1.做课本31页练习题2.预习课本31-34页课后作业4.3等比数列4.3.1等比数列的概念

高中数学（选择性必修第二册）第四章数列【第2课时

等比数列的性质及应用】1.理解等比数列的通项公式：能根据等比数列的通项公式的“正用”“逆用”和“变用”中得出等比数列的一些性质，并解决一些简单问题。2.掌握等比数列的简单应用：能在具体情境中发现数列的等比关系，抽象出等比数列模型，并运用等比数列的知识解决银行储蓄等实际问题；能综合应用等比数列的概念、公式、性质解决数列与函数、不等式等综合问题。学习目标复习回顾等差数列等比数列定义（符号表示）an

-an-1=d公差与公比d可以是0等差中项与等比中项2A=a+b通项公式

an=a1+(n－1)dan=am+(n－m)d

函数类型一次函数q≠0G2=aban=a1qn-1

an=amqn-m指数型函数典例讲解——实际问题：银行储蓄典例讲解——实际问题：银行储蓄典例讲解——实际问题：银行储蓄新知讲解——等比数列的性质设数列{an}是公比为q的等比数列，则：an=am·qn-m

(m，n∈N*)性质1：

等比数列通项公式的推广课堂练习课堂练习追踪练习696???分析：设该等比数列为{an}，a1=6，a5=96.122448在6和96之间插入3个数使这5个数成等比数列或-1224-48思考：利用等比中项，你还有其他方法么？小组讨论合作探究思考：当m＋n＝2k，你有什么新的结论？归纳新知——等比数列的性质性质2：若{an}为等比数列，m＋n=p+q(m，n，p，q∈N*)，则am·an=ap·aq性质4：若m，p，n(m，n，p∈N*)成等差数列，则am，ap，an成等比数列；特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝ak2；当m＋n＋s＝p＋q＋t(m，n，p，q，s，t∈N*)时，amanas＝apaqat.性质3：对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，

即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….课堂练习DD追踪练习CCAC例题讲解课本32页例题讲解课本32页性质5：在数列{an}中，每隔k(k∈N*)项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为qk＋1.性质6：在数列{an}中，连续相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或qk2)的等比数列．性质7：若数列{an}是各项都为正数的等比数列，则数列{lgan}是公差为lgq的等差数列。性质8：若数列{bn}是等差数列，公差为