大学文科数学 数理统计

会计学1大学文科数学数理统计文科数学§5

数理统计1996年，美国学者D.Vchida,M.J.Cetron,F.Mckenjie发表了一篇论文：“学生必须掌握哪些知识和技能才能在21世纪立于不败之地”，该文提到：运用数学、逻辑和推理的技能；熟练的读写能力以及了解统计学此处的统计学，就是指“研究以及解释和运用数据的能力”的学科。介绍数理统计中的两个最基本问题的主要思想。第1页/共36页文科数学1、药效问题

某地区猪患某种病的概率是0.25，且每头猪患病与否与其他猪无关。今研制了一种新的预防药，选用12头猪作实验，结果这12头猪服用了此种药后均未患病，问此药是否有效？一、假设检验问题

分析：取样12头猪，服药后均未患病，据此判断药是否有效。直观认为：药一定有效。（猪确实没有生病嘛！）仔细分析：可能存在问题！（大部分猪不服药也不会患病，患病概率仅为0.25）12头猪都未患病未必是药的作用！第2页/共36页文科数学自然想法：(类似于反证法)若这事件发生的概率很小，即这件事几乎不会发生，若药无效，12头猪均未患病的可能性有多大？那么它的发生应归于药的效果。在“药无效”的假设下，12头猪均未患病的概率为P{12头猪均未患病}这是小概率事件，即这件事几乎不会发生(理论上)。★

但它恰是我们取样的结果，即它实际发生了，说明假设错误，从而否定“药无效”的假设，即认为药有效。第3页/共36页文科数学结论

由于小概率事件（即几乎不会发生的事件）发生了，从而否定原先的假设“药无效”。★

概率很小的事件并非绝对不可能发生：所以据此否定“药无效”这一命题，也有可能会犯错误，{12头猪均未患病}发生的概率为0.032犯错误的概率为0.032。所以该问题的确切表述应为：有1-0.032=0.968的概率认为“药有效”进一步讨论第4页/共36页文科数学2、产品检验问题180个产品包成一包，若每包产品中次品数不超过8个就认为这包产品合格。现有一买主挑选了一包，从中任取4个产品，发现其中有2个次品，问该包产品是否合格？

分析：取样4个产品，发现有2个是次品，据此判断这包产品是否合格。（即能否由此判断180个产品里次品数不超过8个）第5页/共36页文科数学仔细分析先假设这包产品中有8个次品,172个正品，即这包则从中任取4个恰取到k

个次品的概率为合格，具体结果如下

可见：任取4个产品，其中次品数多于1个的概率不到1%(0.0097+0.0002+0.0000=0.0099)。k01234pk0.83240.15760.00970.00020.0000第6页/共36页文科数学

想象：若这包产品中次品数比8个还少，则任取4个产品，其中次品数多于1个的概率就会更小。

所以：若这包产品合格，即次品数不超过8个，则“任取4个产品，次品数多于1个”是小概率事件，不应发生。结论：取到2个次品，否定“这包产品合格”。有99%的把握认为这包产品不合格

可见：任取4个产品，其中次品数多于1个的概率不到1%(0.0097+0.0002+0.0000=0.0099)。仔细分析第7页/共36页文科数学假设检验问题

要判断的命题称为“统计假设”或“假设”；

判断命题正确与否的做法称为“检验”；

这类问题称为“假设检验”。如：要判断“本地农户平均收入超过5000元”，“肺癌与吸烟无关”等如：“小概率事件在一次试验中不应该发生”等数理统计中的两类基本问题之一

特性：否定与肯定“假设”都会犯错误，此由随机现象本性所决定，不可避免。控制犯错误的概率！第8页/共36页文科数学3、骰子的均匀性

在赌博中，判断骰子是否均匀（即每面向上的概率是否都为1/6）是非常重要的。

试验：一枚骰子掷了次，其中1点出现了次。问题简化：考虑“1点向上”的概率是否为1/6。据此判断“1点出现的概率为1/6”这一假设是否成立分析：由试验，“1点出现”的频率为该频率与1/6相差极小，是否可以认为假设成立？第9页/共36页文科数学误差0.0000333…如何解释？现令：X为掷次骰子时1点出现的次数，还是骰子本身均匀，该误差仅是合理的随机误差？则

X的概率分布为由骰子不均匀引起？其中p为每次投掷时1点出现的概率。若“1点出现的概率为1/6”这一假设成立，即仔细分析p=1/6，则上式变为第10页/共36页文科数学实际情况：1点出现了次，而计算可知：对于均匀骰子来讲是不可能发生的（概率不足百万分之一)。此外：1点出现的频率X/n

与1/6的差应满足因此：否定“1点出现的概率为1/6”这一假设。第11页/共36页文科数学即频率X/n

与1/6的差不应超过但实际差距是0.0000333…，与0.0000008相比太大概率不足百万分之一的事件发生了，从而否定“1点出现的概率为1/6”这一假设了，第12页/共36页文科数学1、概率分布的估计为了估计某个事件A的概率p,二、估计问题作n次试验(观察)，看看A发生了几次。设A恰好发生了k

次,则可用频率

作为事件A

事件发生概率的估计的概率p

的估计值。显然，n越大，该估计越好！第13页/共36页文科数学

离散型概率分布的估计

例如：估计某商店周日上午8点至12点间每分钟到达的顾客数X

的分布。X

可能的取值为0,1,2,…,只需对任意数k，估计进行试验：观测了20个周日的数据，共4800分钟，记录下每分钟到达的顾客数(4800个数据)。设到达k

个顾客的分钟数为tk令则X

的概率分布为用频率估计概率!第14页/共36页文科数学2、参数的估计估计问题是建立数学模型中不可缺少的部分。任何模型，包括确定性模型总有待定的参数，需要通过对实际问题的观测(试验)来确定。由于观测(试验)具有误差，观测值具有随机性，从而得不到精确结论。

因此我们不说“求”概率p，“求”参数a，而说“估计”p，“估计”a。目标：估计均值、方差等参数。例如：估计森林的木材储量等。首要问题：估计的方法！第15页/共36页文科数学

例如：估计某地区农户的平均收入（农户收入的均值a）。试验：随机地抽取n户，收入分别为方法1：用平均收入来估计整个地区农户的平均收入a。方法2：去掉一个最高值及一个最低值再求平均来估计整个地区农户的平均收入a。第16页/共36页文科数学

不同估计方法的实质就是的不同函数，称其为估计量。

一旦做了试验，抽取了数据，针对要估计的量(参数)，首先要找出估计的方法(估计量)。一般而言，要找一个“合理”的估计方法并不容易，而且估计方法的寻找依赖于实际问题的背景。说明：“估计”有确切含义！

之所以称为“估计”,不是因为精度差,不准确！而是强调了估计量是一个随机变量，因为讨论的基础是一组随机数据。（形象的称为“数据加工的函数”）这种使用“样本值函数”估计的方法称为矩估计法。第17页/共36页文科数学例1、汽车产量的估计

早期情报人员曾通过观察敌方城市中汽车牌照号码来估计其汽车产量。为简单起见，设汽车牌照号码是按自然顺序1开始排列的。现把号码，例如03402，看成是一个小数,即0.03402，把号码对应于区间(0,1)中的一个数。所有汽车中的最大号码(恰是汽车的产量)对应于区间(0,1)中未知的参数θ。现随机地在城市中观测n个汽车号码，它们对应于区间(0,θ)中的n个数。

问：如何用这n个数对参数θ

作出估计？第18页/共36页文科数学方法1：由于观测的随机性，可认为在区间(0,θ)内“均匀”地分布着,故可用它们的平均值估计区间(0,θ)的中点,从而用估计θ。例1、汽车产量的估计第19页/共36页文科数学方法2：把(0,θ)分成了n+1个小区间，当的长度估计，在区间(0,θ)内“均匀”分布时，每个小区间长度相差不大，都和近似。故可以用某一区间的长度，例如最左边的小区间即用例1、汽车产量的估计来估计θ。第20页/共36页文科数学长度并不完全相等，是左边n个小区间的长度无论选择哪个来估计都不够“精确”，为此考虑它们的“平均长度”。由于我们用来估计每个小区例1、汽车产量的估计方法3：把(0,θ)分成了n+1个小区间，之和，间的长度，即用来估计θ。第21页/共36页文科数学例2、敏感性问题调查

在社会调查用频率估计概率时，有些敏感的问题人们往往不愿意如实回答。如“你考试时作过弊吗?”，“你在超市偷拿过商品吗?”。由于不能直接得到概率p的估计，通常是估计一个和p有关的量，然后算出p的估计。回忆例1所用方法。对敏感性问题的调查，有一种巧妙的随机应答方法（S.L.Wamer,1965）。第22页/共36页文科数学

方法：要求被调查者在两个问题中随机地选一个回答(只回答“是”或“不是”)，而不必告诉别人他回答的是哪一个问题，其中一个问题是要调查的敏感问题，另一个是无关紧要的问题。

例如：设敏感问题是“你考试作过弊吗?”，另一问题是“你出生的年份最后一位数是偶数吗?”。

做法：让被调查者掷一枚硬币(别人看不到)，出现正面时回答前一个问题，否则回答后一个问题，具体回答哪一个问题只有他本人知道。下面做具体分析。例2、敏感性问题调查第23页/共36页文科数学

假设对200人做了调查，其中58人回答“是”。由于硬币的均匀性：可以估计约100人回答了第2个问题，另100人回答了第1个问题。又出生年份最后一位是偶数与奇数的机会相同：回答第2个问题的100人中约有50个人回答“是”。从而：回答第1个问题的100人中约有58-50=8人回答了“是”，即“考试中作过弊”的人约占。具体分析例2、敏感性问题调查第24页/共36页文科数学

方法的实质：知道回答第1个问题的人的概率(掷硬币试验)，(当然并不要求概率一定是1/2，如抛骰子试验)也知道第2个问题回答“是”的概率(数的奇偶性)，(也不要求概率一定是1/2)从而可以给出p的估计。例2、敏感性问题调查第25页/共36页文科数学

将例2中第2个问题改为“你的生日是1月份吗?”，把硬币改为骰子，当掷出1点或2点时回答第2个问题，否则回答第1个问题。若调查了900人有72人回答“是”，试给出p

的估计。

例习分析：p1=1/12,p2=1/3回答问题2：900×1/3=300回答问题1：900×2/3=600回答问题2“是”：300×1/12=25回答问题1“是”：72－25=47p≈47/600第26页/共36页文科数学例3、湖中鱼数的估计

湖中鱼数N未知，今捕上M条鱼，作上记号后均匀地放回湖中，再捕上n条，若其中k条有记号，试估计湖中鱼数N。

方法1：由于有记号的鱼已均匀地分布在湖中,有记号的鱼在湖中占的比例应和第二次捕的鱼中占的比例近似，即故用估计N（取最近的正整数）。第27页/共36页文科数学

方法2：当有记号的鱼在湖中均匀地分布时P{捕n条鱼中有k条有记号}?为什么第二次捕n条鱼时,恰好捕到了k条有记号的鱼呢？可以认为这件事发生的概率很大！所以对N的估计应该使上述概率达到极大！考虑例3、湖中鱼数的估计第28页/共36页文科数学P{捕n条鱼中有k条有记号}可见：当，即当，即从而使f(N)达到极大的N的估计值应满足与方法1所得结果一致。第29页/共36页文科数学极大似然思想：

做了一次试验，结果事件A发生了，则参数的选取（即估计）应使事件A